高等代數(shù)(第3版)：第五章矩 陣

1、 在解析幾何中在解析幾何中, 為了便于研究二次曲線為了便于研究二次曲線)2(,cossin,sincosyxyyxx把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形. 122ynxm的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì), 我們可以選擇適當(dāng)?shù)慕嵌任覀兛梢赃x擇適當(dāng)?shù)慕嵌?，作轉(zhuǎn)軸，作轉(zhuǎn)軸 ax2 + 2bxy + cy2 = f (1)(反時(shí)針方向轉(zhuǎn)軸反時(shí)針方向轉(zhuǎn)軸)變量的二次齊次多項(xiàng)式的化簡問題變量的二次齊次多項(xiàng)式的化簡問題.(1) 式的左邊是一個(gè)二次多項(xiàng)式式的左邊是一個(gè)二次多項(xiàng)式, 從代數(shù)學(xué)的從代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看觀點(diǎn)看, 化標(biāo)準(zhǔn)的過程就是通過變量的線性替換化標(biāo)準(zhǔn)的過程就是通過變量的線性替換(2) 化簡一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式化簡一個(gè)二

2、次齊次多項(xiàng)式, 使它只含有平方項(xiàng)使它只含有平方項(xiàng). 這樣一個(gè)問題這樣一個(gè)問題, 在許多理論問題或?qū)嶋H問題中常在許多理論問題或?qū)嶋H問題中常會(huì)遇到會(huì)遇到. 現(xiàn)在我們把這類問題一般化現(xiàn)在我們把這類問題一般化, 討論討論 n 個(gè)個(gè) 設(shè)有二次型設(shè)有二次型f(x1 , x2 , , xn ) = a11x12 + a22x22 +annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2an-1,nxn-1xn .令令aij = aji , i 1 )不失一般性，設(shè)不失一般性，設(shè) a12 0 .令令.,33212211nnzxzxzzxzzx它是非退化的線性替換，且使它是非退化的線性替換，且使f

3、 ( x1 , x2 , , xn ) = 2a12x1x2 + .= 2a12(z1 + z2)(z1 - z2) + .= 2a12z12 -2a12z22 + ,這時(shí)上式右端是這時(shí)上式右端是 z1 , z2 , , zn 的二次型，且的二次型，且 z12 的的系數(shù)不為零，屬于第一種情況，定理成立系數(shù)不為零，屬于第一種情況，定理成立. a11 = a12 = = a1n = 0 .由對(duì)稱性，有由對(duì)稱性，有a21 = a31 = = an1 = 0 .這時(shí)這時(shí)ninjjiijnxxaxxxf2221),(是是 n - 1 元二次型，根據(jù)歸納法假設(shè)，它能用非退元二次型，根據(jù)歸納法假設(shè)，它能用非

4、退化線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形化線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形.這樣我們就完成了定理的證明這樣我們就完成了定理的證明.不難看出，標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對(duì)角矩陣，不難看出，標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對(duì)角矩陣，d1x12 + d2x22 + + dnxn2.000000),(212121nnnxxxdddxxx反過來，矩陣為對(duì)角形的二次型就只含平方項(xiàng)反過來，矩陣為對(duì)角形的二次型就只含平方項(xiàng). 按按上一節(jié)的討論，經(jīng)過非退化的線性替換，二次型的上一節(jié)的討論，經(jīng)過非退化的線性替換，二次型的矩陣變到一個(gè)合同的矩陣，因此，用矩陣的語言，矩陣變到一個(gè)合同的矩陣，因此，用矩陣的語言，定理定理 1 可以敘述為：可以敘述為： 定理定理 2 也就是說，對(duì)于

