初一數(shù)學(xué)奧賽基礎(chǔ)知識(shí)講義

1、七年級(jí)奧賽數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)講義主講：王三祝第一講 和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題一、 知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖： 數(shù)二、 絕對(duì)值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|。(2)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零。 也可以寫(xiě)成： 說(shuō)明：（）|a|0即|a|是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（）|a|概念中蘊(yùn)含分類(lèi)討論思想。三、 典型例題例1（數(shù)形結(jié)合思想）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） a-3a b 2ca c2a2b d b解：| a | + | a+b

2、| + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解絕對(duì)值的問(wèn)題時(shí)，往往需要脫去絕對(duì)值符號(hào)，化成一般的有理數(shù)計(jì)算。脫去絕對(duì)值的符號(hào)時(shí)，必須先確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)各個(gè)數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義脫去絕對(duì)值符號(hào)。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)數(shù)的符號(hào)，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)，完成化簡(jiǎn)。例2已知：，且， 那么的值（ ）a是正數(shù)b是負(fù)數(shù)c是零d不能確定符號(hào)解：由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示： 所以 分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個(gè)看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找

3、到了x、y、z三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡(jiǎn)鋪平了道路。雖然例題中沒(méi)有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的意識(shí)。例3（分類(lèi)討論的思想）已知甲數(shù)的絕對(duì)值是乙數(shù)絕對(duì)值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為8，求這兩個(gè)數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號(hào)相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰(shuí)是正數(shù)誰(shuí)是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問(wèn)題。解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y 由題意得：， （1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：若x在原點(diǎn)左側(cè)，y在原點(diǎn)右側(cè)，即 x<0，y>

4、0，則 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原點(diǎn)右側(cè)，y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x>0，y<0，則 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：若x、y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x<0，y<0，則 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12若x、y在原點(diǎn)右側(cè)，即 x>0，y>0，則 2y=8 ，所以y=4,x=12例4（整體的思想）方程 的解的個(gè)數(shù)是（ ）a1個(gè) b2個(gè) c3個(gè) d無(wú)窮多個(gè)分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個(gè)整體，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求方程的解，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，所以零

5、和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即本題的答案為d。 例5（非負(fù)性）已知|ab2|與|a1|互為相互數(shù)，試求下式的值分析：利用絕對(duì)值的非負(fù)性，我們可以得到：|ab2|=|a1|=0，解得：a=1,b=2于是 在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過(guò)程中，我們采用了裂項(xiàng)的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果同學(xué)們可以再深入思考， 如果題目變成求 值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。例6（距離問(wèn)題）觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？答：_ .（2）若數(shù)軸上的點(diǎn)a表示的數(shù)為x，點(diǎn)b表示的數(shù)為1，則a與b兩點(diǎn)間的距離可

6、以表示為 分析：點(diǎn)b表示的數(shù)為1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn)b所在的位置。那么點(diǎn)a呢？因?yàn)閤可以表示任意有理數(shù)，所以點(diǎn)a可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出a與b兩點(diǎn)間的距離呢？ 結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。當(dāng)x<-1時(shí)，距離為-x-1, 當(dāng)-1<x<0時(shí)，距離為x+1， 當(dāng)x>0，距離為x+1綜上，我們得到a與b兩點(diǎn)間的距離可以表示為（3）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為 ，取得最小值時(shí)x的取值范圍為 _.分析：即x與2的差的絕對(duì)值，它可以表示數(shù)軸上x(chóng)與2之間的距離。即x與-3的差的絕對(duì)值，它也可以表示數(shù)軸上x(chóng)與-3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可

7、能：圖1 圖2 圖3圖2符合題意（4） 滿足的的取值范圍為 分析： 同理表示數(shù)軸上x(chóng)與-1之間的距離，表示數(shù)軸上x(chóng)與-4之間的距離。本題即求，當(dāng)x是什么數(shù)時(shí)x與-1之間的距離加上x(chóng)與-4之間的距離會(huì)大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1。說(shuō)明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對(duì)值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問(wèn)題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值問(wèn)題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問(wèn)題時(shí)可以帶來(lái)方便。事實(shí)上， 表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b的點(diǎn)之間的距離。這是一個(gè)很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識(shí)解決了（3）、（4）這兩道難題。 四、 小結(jié)1理解

8、絕對(duì)值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對(duì)值的非負(fù)性2體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用第二講：代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題一、知識(shí)鏈接1 “代數(shù)式”是用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點(diǎn)掌握的內(nèi)容之一。2用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個(gè)代數(shù)式的值。注：一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會(huì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識(shí)打下基礎(chǔ)。 二、典型例題例1若多項(xiàng)式的值與x無(wú)關(guān)，求的值.分析：多項(xiàng)式的值與x無(wú)關(guān)，即含x的項(xiàng)系數(shù)均為零因?yàn)樗?m=4將m=4代

