橢圓中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題

1、橢圓中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 本節(jié)課起源于兩個(gè)常見習(xí)題，在焦點(diǎn)三角形中很典型，教者試圖利用課堂有限的四十分鐘引導(dǎo)學(xué)生做一些探究，體會(huì)發(fā)現(xiàn)的樂趣。規(guī)律在大綱中指的是定律、定理、法則等，一般在書上以黑體字出現(xiàn)，是前人研究的成果。而在知識(shí)形成和解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生多角度挖掘知識(shí)，充分發(fā)揮典型題的探索價(jià)值往往能夠使學(xué)生發(fā)現(xiàn)許多書本上沒有的規(guī)律。讓學(xué)生自主參與教學(xué)全過程，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。而且培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，使他們體會(huì)到做學(xué)問的快樂。費(fèi)賴登塔力曾經(jīng)說過：“學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是做?！睂W(xué)生的學(xué)習(xí)只有通過自身的操作活動(dòng)和再現(xiàn)創(chuàng)造性的做才可能是有效的。通過引發(fā)創(chuàng)新

2、思維的問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)。培養(yǎng)他們的獨(dú)立思考能力，這是培養(yǎng)創(chuàng)造能力的重要手段。學(xué)生具有了這種能力就會(huì)不斷獲取新知識(shí)，創(chuàng)造就有了根基。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.知識(shí)上，能一起探究焦點(diǎn)三角形的有用結(jié)論，能理解、會(huì)應(yīng)用，體會(huì)到一些有用的結(jié)論將會(huì)為解析幾何的解題帶來幫助；2.行動(dòng)上，筆不離手，認(rèn)識(shí)到有效的計(jì)算是解答解析幾何問題的必備。三、教學(xué)問題診斷分析從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)看，第一，在高一學(xué)生雖然對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角知識(shí)和基本不等式，但是對(duì)于利用三角和基本不等式處理關(guān)聯(lián)的知識(shí)掌握參差不齊，甚至大部分學(xué)生沒有這種意識(shí)；第二，如何把一個(gè)素未謀面的具體問題利用坐標(biāo)法轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決這是一個(gè)關(guān)鍵，由

3、于學(xué)生積累的經(jīng)驗(yàn)還不夠，這也是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。第二，學(xué)生會(huì)感到結(jié)論太多，學(xué)過會(huì)忘記。從教師這方面看，首先這部分內(nèi)容教材中出現(xiàn)不多，但其實(shí)是各類考試的熱點(diǎn)，經(jīng)久不衰，題型靈活多樣。鑒于知識(shí)儲(chǔ)備及學(xué)生的差異，高效的組織教學(xué)將是一個(gè)突出的問題；其次學(xué)生雖然已對(duì)于簡(jiǎn)單的焦點(diǎn)三角形有所認(rèn)識(shí)，但不可能從根本上去理解，在完成探究任務(wù)的同時(shí)，還要結(jié)合一些典型案例的處理，使學(xué)生經(jīng)歷較完整的自主發(fā)現(xiàn)的全過程，在過程中讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法的基本思想，對(duì)教師駕馭課堂、靈活應(yīng)變能力提出了較高的要求。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)第一部分：課前兩分鐘。學(xué)生活動(dòng)：讓學(xué)生輕閉雙眼，隨著舒緩的音樂，回想以前學(xué)過的焦點(diǎn)三角形，回憶它的研究方法。教師

4、活動(dòng)：兩分鐘快結(jié)束時(shí)，點(diǎn)明研究需要的知識(shí)：橢圓定義、三角形中的的正(余)弦定理、內(nèi)角和定理、面積公式等。第二部分：四十分鐘（一）課題引入11. （教師活動(dòng)）由橢圓上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱作為焦點(diǎn)三角形。當(dāng)場(chǎng)在google和百度上輸入“焦點(diǎn)三角形”，均有350000條與之有關(guān)的詞條；設(shè)計(jì)意圖：與這個(gè)三角形有關(guān)的問題是解析幾何研究的熱點(diǎn)，經(jīng)久不衰，題型靈活多樣。2.問題：題1：橢圓的焦點(diǎn)為fl、f2，點(diǎn)p為其上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 為鈍角時(shí)，點(diǎn)p橫坐標(biāo)的取值范圍是_。設(shè)計(jì)意圖：從習(xí)題入手，不陌生，并且讓學(xué)生明白本節(jié)課內(nèi)容有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。（二）問題的分析與引導(dǎo)問題分解：?jiǎn)栴}1. 橢圓的焦點(diǎn)為fl、f2