5、任意一個(gè)對(duì)稱矩陣也就是說，對(duì)于任意一個(gè)對(duì)稱矩陣 A都可以找到一個(gè)可逆矩陣都可以找到一個(gè)可逆矩陣 C 使使CTAC成為對(duì)角矩陣成為對(duì)角矩陣. 用配方法化二次型用配方法化二次型323121321622),(xxxxxxxxxf為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形.由于二次型的平方項(xiàng)的系數(shù)全為零，故屬由于二次型的平方項(xiàng)的系數(shù)全為零，故屬于定理于定理 1 的證明過程中的第二種情形，作非退化線的證明過程中的第二種情形，作非退化線性替換性替換,33212211yxyyxyyx則則3213212121321)(6)(2)(2),(yyyyyyyyyyxxxf323122218422yyyyyy.822)(2322223231y

6、yyyyy再令再令,3322311yzyzyyz,3322311zyzyzzy即即則則233222213212822),(zzzzzxxxf23232322128)2(22zzzzz.6)2(222323221zzzz最后令最后令,2,3332211zwzzwzw,2,3332211wzwwzwz即即則則.622),(232221321wwwxxxf這即為標(biāo)準(zhǔn)形，而這幾次線性替換的結(jié)果相當(dāng)于作這即為標(biāo)準(zhǔn)形，而這幾次線性替換的結(jié)果相當(dāng)于作一個(gè)總的線性替換，一個(gè)總的線性替換，321321100210001100010101100011011wwwxxx.100111311321www 用配方法把三

7、元二次型用配方法把三元二次型32312123222132184432),(xxxxxxxxxxxxf化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性替換及變換矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性替換及變換矩陣.前面所講的配方法的過程，可以用矩陣寫出來前面所講的配方法的過程，可以用矩陣寫出來.我們按前面的每一種情況寫出相應(yīng)的矩陣我們按前面的每一種情況寫出相應(yīng)的矩陣. 這時(shí)的變數(shù)替換為這時(shí)的變數(shù)替換為,222111111nnnjjjyxyxxaayx該變數(shù)替換的矩陣為該變數(shù)替換的矩陣為,10001011111121111naaaaC則上述變數(shù)替換相應(yīng)于合同變換則上述變數(shù)替換相應(yīng)于合同變換A C1TAC1 .為了計(jì)算為了計(jì)算

8、C1TAC1 ，可令，可令., ),(22221112nnnnnaaaaAaa于是于是 A 和和 C1 可寫成分塊矩陣可寫成分塊矩陣,1,111111T11nEOaCAaA其中其中 T 為為 的轉(zhuǎn)置，的轉(zhuǎn)置，En - 1 為為 n - 1 級(jí)單位矩陣，級(jí)單位矩陣，于是于是,1111111T111T1111T1nnEOaAaEaOACC1111T1111111nEOaaAOa.T111111aAOOa矩陣矩陣 A1 - a11-1 T 是一個(gè)是一個(gè) ( n - 1 ) ( n - 1 ) 對(duì)對(duì)稱矩陣，由歸納法假設(shè)，有稱矩陣，由歸納法假設(shè)，有 ( n - 1 ) ( n - 1 ) 可逆可逆矩陣矩

9、陣 G 使使GT( A1 - a11-1 T )G = D為對(duì)角形為對(duì)角形. 令令,12GOOC于是于是GOOaAOOaGOOCACCC11T111111T21T1T2,11DOOa這是一個(gè)對(duì)角矩陣這是一個(gè)對(duì)角矩陣. 我們所要的可逆矩陣為我們所要的可逆矩陣為C = C1C2 . 這時(shí)，只要把這時(shí)，只要把 A 的第一行與第的第一行與第 i 行互換，再把行互換，再把第一列與第第一列與第 i 列互換，就歸結(jié)成情形一，根據(jù)初等列互換，就歸結(jié)成情形一，根據(jù)初等矩陣與初等變換的關(guān)系，取矩陣與初等變換的關(guān)系，取100000010000000001000100000010001000), 1 (1iPCi行行