9、人，利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2x=-2時(shí)，代數(shù)式的值為8，求當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式的值。分析： 因?yàn)楫?dāng)x=-2時(shí)， 得到，所以當(dāng)x=2時(shí)，=例3當(dāng)代數(shù)式的值為7時(shí),求代數(shù)式的值.分析：觀察兩個(gè)代數(shù)式的系數(shù)由 得 ，利用方程同解原理，得 整體代人，代數(shù)式的求值問(wèn)題是中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，它的運(yùn)算技巧、解決問(wèn)題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法就是其中之一。例4 已知，求的值.分析：解法一（整體代人）：由 得 所以：解法二（降次）：方程作為刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。由，得，所以： 解法三（降次、消元）：（消元、減項(xiàng)） 例5（實(shí)際應(yīng)用）a和b兩家公司都準(zhǔn)備向社會(huì)招聘人才，兩

10、家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：a公司，年薪一萬(wàn)元，每年加工齡工資200元；b公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第n年的實(shí)際收入（元）第一年：a公司 10000； b公司 5000+5050=10050第二年：a公司 10200； b公司 5100+5150=10250第n年：a公司 10000+200(n-1）； b公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出b公司的年收入永遠(yuǎn)比a公司多50元，如不細(xì)心考察很可能選錯(cuò)。例6三個(gè)數(shù)a、b、c

11、的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且，則 的值是_ 。解：因?yàn)閍bc<0，所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù)，或三個(gè)都是負(fù)數(shù)又因?yàn)閍+b+c>0，所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù)。不妨設(shè)a<0，b>0，c>0則ab<0，ac<0，bc>0所以x=-1+1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為1。同理，當(dāng)b<0，c<0時(shí)，x=0。另：觀察代數(shù)式 ，交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改變，這樣的代數(shù)式成為輪換式，我們不用對(duì)a、b、c再討論。有興趣的同學(xué)可以在課下查閱資料，看看輪換式有哪些重要的性質(zhì)。規(guī)律探索問(wèn)題/p>

12、1612例7如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線oa，ob，oc，od，oe，of，從射線oa開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧谏渚€上寫(xiě)出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，（1）“17”在射線 _上，“2008”在射線_上（2）若n為正整數(shù)，則射線oa上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含n的代數(shù)式表示為_(kāi)分析：oa上排列的數(shù)為：1，7，13，19， 觀察得出，這列數(shù)的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多6， 歸納得到，這列數(shù)可以表示為6n-5因?yàn)?7=3×6-1，所以17在射線oe上。因?yàn)?008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射線od上例8 將正奇數(shù)按下表排成5列: 第一列 第二列 第三列 第

13、四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25 根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在a125行,3列 b. 125行,2列 c. 251行,2列 d. 251行,5列分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找 第三列數(shù)： 3，11，19，27， 規(guī)律為8n-5 因?yàn)?007=250×8+7=251×8-1 所以，2007應(yīng)該出現(xiàn)在第一列或第五列 又因?yàn)榈?51行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開(kāi)始從小到大排列，所以2007應(yīng)該在第251行第5列例9（2006年嘉興市）定義一種對(duì)正整數(shù)n的

14、“f”運(yùn)算：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n5；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行例如，取n26，則：26134411第一次f第二次f第三次f若n449，則第449次“f運(yùn)算”的結(jié)果是_分析：?jiǎn)栴}的難點(diǎn)和解題關(guān)鍵是真正理解“f”的第二種運(yùn)算，即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使 為奇數(shù)的正整數(shù)），要使所得的商為奇數(shù)，這個(gè)運(yùn)算才能結(jié)束。 449奇數(shù)，經(jīng)過(guò)“f”變?yōu)?352；1352是偶數(shù)，經(jīng)過(guò)“f”變?yōu)?69，169是奇數(shù)，經(jīng)過(guò)“f”變?yōu)?12，512是偶數(shù)，經(jīng)過(guò)“f”變?yōu)?，1是奇數(shù)，經(jīng)過(guò)“f”變?yōu)?，8是偶數(shù)，經(jīng)過(guò)“f”變?yōu)?，我們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過(guò)多次運(yùn)算，它的結(jié)