5、，點(diǎn)p為其上一點(diǎn)，當(dāng)為直角時(shí)，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)是_。問題2. 而此題為鈍角，究竟鈍角和直角有何聯(lián)系？解題的關(guān)鍵在于點(diǎn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)的大小與點(diǎn)p的位置有關(guān)，究竟有何聯(lián)系，成了大家探索的焦點(diǎn)。設(shè)計(jì)意圖：把一個(gè)看似未知的問題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)“已經(jīng)具備的經(jīng)驗(yàn)”可以解決的問題，是數(shù)學(xué)常規(guī)解題策略，這個(gè)任務(wù)不可能一蹴而就，但可以水滴石穿。性質(zhì)一：當(dāng)點(diǎn)p從右至左運(yùn)動(dòng)時(shí)，由銳角變成直角，又變成鈍角，過了y軸之后，對(duì)稱地由鈍角變成直角再變成銳角，并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)p與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，達(dá)到最大。3.“性質(zhì)一”是為什么呢？你能證明嗎？提示：“這節(jié)課我們研究的是焦點(diǎn)三角形，在三角形中，求角的最值往往可轉(zhuǎn)化為求什么的最值?”學(xué)生思考后回答：

6、求某個(gè)三角函數(shù)的最值。問題3：解三角形中我們常用的理論依據(jù)是什么？問題4：究竟轉(zhuǎn)化為求哪種三角函數(shù)的最值，經(jīng)大家演算、試驗(yàn)，悟出“欲求的最大值，只需求cos的最小值”（面對(duì)cos= 如何求最小值，有的同學(xué)嘗試后發(fā)現(xiàn)若用兩次均值不等式，則兩次不等號(hào)方向相反，達(dá)不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?學(xué)生們發(fā)現(xiàn)分子變化的部分是，分母變化的部分是，二者的關(guān)系是 ，于是目標(biāo)式可分成兩部分 ，最后對(duì) 利用均值不等式，即可大功告成。設(shè)計(jì)意圖：在課堂教學(xué)和作業(yè)中滲透兩個(gè)7：3是我們一直致力在研究的課題，本例很好地體現(xiàn)了三角及基本不等式的應(yīng)用。從而求得當(dāng) ，即點(diǎn)p與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，cos有最小值為，有最大

7、值。此題結(jié)果為。）問題5：由上面的分析，你能得出cos與離心率e的關(guān)系嗎？性質(zhì)二：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則（當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步的挖掘，可以讓問題簡(jiǎn)單化，應(yīng)用價(jià)值就更高，“看似一小步，其實(shí)一大步”！題2：已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)使，求橢圓離心率的取值范圍。思路：由焦點(diǎn)三角形性質(zhì)二， 變式1：已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為若橢圓上存在一點(diǎn)使得求橢圓的離心率的取值范圍。簡(jiǎn)解：由橢圓焦點(diǎn)三角形性質(zhì)可知即 ,于是得到的取值范圍是追問：何時(shí)取等號(hào)？變式2：若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)、，試問：橢圓上是否存在點(diǎn)，使？存在，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)；否則說明理由。簡(jiǎn)解：兩種做法：方

8、法一：設(shè),，可以得到，故，所以p的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，故p的縱坐標(biāo)為3或-3.方法二：，但橢圓離心率為，不在范圍內(nèi)，故不存在。兩種解法，答案不一致，原因？設(shè)計(jì)意圖：兩個(gè)練習(xí)題，層層遞進(jìn)，練習(xí)2直接為“問題引入2”埋下伏筆，有承上啟下的作用。（三）問題引入2（一道很普通的錯(cuò)題） 題3：p是橢圓 上的點(diǎn)，fl，f2是橢圓的焦點(diǎn)，若 ，則的面積等于_。多數(shù)同學(xué)：利用橢圓定義和余弦定理列出方程組，消元，求出，代入面積公式。問大家：“既然面積可求，那么 也一定可求，請(qǐng)大家計(jì)算一下 的值”。同學(xué)們利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一個(gè)以 為根的一元二次方程，發(fā)現(xiàn)此方程判別式小于0，無實(shí)根，究竟怎么回事，同學(xué)們陷入思考中。