10、i 列列顯然顯然P( 1 , i )T = P( 1, i ) .矩陣矩陣C1TAC1 = P( 1 , i ) A P( 1 , i )就是把就是把 A 的第一行與第的第一行與第 i 行互換，再把第一列與第行互換，再把第一列與第i 列互換的結(jié)果列互換的結(jié)果.因此，因此， C1TAC1 左上角第一個(gè)元左上角第一個(gè)元素就是素就是 aii ，這樣就歸結(jié)到第一種情形，這樣就歸結(jié)到第一種情形. 與上一種情形類似，作合同變換與上一種情形類似，作合同變換P( 2 , j )TAP( 2 , j )可以把可以把 a1j 搬到第一行第二列的位置，這樣就變成搬到第一行第二列的位置，這樣就變成了配方法中的第二種情

11、況了配方法中的第二種情況. 與那里的變數(shù)替換相對(duì)與那里的變數(shù)替換相對(duì)應(yīng)，取應(yīng)，取,00000100001100111C于是于是 C1TAC1 的左上角就是的左上角就是,20021212 aa也就歸結(jié)到第一種情形也就歸結(jié)到第一種情形. 由對(duì)稱性，由對(duì)稱性，aj1 , j = 1, 2, , n , 也全為零，于是也全為零，于是,01AOOAA1 是是 n - 1 級(jí)對(duì)稱矩陣級(jí)對(duì)稱矩陣. 由歸納法假設(shè)，有由歸納法假設(shè)，有n - 1 級(jí)級(jí)可逆矩陣可逆矩陣 G 使使GTA1G = D成對(duì)角形成對(duì)角形.取取,1GOOCCTAC 就成為對(duì)角形就成為對(duì)角形. 用配方法化二次型用配方法化二次型32312132

12、1622),(xxxxxxxxxf為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形.該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為.031301110A,1000110111C因?yàn)橐驗(yàn)?a11 = a22 = a33 = 0, 但但 a12 0, 故屬于情形三故屬于情形三取取1000110110313011101000110111T11ACCA.042420202再取再取,1000101012C10001010104242020210101000121T22CACA.240420002再取再取,1002100013C10021000124042000212001000132T33CACA.600020002A3 已是對(duì)角矩陣，因此

13、令已是對(duì)角矩陣，因此令100210001100010101100011011321CCCC,100111311就有就有.600020002TACC作非退化線性替換作非退化線性替換X = CY ,即得即得.622),(232221321yyyxxxf在本節(jié)的最后，再來討論化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的在本節(jié)的最后，再來討論化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的初等變換法初等變換法.由本節(jié)由本節(jié)知，知，對(duì)任意一個(gè)對(duì)稱矩陣對(duì)任意一個(gè)對(duì)稱矩陣 A都可以找到一個(gè)可逆矩陣都可以找到一個(gè)可逆矩陣 C 使使CTAC成為對(duì)角矩陣成為對(duì)角矩陣. 由于由于 C 可逆，由第四章可逆，由第四章知，存在初等矩陣知，存在初等矩陣 P1, P2 , , P

14、k , 有有C = P1P2 Pk . PkT P2TP1T A P1P2 Pk 于是于是為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣. 這說明，這說明，.這里所謂的相同類型的初等行、列變換指這里所謂的相同類型的初等行、列變換指的是：每對(duì)的是：每對(duì) A 進(jìn)行一次行變換，緊接著對(duì)進(jìn)行一次行變換，緊接著對(duì) A 進(jìn)行進(jìn)行一次相同類型的列變換一次相同類型的列變換.又因?yàn)橛忠驗(yàn)镃 = P1P2 Pk =EP1P2 Pk ，所以，對(duì)所以，對(duì) A 作的列變換同樣施加于作的列變換同樣施加于 E，即得變換，即得變換矩陣矩陣 C . 于是就有于是就有用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法是：用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法是：,EAB 用