15、果將出現(xiàn)1、8的交替循環(huán)。再看運(yùn)算的次數(shù)是449，奇數(shù)次。因?yàn)榈谒拇芜\(yùn)算后都是奇數(shù)次運(yùn)算得到8，偶數(shù)次運(yùn)算得到1，所以，結(jié)果是8。三、小結(jié)用字母代數(shù)實(shí)現(xiàn)了我們對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)的又一次飛躍。希望同學(xué)們能體會(huì)用字母代替數(shù)后思維的擴(kuò)展，體會(huì)一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。體會(huì)由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第三講：與一元一次方程有關(guān)的問(wèn)題一、知識(shí)回顧一元一次方程是我們認(rèn)識(shí)的第一種方程，使我們學(xué)會(huì)用代數(shù)解法解決一些用算術(shù)解法不容易解決的問(wèn)題。一元一次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它既是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)有理數(shù)部分的鞏固和深化，又為以后的一元二次方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。典型例題：二、典型例題例1若關(guān)于x的一

16、元一次方程=1的解是x=-1，則k的值是（ ）a b1 c- d0分析：本題考查基本概念“方程的解”因?yàn)閤=-1是關(guān)于x的一元一次方程=1的解，所以，解得k=-例2若方程3x-5=4和方程的解相同，則a的值為多少？分析：題中出現(xiàn)了兩個(gè)方程，第一個(gè)方程中只有一個(gè)未知數(shù)x，所以可以解這個(gè)方程求得x的值；第二個(gè)方程中有a與x兩個(gè)未知數(shù)，所以在沒(méi)有其他條件的情況下，根本沒(méi)有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題中的條件。因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解相同，所以可以把第一個(gè)方程中解得x代入第二個(gè)方程，第二個(gè)方程也就轉(zhuǎn)化為一元一次方程了。解：3x-5=4， 3x=9， x=3 因?yàn)?x-5=4與方程 的解相同 所以把x

17、=3代人中即 得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2例3.（方程與代數(shù)式聯(lián)系） a、b、c、d為實(shí)數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算 . （1）則的值為 ；（2）當(dāng) 時(shí)，= . 分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，因?yàn)?，所?2-（-2）=4 （2）由 得：10-4（1-x）=18 所以10-4+4x=18，解得x=3例4（方程的思想）如圖，一個(gè)瓶身為圓柱體的玻璃瓶?jī)?nèi)裝有高厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨水水面高為h厘米，則瓶?jī)?nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的（ ）不考慮瓶子的厚度.a b c d分析：左右兩個(gè)圖中墨水的體積應(yīng)該相等，所以這是個(gè)等積變換問(wèn)題，我們可以用方程的思想解決問(wèn)題解：設(shè)墨水

18、瓶的底面積為s，則左圖中墨水的體積可以表示為sa 設(shè)墨水瓶的容積為v，則右圖中墨水的體積可以表示為v-sb 于是，sa= v-sb，v= s(a+b) 由題意，瓶?jī)?nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的比為例5 小杰到食堂買(mǎi)飯，看到a、b兩窗口前面排隊(duì)的人一樣多，就站在a窗口隊(duì)伍的里面，過(guò)了2分鐘，他發(fā)現(xiàn)a窗口每分鐘有4人買(mǎi)了飯離開(kāi)隊(duì)伍，b窗口每分鐘有6人買(mǎi)了飯離開(kāi)隊(duì)伍，且b窗口隊(duì)伍后面每分鐘增加5人。此時(shí)，若小李迅速?gòu)腶窗口隊(duì)伍轉(zhuǎn)移到b窗口后面重新排隊(duì)，將比繼續(xù)在a窗口排隊(duì)提前30秒買(mǎi)到飯，求開(kāi)始時(shí)，有多少人排隊(duì)。 分析：“b窗口每分鐘有6人買(mǎi)了飯離開(kāi)隊(duì)伍，且b窗口隊(duì)伍后面每分鐘增加5人”相當(dāng)于b窗口

19、前的隊(duì)伍每分鐘減少1人，題中的等量關(guān)系為：小李在a窗口排隊(duì)所需時(shí)間=轉(zhuǎn)移到b窗口排隊(duì)所需時(shí)間+ 解：設(shè)開(kāi)始時(shí)，每隊(duì)有x人在排隊(duì)， 2分鐘后，b窗口排隊(duì)的人數(shù)為：x-6×2+5×2=x-2 根據(jù)題意，可列方程： 去分母得 3x=24+2(x-2)+6 去括號(hào)得3x=24+2x-4+6移項(xiàng)得3x-2x=26解得x=26所以，開(kāi)始時(shí)，有26人排隊(duì)。 課外知識(shí)拓展：一、含字母系數(shù)方程的解法： 思考：是什么方程？在一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式、最簡(jiǎn)形式中都要求a0，所以不是一元一次方程我們把它稱(chēng)為含字母系數(shù)的方程。例6解方程解：（分類(lèi)討論）當(dāng)a0時(shí)， 當(dāng)a=0，b=0時(shí)，即 0x=0，方程