9、兩種解法，兩種結(jié)果，誰對(duì)準(zhǔn)錯(cuò)，難以定奪，同學(xué)們自發(fā)地探索起分歧的原因。經(jīng)討論、交流、思考，發(fā)現(xiàn)題目出錯(cuò)，利用剛才探索出的規(guī)律，當(dāng)點(diǎn)p與短軸端點(diǎn)重合時(shí)， 有最大值，查表求得是，因此，給定橢圓上不存在點(diǎn)p，使問題1：已知橢圓c： (a>b>0)，f1、f2是兩個(gè)焦點(diǎn)，對(duì)于給定的角， 探求在c上存在點(diǎn)p，使 的條件。盡量讓學(xué)生得到：存在點(diǎn)p的條件可相應(yīng)得到：。(b為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)) 設(shè)計(jì)意圖：要學(xué)生養(yǎng)成仔細(xì)審題的習(xí)慣，就必須從課堂開始訓(xùn)練。問題2：怎樣改動(dòng)，使上面不是一個(gè)錯(cuò)題？改動(dòng)一：p是橢圓 上的點(diǎn)，fl，f2是橢圓的焦點(diǎn)，若 ，則 的面積等于_。改動(dòng)二：p是橢圓 上的點(diǎn)，fl，f

10、2是橢圓的焦點(diǎn)，若 ，則的面積等于_。問題3：改動(dòng)的依據(jù)是什么？（,b為短軸的一個(gè)端點(diǎn)）設(shè)計(jì)意圖：自己編題，體會(huì)題目如何來，要考什么。題4：若、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，求橢圓的面積。解：設(shè)，由余弦定理得由橢圓定義得 由得：性質(zhì)三：若、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，則。繼續(xù)看題2：已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)使，求橢圓離心率的取值范圍。思路二：利用焦點(diǎn)三角形性質(zhì)，從面積角度考慮不妨設(shè)短軸一端點(diǎn)為則 故當(dāng)然，若用公式去解同學(xué)們編制的題目，將是易如反掌的。如果把圖形特殊化，使pf1f1f2,我們可以得到：性質(zhì)四：過橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑(垂直于焦點(diǎn)的弦)最短，通徑為。2009

11、0423題5：已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為求橢圓的方程；這就是09年浙江省高考理科試題。展示評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。設(shè)計(jì)意圖：從高考角度出現(xiàn)，進(jìn)一步體現(xiàn)實(shí)用價(jià)值。問題：考察兩個(gè)定點(diǎn)的位置還有哪些可能。定點(diǎn)可以是長(zhǎng)軸頂。恒、中心、短軸頂點(diǎn)，甚至可能是坐標(biāo)軸上任一點(diǎn)或橢圓內(nèi)的一點(diǎn)?！菊n堂測(cè)試】1.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且。若的面積為9，則 . 9（09上海）2.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ c ） （09江西）a b c d3.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,為橢圓上一點(diǎn),且,則的值等于 4（選做）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為證明； 螞羈罿芅螂蟻膅膁莈螃羇肇莇袆膃蒞莆蚅羆莁蒞螈芁芇蒞袀肄膃莄羂袇蒂莃螞肂莈莂螄裊芄蒁袆肀膀蒀薆袃肆葿螈聿蒄葿袁羂莀蒈羃膇芆蕆蚃羀膂蒆螅膅肈薅袇羈莇薄薇膄芃薃蠆羆腿薃袂膂膅薂羄肅蒃薁蚄袈荿薀螆肅芅蕿袈袆膁蚈薈肁肇蚇蝕襖莆蚇螂肀節(jié)蚆羅袂羋蚅蚄膈膄蚄螇羈蒃蚃衿膆荿螞羈罿芅螂蟻膅膁莈螃羇肇莇袆膃蒞莆蚅羆莁蒞螈芁芇蒞袀肄膃莄羂袇蒂莃螞肂莈莂螄裊芄蒁袆肀膀蒀薆袃肆葿螈聿蒄葿袁羂莀蒈羃膇芆蕆蚃羀膂蒆螅膅肈薅袇羈莇薄薇膄芃薃蠆羆腿薃袂膂膅薂羄肅蒃薁蚄袈荿薀螆肅芅蕿袈袆膁蚈薈肁肇蚇