15、初等變換法化二次型用初等變換法化二次型323121321622),(xxxxxxxxxf為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形.該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為.031301110A構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣 B100010001031301110B100111311600020002 所以二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為所以二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為,622232221yyyf 所用線性替換為所用線性替換為.,33332123211yxyyyxyyyx3231212322218241212312xxxxxxxxxf 用初等變換法化二次型用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形. 二次型二次型 2x1x2 + 2x1x3 -6x2x3 的標(biāo)準(zhǔn)形的

16、標(biāo)準(zhǔn)形.這個(gè)二次型是上一節(jié)中的例這個(gè)二次型是上一節(jié)中的例1，由此可知，二，由此可知，二次型次型 2x1x2 + 2x1x3 -6x2x3 經(jīng)過線性替換經(jīng)過線性替換321321100111311wwwxxx變成的標(biāo)準(zhǔn)形為變成的標(biāo)準(zhǔn)形為,622232221www可以驗(yàn)證，該二次型經(jīng)過線性替換可以驗(yàn)證，該二次型經(jīng)過線性替換3213213100312111211yyyxxx就得到另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形就得到另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形.32212232221yyy這就說明，這就說明，但有一但有一點(diǎn)是肯定的，即點(diǎn)是肯定的，即這是因?yàn)?，?jīng)過非退化線性替換這是因?yàn)?，?jīng)過非退化線性替換四章第四節(jié)四章第四節(jié)合同的矩陣有相同的秩，這合同的

17、矩陣有相同的秩，這就是說，經(jīng)過非退化線性替換之后，二次型矩陣的就是說，經(jīng)過非退化線性替換之后，二次型矩陣的秩是不變的秩是不變的. 標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對(duì)角矩陣，而對(duì)角矩標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對(duì)角矩陣，而對(duì)角矩陣的秩就等于它對(duì)角線上不為零的元素的個(gè)數(shù)陣的秩就等于它對(duì)角線上不為零的元素的個(gè)數(shù). 這這就證明了標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是就證明了標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一確定的唯一確定的. 于是，我們引入二次型秩的概念：于是，我們引入二次型秩的概念：二次型的矩陣變成了一個(gè)與之合同的矩陣二次型的矩陣變成了一個(gè)與之合同的矩陣. 由第由第 在本節(jié)中，我們要討論的問題是：在復(fù)數(shù)域在本節(jié)中，我們要討論的

18、問題是：在復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域中，進(jìn)一步研究唯一性的問題和實(shí)數(shù)域中，進(jìn)一步研究唯一性的問題.設(shè)設(shè) f ( x1 , x2 , , xn ) 是一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型是一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型.由本章由本章經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換后經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換后f ( x1 , x2 , , xn ) 變成標(biāo)準(zhǔn)形變成標(biāo)準(zhǔn)形.不妨假設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)不妨假設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)形是形是d1y12 + d2y22 + + dryr2 , di 0, i = 1, 2, , r ,其中其中 r 是是 f ( x1 , x2 , , xn ) 的矩陣的秩的矩陣的秩. 因?yàn)閺?fù)數(shù)因?yàn)閺?fù)數(shù)總可以開平方，所以我們?cè)僮饕环峭嘶€性替換總可以開平方，

19、所以我們?cè)僮饕环峭嘶€性替換,1,111111nnrrrrrzyzyzdyzdyd1y12 + d2y22 + + dryr2 , di 0, i = 1, 2, , r ,就變成就變成上式稱為復(fù)二次型上式稱為復(fù)二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的的.顯然規(guī)范形完全被原二次型矩陣的秩所決定，因此顯然規(guī)范形完全被原二次型矩陣的秩所決定，因此有有 定理定理 3 換個(gè)說法就是換個(gè)說法就是 0011設(shè)設(shè) f ( x1 , x2 , , xn ) 是一個(gè)實(shí)系數(shù)的二次型是一個(gè)實(shí)系數(shù)的二次型.由本章由本章經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換，再適當(dāng)排列文字的次序，可使再適當(dāng)