20、有任意解當(dāng)a=0，b0時(shí)，即 0x=b，方程無(wú)解即方程的解有三種情況。例7問(wèn)當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有無(wú)數(shù)解；（3）無(wú)解。分析：先解關(guān)于x的方程，把x用a、b表示，最后再根據(jù)系數(shù)情況進(jìn)行討論。解： 將原方程移項(xiàng)得2x+bx=1+a-5，合并同類(lèi)項(xiàng)得：(2+b)x=a-4 當(dāng)2+b0，即b-2時(shí)，方程有唯一解，當(dāng)2+b=0且a-4=0時(shí)，即b=-2且a=4時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，當(dāng)2+b=0且a-40時(shí)，即b=-2且a4時(shí)，方程無(wú)解，例 8 解方程分析：根據(jù)題意，ab0，所以方程兩邊可以同乘ab 去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b 去括號(hào)，

21、得bx-b-a+ax=a+b 移項(xiàng)，并項(xiàng)得 (a+b)x=2a+2b 當(dāng)a+b0時(shí)，=2 當(dāng)a+b=0時(shí)，方程有任意解說(shuō)明：本題中沒(méi)有出現(xiàn)方程中的系數(shù)a=0，b0的情況，所以解的情況只有兩種。 二、含絕對(duì)值的方程解法例9 解下列方程 解法1：（分類(lèi)討論）當(dāng)5x-2>0時(shí)，即x>， 5x-2=3， 5x=5， x=1 因?yàn)閤=1符合大前提x>，所以此時(shí)方程的解是x=1當(dāng)5x-2=0時(shí)，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此時(shí)方程無(wú)解當(dāng)5x-2<0時(shí)，即x<， 5x-2= -3，x= 因?yàn)閤=符合大前提x<，所以此時(shí)方程的解是x=綜上，方程的解為x=1 或x=注：

22、求出x的值后應(yīng)注意檢驗(yàn)x是否符合條件解法2：（整體思想） 聯(lián)想：時(shí)，a=±3 類(lèi)比：，則5x-2=3或5x-2=-3解兩個(gè)一元一次方程，方程的解為x=1 或x=例10 解方程 解：去分母 2| x-1|-5=3移項(xiàng) 2| x-1|=8 | x-1|=4所以x-1=4或x-1=-4解得x=5或x=-3例11 解方程 分析：此題適合用解法2 當(dāng)x-1>0時(shí)，即x>1，x-1=-2x+1，3x=2，x=因?yàn)閤=不符合大前提x>1，所以此時(shí)方程無(wú)解當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1，0=-2+1，0 =-1，此時(shí)方程無(wú)解 當(dāng)x-1<0時(shí)，即x<1，1-x=-2x+1，x=

23、0因?yàn)閤=0符合大前提x<1，所以此時(shí)方程的解為x=0綜上，方程的解為x=0三、小結(jié)1、體會(huì)方程思想在實(shí)際中的應(yīng)用2、體會(huì)轉(zhuǎn)化的方法，提升數(shù)學(xué)能力第四講：圖形的初步認(rèn)識(shí)一、相關(guān)知識(shí)鏈接：1認(rèn)識(shí)立體圖形和平面圖形我們常見(jiàn)的立體圖形有長(zhǎng)方體、正方體、球、圓柱、圓錐，此外，棱柱，棱錐也是常見(jiàn)的幾何體。我們常見(jiàn)的平面圖形有正方形、長(zhǎng)方形、三角形、圓2 立體圖形和平面圖形關(guān)系立體圖形問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形來(lái)研究，常常會(huì)采用下面的作法（1）畫(huà)出立體圖形的三視圖立體圖形的的三視圖是指正視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）得到的三個(gè)平面圖形。（2）立體圖形的平面展開(kāi)圖、常見(jiàn)立體圖形的

24、平面展開(kāi)圖圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體（共十一種）二、典型問(wèn)題：（一）正方體的側(cè)面展開(kāi)圖（共十一種）分類(lèi)記憶：第一類(lèi)，中間四連方，兩側(cè)各一個(gè)，共六種。第二類(lèi)，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個(gè)，共三種。第三類(lèi)，中間二連方，兩側(cè)各有二個(gè)，只有一種。 第四類(lèi)，兩排各三個(gè)，只有一種。基本要求：1. 在右面的圖形中是正方體的展開(kāi)圖的有（ ）（a）3種 （b）4種 （c）5種 （d）6種2下圖中, 是正方體的展開(kāi)圖是( ) a b c d3如圖四個(gè)圖形都是由6個(gè)大小相同的正方形組成，其中是正方體展開(kāi)圖的是（   ）123645a    