20、排列文字的次序，可使 f ( x1 , x2 , , xn ) 變變成標(biāo)準(zhǔn)形成標(biāo)準(zhǔn)形d1y12 + + dpyp2 - dp+1y2p+1 - - dryr2 ,其中其中 di 0 , i = 1, , r ; r 是是 f ( x1 , x2 , , xn )的秩的秩. 因?yàn)樵趯?shí)數(shù)域中，正實(shí)數(shù)總可以開平方，所以再作因?yàn)樵趯?shí)數(shù)域中，正實(shí)數(shù)總可以開平方，所以再作一非退化線性替換一非退化線性替換,1,111111nnrrrrrzyzyzdyzdy二次型二次型 d1y12 + + dpyp2 - dp+1y2p+1 - - dryr2 就變成就變成稱之為實(shí)二次型稱之為實(shí)二次型 f ( x1 , x2

21、 , , xn )的的. 顯然顯然規(guī)范形完全被規(guī)范形完全被 r, p 這兩個(gè)數(shù)所決定這兩個(gè)數(shù)所決定. 對(duì)于實(shí)系數(shù)二對(duì)于實(shí)系數(shù)二次型的規(guī)范形，我們有以下定理：次型的規(guī)范形，我們有以下定理： 定理的前一半在上面已經(jīng)證明，下面就定理的前一半在上面已經(jīng)證明，下面就來證唯一性來證唯一性.設(shè)實(shí)二次型設(shè)實(shí)二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 經(jīng)過非退化線性經(jīng)過非退化線性替換替換 X = BY 化成規(guī)范形化成規(guī)范形f ( x1 , x2 , , xn ) = y12 + + yp2 - y2p+1 - - yr2 ,而經(jīng)過非退化線性替換而經(jīng)過非退化線性替換 X = CZ 也化成規(guī)范形也化成規(guī)范形f

22、 ( x1 , x2 , , xn ) = z12 + + zq2 - z2q+1 - - zr2 .現(xiàn)在來證明現(xiàn)在來證明 p = q .用反證法用反證法. 設(shè)設(shè) p q .由以上假設(shè)，我們有由以上假設(shè)，我們有y12+yp2-y2p+1-yr2 = z12+zq2-z2q+1-zr2 ,其中其中Z = C -1BY .令令,2122221112111nnnnnngggggggggGBC則有則有.,22112222112212121111nnnnnnnnnnygygygzygygygzygygygz于是可得關(guān)于于是可得關(guān)于y1,yp ,yp+1, yn的齊次線性方程組的齊次線性方程組為了從等式為

23、了從等式y(tǒng)12+yp2-y2p+1-yr2 = z12+zq2-z2q+1-zr2中找到矛盾，中找到矛盾，令令 yp+1 = = yn = 0 , z1 = = zq = 0,.0,0,0,0122111212111npnqnqqnnyyygygygygygyg該方程組含有該方程組含有 n 個(gè)未知量，而含有個(gè)未知量，而含有q + ( n - p ) = n - ( p - q ) 0 ,而它的右邊為而它的右邊為- z2q+1 - - zr2 0 ,這是一個(gè)矛盾，它說明假設(shè)這是一個(gè)矛盾，它說明假設(shè) p q 是不對(duì)的是不對(duì)的. 因此因此就有就有 p q .同理可證同理可證 q p ， 從而從而 p

24、 = q . 這就證明了規(guī)范這就證明了規(guī)范形的唯一性形的唯一性. 應(yīng)該指出，雖然實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，應(yīng)該指出，雖然實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，但是由上面化成規(guī)范形的過程可以看出，標(biāo)準(zhǔn)形中但是由上面化成規(guī)范形的過程可以看出，標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)與規(guī)范形中正平方項(xiàng)的個(gè)系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)與規(guī)范形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是一致的數(shù)是一致的. 因此，慣性定理也可以敘述為：因此，慣性定理也可以敘述為：把上述關(guān)于二次型的規(guī)范形的結(jié)論，移置到矩把上述關(guān)于二次型的規(guī)范形的結(jié)論，移置到矩陣上來，就是陣上來，就是 0011 001111在實(shí)二次型中，正定二次型占有特殊的地位在實(shí)二次型中，正定二次型占有

25、特殊的地位.因因?yàn)檎ǘ涡团c正定矩陣在工程技術(shù)和最優(yōu)化等問為正定二次型與正定矩陣在工程技術(shù)和最優(yōu)化等問題中有著廣泛的應(yīng)用，討論多元函數(shù)極值的充分條題中有著廣泛的應(yīng)用，討論多元函數(shù)極值的充分條件也要用到它件也要用到它. 在這一節(jié)中，我們給出它的定義以在這一節(jié)中，我們給出它的定義以及常用的判別條件及常用的判別條件. 222221121),(nnnxdxdxdxxxf 設(shè)二次型設(shè)二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 經(jīng)過非退經(jīng)過非退化實(shí)線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形化實(shí)線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形d1x12 + d2x22 + + dnxn2 由前面討論的基本結(jié)論由前面討論的基本結(jié)論 1 知，該標(biāo)準(zhǔn)形是正定

26、的當(dāng)知，該標(biāo)準(zhǔn)形是正定的當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng) di 0 , i =1, 2, , n , 即正慣性指數(shù)為即正慣性指數(shù)為 n . 再再由基本結(jié)論由基本結(jié)論 2 即得即得.定理定理 6 說明，正定二次型說明，正定二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的的規(guī)范形為規(guī)范形為 因?yàn)槎涡鸵驗(yàn)槎涡?x12 + x22 + + xn2 的矩陣是單位的矩陣是單位矩陣矩陣 E，所以，所以，由此得：，由此得： 設(shè)設(shè) A 為實(shí)對(duì)稱矩陣，則由為實(shí)對(duì)稱矩陣，則由實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣 A 正定正定實(shí)二次型實(shí)二次型 XTAX 正定正定實(shí)二次型實(shí)二次型 XTAX 的規(guī)范的規(guī)范型是型是 x12 + x22 + + xn

27、2 實(shí)二次型實(shí)二次型 XTAX 的規(guī)范的規(guī)范型是型是 x12 + x22 + + xn2 存在可逆矩陣存在可逆矩陣 C，使，使 A = CTEC = CTC .矩陣矩陣 A 與與 E 合同合同有有 設(shè)設(shè) A 是一正定矩陣，則由推論是一正定矩陣，則由推論 1 知，知，存在可逆矩陣存在可逆矩陣 C，使，使A = CTC .兩邊取行列式，就有兩邊取行列式，就有| A | = | CT | | C | = | C |2 0 . 證明：若證明：若 A 是正定矩陣，則是正定矩陣，則 A-1 也是正也是正定的定的.由正定矩陣的定義知，正定矩陣是實(shí)對(duì)由正定矩陣的定義知，正定矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣，稱矩陣，由推論由推

28、論 2 知，正定矩陣知，正定矩陣 A 是可逆的，是可逆的，且且( A-1 )T = ( AT )-1 = A-1 ，所以所以 A-1 也是實(shí)對(duì)稱矩陣也是實(shí)對(duì)稱矩陣. 證明其正定性的方法很證明其正定性的方法很多多. 用慣性指數(shù)法判斷三元二次型用慣性指數(shù)法判斷三元二次型3221232221321),(xxxxxxxxxxf是否是正定二次型是否是正定二次型.有時(shí)我們需要直接從二次型的矩陣來判別這個(gè)有時(shí)我們需要直接從二次型的矩陣來判別這個(gè)二次型是不是正定的，而不希望通過它的標(biāo)準(zhǔn)形或二次型是不是正定的，而不希望通過它的標(biāo)準(zhǔn)形或規(guī)范形規(guī)范形.下面來解決這個(gè)問題下面來解決這個(gè)問題. 為此，引入為此，引入 )