25、0;   b        c        d較高要求：4下圖可以沿線折疊成一個(gè)帶數(shù)字的正方體，每三個(gè)帶數(shù)字的面交于正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)字之和最小是( ) a 7 b 8 c 9 d 10 5一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如右圖所示，每一個(gè)面上都寫(xiě)有一個(gè)自然數(shù)并且相對(duì)兩個(gè)面所寫(xiě)的兩個(gè)數(shù)之和相等，那么a+b-2c= （ ）a40 b.38 c.36 d. 34分析： 由題意 8+a=b+4=c+25 所以 b=4+a c

26、=a-17 所以 a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=386將如圖所示的正方體沿某些棱展開(kāi)后，能得到的圖形是（ ） a b c d7下圖是某一立方體的側(cè)面展開(kāi)圖，則該立方體是（ ）abcd 還原正方體，正確識(shí)別正方體的相對(duì)面。（二）常見(jiàn)立體圖形的平面展開(kāi)圖8下列圖形是四棱錐的展開(kāi)圖的是 （ ） （a） （b） （c） （d）9下面是四個(gè)立體圖形的展開(kāi)圖，則相應(yīng)的立體圖形依次是( )a正方體、圓柱、三棱柱、圓錐b.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱c正方體、圓柱、三棱錐、圓錐d.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐10下列幾何體中是棱錐的是（ ） a. b. c. d. 11如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體的

27、表面展開(kāi)圖，每個(gè)面上都標(biāo)注了字母，請(qǐng)根據(jù)要求回答問(wèn)題：（1）如果a面在長(zhǎng)方體的底部，那么哪一個(gè)面會(huì)在上面？（2）若f面在前面，b面在左面，則哪一個(gè)面會(huì)在上面？（字母朝外）（3）若c面在右面，d面在后面，則哪一個(gè)面會(huì)在上面？（字母朝外）答案：（1）f ；（2）c，a（三）立體圖形的三視圖12如圖，從正面看可看到的是( c )13對(duì)右面物體的視圖描繪錯(cuò)誤的是 （ c ）14如圖的幾何體，左視圖是（ b）15如圖，是由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個(gè)俯視圖左視圖主視圖幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是 ( )a3 b4 c5 d6 （四）新穎題型16. 正方體每一面不同的顏色對(duì)應(yīng)著不同的數(shù)

28、字，將四個(gè)這樣的正方體如圖拼成一個(gè)水平放置的長(zhǎng)方體，那么長(zhǎng)方體的下底面數(shù)字和為 .分析：正面黃，右面紅，上面藍(lán)，后面紫，下面白，左面綠 所以，從右到左，底面依次為：白、綠、黃、紫 數(shù)字和為：4+6+2+5=1717觀察下列由棱長(zhǎng)為 1的小正方體擺成的圖形，尋找規(guī)律，如圖所示共有1個(gè)小立方體，其中1個(gè)看得見(jiàn)，0個(gè)看不見(jiàn)；如圖所示：共有8個(gè)小立方體，其中7個(gè)看得見(jiàn)，1個(gè)看不見(jiàn)；如圖所示：共有27個(gè)小立方體，其中19個(gè)看得見(jiàn)，8個(gè)看不見(jiàn)（1）寫(xiě)出第個(gè)圖中看不見(jiàn)的小立方體有 125 個(gè)；（2）猜想并寫(xiě)出第(n)個(gè)圖形中看不見(jiàn)的小立方體的個(gè)數(shù)為_(kāi) (n-1)3 _個(gè).分析： 1 1=1 0=032 8=

29、23 1=133 27=33 8=23 4 64=43 27=33 n n3 (n-1) 3第五講：線段和角一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 二、典型問(wèn)題：（一）數(shù)線段數(shù)角數(shù)三角形問(wèn)題1、直線上有n個(gè)點(diǎn)，可以得到多少條線段？ 分析： 點(diǎn) 線段2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5 n 1+2+3+ +(n-1)=問(wèn)題2如圖，在aob內(nèi)部從o點(diǎn)引出兩條射線oc、od，則圖中小于平角的角共有（ ）個(gè) (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6拓展：1、 在aob內(nèi)部從o點(diǎn)引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個(gè)？ 射線 角 1 3 =1+2 2 6=1