29、, 2 , 1(212222111211niaaaaaaaaaPiiiiiii ninjjiijnAXXxxaxxxf1T121),(先證先證設(shè)二次型設(shè)二次型ninjjiijnxxaxxxf1121),(是正定的是正定的.對(duì)于每個(gè)對(duì)于每個(gè) k ，1 k n , 令令kikjjiijkkxxaxxxf1121.),(我們來證我們來證 fk 是一個(gè)是一個(gè) k 元的正定二次型元的正定二次型. 對(duì)于任意一對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)組不全為零的實(shí)數(shù) c1 , , ck 有有kikjjiijkkccacccf1121),(.0)0 , 0 ,(21kcccf因此因此),(21kkxxxf是正定的是正定的.

30、由由fk 的矩陣的行列式的矩陣的行列式., 1,01111nkaaaakkkk這就證明了矩陣這就證明了矩陣 A 的順序主子式全大于零的順序主子式全大于零.再證再證對(duì)對(duì) n 作數(shù)學(xué)歸納法作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)當(dāng) n = 1 時(shí)，時(shí)，f ( x1 ) = a11x12 ,由條件由條件 a11 0 顯然有顯然有 f ( x1 ) 是正定的是正定的.假設(shè)充分性的論斷對(duì)于假設(shè)充分性的論斷對(duì)于 n - 1 元二次型已成立元二次型已成立,現(xiàn)在來證現(xiàn)在來證 n 元的情形元的情形.令令, 111, 11 , 11, 1111nnnnnnnaaaaaaA于是矩陣于是矩陣 A 可以分塊成可以分塊成.T1nnaAA既然既然

31、 A 的順序主子式全大于零，當(dāng)然的順序主子式全大于零，當(dāng)然 A1 的順的順序主子式也全大于零序主子式也全大于零. 由歸納法假設(shè)，由歸納法假設(shè)，A1 是正定是正定矩陣，換句話說，有可逆的矩陣，換句話說，有可逆的 n - 1 級(jí)矩陣級(jí)矩陣 G 使使GTA1G = En - 1 ,這里這里 En - 1 代表代表 n - 1 級(jí)單位矩陣級(jí)單位矩陣. 令令,11OOGC于是于是11T1T1T1OOGaAOOGACCnn11T1T1T1OOGaAOOGACCnn.TT1nnnaGGE再令再令,1T12OGECn有有11T1TT1T121T1T2OGEaGGEGOECACCCnnnnn.TT1GGaOOE

32、nnn令令C = C1C2 , ann - TGGT = a ,就有就有.11TaACC兩邊取行列式，兩邊取行列式，| C |2 | A | = a .由條件由條件 | A | 0 得得 a 0 .這就說明，矩陣這就說明，矩陣 A 與單與單位矩陣合同，所以，位矩陣合同，所以，A 是正定矩陣，或者說二次是正定矩陣，或者說二次型型),(21nxxxf是正定的是正定的. 充分性得證充分性得證. 利用下列模型判別矩陣的正定性利用下列模型判別矩陣的正定性 判別二次型判別二次型43424131212423222143211262421993),(xxxxxxxxxxxxxxxxxxf的正定性的正定性.二次型的矩陣為二次型的矩陣為,19631690230311211它的順序主子式分別為它的順序主子式分別為,01|1|1P, 0231112P9020312113P60 ,196316902303112114P240 ,由此可知二次型是正定的由此可知二次型是正定的. (所謂主子式是指行指標(biāo)與列指標(biāo)相同的子式所謂主子式是指行指標(biāo)與列指標(biāo)相同的子式)，在，在 (5) 中，僅有順序主子式大于或等于中，僅有順序主子式大于或等于零是不能保證半正定性的零是不能保證半