30、+2+3 3 10=1+2+3+4 n 1+2+3+ +(n+1)=類(lèi)比：從o點(diǎn)引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個(gè)？ 射線 角2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 n 1+2+3+ +(n-1)=類(lèi)比聯(lián)想：如圖，可以得到多少三角形？（二）與線段中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題 線段的中點(diǎn)定義：文字語(yǔ)言：若一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩部分，那么這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn)圖形語(yǔ)言：幾何語(yǔ)言： m是線段ab的中點(diǎn) ，典型例題：1由下列條件一定能得到“p是線段ab的中點(diǎn)”的是（ ）（a）ap=ab （b）ab2pb （c）appb （d）appb=ab 2若點(diǎn)b在直線ac上，下列表達(dá)式：；a

31、b=bc；ac=2ab；ab+bc=ac其中能表示b是線段ac的中點(diǎn)的有（ a   ）a1個(gè)    b2個(gè)      c3個(gè)     d4個(gè)3.如果點(diǎn)c在線段ab上,下列表達(dá)式ac=ab;ab=2bc;ac=bc;ac+bc=ab中, 能表示c是ab中點(diǎn)的有( ) a.1個(gè) b.2個(gè) c.3個(gè) d.4個(gè)4已知線段mn，p是mn的中點(diǎn)，q是pn的中點(diǎn)，r是mq的中點(diǎn)，那么mr= _ mn分析：據(jù)題意畫(huà)出圖形設(shè)qn=x，則pq=x，mp=2

32、x，mq=3x，所以，mr=x ，則 5如圖所示，b、c是線段ad上任意兩點(diǎn)，m是ab的中點(diǎn)，n是cd中點(diǎn)，若mn=a，bc=b，則線段ad的長(zhǎng)是（ ） a 2（a-b） b 2a-b c a+b d a-b分析：不妨設(shè)cn=nd=x，am=mb=y 因?yàn)閙n=mb+bc+cn 所以a=x+y+b因?yàn)閍d=am+mn+nd 所以ad=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）與角有關(guān)的問(wèn)題1 已知：一條射線oa，若從點(diǎn)o再引兩條射線ob、oc，使aob=600，boc=200，則aoc=_度（分類(lèi)討論）2 a、o、b共線，om、on分別為 aoc 、 boc的平分線，猜想 mon的度數(shù)，試證明你的

33、結(jié)論猜想：_證明：因?yàn)閛m、on分別為 aoc 、 boc的平分線 所以moc=aoc ，con=cob因?yàn)閙on=moc+con所以mon=aoc +cob=aob=90°3如圖，已知直線和相交于點(diǎn)，是直角，平分，求的度數(shù)分析：因?yàn)槭侵苯牵詄of=56° 因?yàn)槠椒?所以aof=56° 因?yàn)閍of=aoc+cof所以aoc=22°因?yàn)橹本€和相交于點(diǎn) 所以=aoc=22°4如圖，bo、co分別平分abc和acb，（1）若a = 60°，求o；（2）若a =100°，o是多少？若a =120°，o又是多少？（3）由

34、（1）、（2）你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當(dāng)a的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結(jié)論仍成立嗎？ （提示：三角形的內(nèi)角和等于180°）答案：（1）120°；（2）140° 、150°（3）o=90°+a5如圖，o是直線ab上一點(diǎn),oc、od、oe是三條射線,則圖中互補(bǔ)的角共有（ ）對(duì) (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 56互為余角的兩個(gè)角   （ ）（a）只和位置有關(guān) （b）只和數(shù)量有關(guān) （c）和位置、數(shù)量都有關(guān) （d）和位置、數(shù)量都無(wú)關(guān)7已知1、2互為補(bǔ)角，且12，則2的余角是（ ）a.（12） b.1 c.（12） d.2

35、分析：因?yàn)?2=180°，所以（12）=90°90°-2= （12）-2= （12） 第六講：相交線與平行線 一、知識(shí)框架二、典型例題1.下列說(shuō)法正確的有( ) 對(duì)頂角相等;相等的角是對(duì)頂角;若兩個(gè)角不相等,則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角;若兩個(gè)角不是對(duì)頂角,則這兩個(gè)角不相等.a.1個(gè) b.2個(gè) c.3個(gè) d.4個(gè)2.如圖所示,下列說(shuō)法不正確的是( )毛a.點(diǎn)b到ac的垂線段是線段ab; b.點(diǎn)c到ab的垂線段是線段acc.線段ad是點(diǎn)d到bc的垂線段; d.線段bd是點(diǎn)b到ad的垂線段3.下列說(shuō)法正確的有( )在平面內(nèi),過(guò)直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線; 在

36、平面內(nèi),過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線; 在平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)可以任意畫(huà)一條直線垂直于已知直線;在平面內(nèi),有且只有一條直線垂直于已知直線. a.1個(gè) b.2個(gè) c.3個(gè) d.4個(gè)4一學(xué)員駕駛汽車(chē)，兩次拐彎后，行駛的方向與原來(lái)的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（ ） a. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° b. 第一次向右拐50°第二次向左拐130° c. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° d. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°5如圖，若acbc于c，cdab于d，則下列結(jié)論必定成立的是（ ）

37、a. cd>ad b.ac<bc c. bc>bd d. cd<bd分析：考察垂線段的性質(zhì)、基本圖形“雙垂直”圖形6如圖,已知abcd,直線ef分別交ab,cd于e,f,eg平分bef,若1=72°,則2=_.7如圖,abefcd,egbd,則圖中與1相等的角(1除外)共有( )a.6個(gè) b.5個(gè) c.4個(gè) d.3個(gè)8如圖，直線l1、l2、l3交于o點(diǎn)，圖中出現(xiàn)了幾對(duì)對(duì)頂角，若n條直線相交呢？答案9. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的大小關(guān)系是_12310. 如圖所示,l1,l2,l3交于點(diǎn)o,1=2,3:1=8:1,求4的度數(shù).( 方程思想)答案：11 如圖所示,

38、已知abcd,分別探索下列四個(gè)圖形中p與a,c的關(guān)系,請(qǐng)你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)加以說(shuō)明. (1) (2) (3) (4)（1）分析：過(guò)點(diǎn)p作pe/ab ape+a+c=360°（2）p=a+c（3）p=c-a,（4）p=a-c12如圖，若ab/ef，c= 90°，求x+y-z 度數(shù)。分析：如圖，添加輔助線證出：x+y-z=90°13已知：如圖， 求證：分析：法一法二：由ab/cd證明pab=apc， 所以eap=apf 所以ae/fp 所以第七講：平面直角坐標(biāo)系一、知識(shí)要點(diǎn)：1、特殊位置的點(diǎn)的特征（1）各個(gè)象限的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)符號(hào)（2）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)：

39、軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,即縱坐標(biāo)為0;軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，即橫坐標(biāo)為0;2、具有特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征 設(shè)、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且;、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且;、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)，且。3、距離（1）點(diǎn)a到軸的距離：點(diǎn)a到軸的距離為|；點(diǎn)a到軸的距離為|；（2）同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)之間的距離：a、b，則；a、b，則；二、典型例題1、已知點(diǎn)m的坐標(biāo)為（x，y），如果xy<0 , 則點(diǎn)m的位置( ) (a)第二、第三象限 (b)第三、第四象限 (c)第二、第四象限 (d)第一、第四象限2點(diǎn)p（m，1）在第二象限內(nèi)，則點(diǎn)q（-m，0）在（ ） ax軸正半軸上 bx軸負(fù)半軸上 cy軸正半軸上 dy軸負(fù)半軸上3已知點(diǎn)a

40、（a，b）在第四象限，那么點(diǎn)b（b，a）在（ ） a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限4點(diǎn)p（1，-2）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） a（-1，-2） b（1，2） c（-1，2） d（-2，1）5如果點(diǎn)m（1-x，1-y） 在第二象限，那么點(diǎn)n（1-x，y-1）在第 象限，點(diǎn)q（x-1，1-y）在第 象限。6如圖是中國(guó)象棋的一盤(pán)殘局，如果用(4，o)表示帥的位置，用(3，9)表示將的位置，那么炮的位置應(yīng)表示為a(8，7) b(7，8) c(8，9)d(8，8)7在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形abcd的頂點(diǎn)a、b、d的坐標(biāo)分別為（0，0），（5，0），（2，3）則頂點(diǎn)c的坐標(biāo)為（

41、）a（3，7） b（5，3） c（7，3） d（8，2）8已知點(diǎn)p（x, ），則點(diǎn)p一定 （ ） a在第一象限 b在第一或第四象限 c在x軸上方 d不在x軸下方9已知長(zhǎng)方形abcd中，ab=5，bc=8，并且abx軸，若點(diǎn)a的坐標(biāo)為（2，4），則點(diǎn)c的坐標(biāo)為_(kāi)(3,-4)(-7,-4)(3,12)(-7,12)_。10三角形abc三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是a（-4，-1），b（1，1），c（-1，4），將三角形abc向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（ c ） a（2，2），（3，4），（1，7） b（-2，2），（4，3），（1，7） c（-2，2），（3，4）

42、，（1，7） d（2，-2），（3，3），（1，7）11“若點(diǎn)p、q的坐標(biāo)是（x1，y1）、（x2，y2），則線段pq中點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）”已知點(diǎn)a、b、c的坐標(biāo)分別為（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述結(jié)論求線段ac、bc的中點(diǎn)d、e的坐標(biāo)，并判斷de與ab的位置關(guān)系解：由“中點(diǎn)公式”得d（-2，2），e（2，2），deab12如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）分析：13如圖，三角形aob中，a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，-6），（-6，-3），求三角形aob的面積解：做輔助線如圖 saob=s梯形bcdo-（sabc+soad） =

43、15;（3+6）×6-（×2×3+×4×6）=27-（3+12）=1214如圖，四邊形abcd各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （2，8），（11，6），（14，0），（0，0）。（1）確定這個(gè)四邊形的面積，你是怎么做的?（2）如果把原來(lái)abcd各個(gè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)增加2，所得的四邊形面積又是多少？分析：（1）80 （2）面積不變15如圖，已知a1(1,0)、 a2（1，1）、a3（-1，1）、a4（-1，-1）、a5（2，-1），則點(diǎn)a2007的坐標(biāo)為_(kāi).答案：(-502,502)第八講：與三角形有關(guān)的線段一、相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1三角形的邊三角形三邊定

44、理：三角形兩邊之和大于第三邊即：abc中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（兩點(diǎn)之間線段最短）由上式可變形得到： a>cb，b>ac，c>ba即有：三角形的兩邊之差小于第三邊2 高由三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。3 中線：連接三角形的頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段，稱(chēng)為三角形的中線4 角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的角平分線與這個(gè)角對(duì)邊的交點(diǎn)和這個(gè)角的頂點(diǎn)之間線段稱(chēng)為三角形的角平分線二、典型例題（一）三邊關(guān)系1已知三角形三邊分別為2,a-1,4,那么a的取值范圍是( ) a.1<a<5 b.2<a<

45、;6 c.3<a<7 d.4<a<62小穎要制作一個(gè)三角形木架，現(xiàn)有兩根長(zhǎng)度為8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的長(zhǎng)度是整數(shù)小穎有幾種選法？可以是多少？分析：設(shè)第三根木棒的長(zhǎng)度為x， 則3<x<13 所以x=4,5,6,7,8,9,10,11,123：已知：abc中，ad是bc邊上的中線 求證：ad+bd>（ab+ac）分析：因?yàn)?bd+ad>ab、cd+ad>ac 所以 bd+ad+ cd+ad >ab+ac 因?yàn)閍d是bc邊上的中線，bd=cd 所以ad+bd>（ab+ac）（二）三角形的高、中線與角平分線問(wèn)題：（1）觀察

46、圖形，指出圖中出現(xiàn)了哪些高線？ （2）圖中存在哪些相等角？注意基本圖形：雙垂直圖形4如圖，在直角三角形abc中，acab，ad是斜邊上的高，deac，dfab，垂足分別為e、f，則圖中與c（c除外）相等的角的個(gè)數(shù)是（ ） a5 b4 c3 d2 分析：5如圖，abc中，a = 40°，b = 72°，ce平分acb，cdab于d， dfce，求cdf的度數(shù)。分析：ced=40°+34°=74°所以cdf=74°6一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引進(jìn)四種不同的種子進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，需要將這塊地分成面積相等的四塊，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出四種劃分方案供選擇，畫(huà)

47、圖說(shuō)明。分析：7abc中，abc、acb的平分線相交于點(diǎn)o。（1）若abc = 40°，acb = 50°，則boc = 。（2）若abc +acb =116°，則boc = 。（3）若a = 76°，則boc = 。（4）若boc = 120°，則a = 。（5）你能找出a與boc 之間的數(shù)量關(guān)系嗎？8已知: be, ce分別為 abc 的外角 mbc, ncb的角平分線,求: e與a的關(guān)系 分析：e=90°-a9已知: bf為abc的角平分線, cf為外角acg的角平分線, 求: f與a的關(guān)系分析：f=a思考題：如圖：abc與acg的平分線交于f1；f1bc與f1cg的平分線交于f2；如此下去, f2bc與f2cg的平分線交于f3；探究fn與a的關(guān)系（n為自然數(shù)） 第九講：與三角形有關(guān)的角一、相關(guān)定理（一）三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°（二）三角形的外角性質(zhì)定理：1 三角形的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)