Cantor集合的構(gòu)造及推廣(共18頁)

1、晉 中 學(xué) 院XX學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計)題 目 cantor集合的構(gòu)造及推廣院 系 XX學(xué)院 專 業(yè) XXXXXX 姓 名 XXX 學(xué) 號 XXXXXXX 學(xué)習(xí)年限 20XX 年 XX 月至 201XX 年XX月指導(dǎo)教師 XXX 職稱 講師 申請學(xué)位 學(xué) 士 學(xué) 位 年 月 日Cantor集的構(gòu)造及其推廣 學(xué)生姓名:X X（XX級XX班）指導(dǎo)教師:XXX摘 要：Cantor集是實變函數(shù)課程中一個重要的例子，它的非同尋常和神奇，不但表現(xiàn)在它的構(gòu)造的特殊性，而且在于它有許多奇特的性質(zhì).本文首先從一維空間Cantor集的構(gòu)造出發(fā)，討論了它的性質(zhì)，并給出了其一些簡單的應(yīng)用.同時，闡述了Cantor函

2、數(shù)的定義；其次，從不同方面、不同角度探討了一維空間中推廣的Cantor集的構(gòu)造，另外，還給出了一類疏朗完備集在區(qū)間中的構(gòu)造方法；最后，簡單論述了二維空間的類Cantor集的構(gòu)造關(guān)鍵詞：Cantor集；性質(zhì)；應(yīng)用；疏朗集；推廣 Construction and Generalization of Cantor setStudent: X XXInstructor: X XXAbstract: The Cantor set is an important example in the course of real variable function，it unusual and mysteriou

3、s，not only in its structure is special，moreover lies in its unique propertiesThis paper first from one dimensional Cantor sets out，discussed its properties， and gives some simple applications. At the same time，elaborated the Cantor function is defined；Secondly，from different aspects，different angles

4、 of the one-dimensional space of generalized Cantor set construction，in addition，a construction method of nondense set in closed interval is given in this paper；Finally，discusses the two-dimensional space of class Cantor sets simplyKey words: Cantor set；properties；application；nondense set；generaliza

5、tion目 錄引言 11 集合論的產(chǎn)生背景與歷史意義12. 一維空間中的Cantor集22. 2 Cantor集的構(gòu)造22. 2 Cantor集的重要性質(zhì)2 2. 3 Cantor集的應(yīng)用53 Cantor函數(shù)的定義及性質(zhì)84. 一維空間中推廣的Cantor集1041 一維空間中推廣的Cantor集的構(gòu)造1042 的重要性質(zhì)115 二維空間的類Cantor集12參考文獻14引言集合論是19世紀末20世紀初德國偉大的數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論，同時也被譽為“數(shù)學(xué)大廈的基石”.它的概念和方法已經(jīng)滲透到分析、代數(shù)及拓撲學(xué)等眾多數(shù)學(xué)分支以及物理學(xué)等一些學(xué)科中，并為這些學(xué)科提供了理論基礎(chǔ)

6、，推動了它們的發(fā)展.Cantor集也是實變函數(shù)中的一類重要的集合，其特殊的構(gòu)造過程和算術(shù)結(jié)構(gòu)，使它擁有許多奇特的性質(zhì)，康托爾三分集就是Cantor集合中最常見的構(gòu)造.本文闡述了Cantor集在一維空間中的構(gòu)造、性質(zhì)、應(yīng)用以及Cantor函數(shù)的定義，敘述了一維空間中推廣的Cantor集的構(gòu)造及其重要性質(zhì)，最后簡單的說明了二維空間的類Cantor集.1. 集合論的產(chǎn)生背景與歷史意義集合論在19世紀誕生的基本原因，來自數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運動.數(shù)學(xué)分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念.在18世紀，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴重的邏輯困難，而且還使無窮概念在數(shù)學(xué)

7、中信譽掃地.19世紀上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述.在這基礎(chǔ)上建立起連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分以及無窮級數(shù)的理論.正是這19世紀發(fā)展起來的極限理論相當完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難.但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴密化.柯西思想有一定的模糊性，甚至產(chǎn)生邏輯矛盾.19世紀后期的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)使柯西產(chǎn)生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎(chǔ)的極限概念上.嚴格地說柯西的極限概念并沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的算術(shù)的基礎(chǔ)上.于是，許多受分析基礎(chǔ)危機影響的數(shù)學(xué)家致力于分析的嚴格化.在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象連續(xù)函數(shù)的描述.在數(shù)與連續(xù)性的定義中，有涉及關(guān)于無限的理

8、論.因此，無限集合在數(shù)學(xué)上的存在問題又被提出來了.這自然也就導(dǎo)致尋求無限集合的理論基礎(chǔ)的工作.總之，為尋求微積分徹底嚴密的算術(shù)化傾向，成了集合論產(chǎn)生的一個重要原因.如果沒有集合論的觀點，很難對現(xiàn)代數(shù)學(xué)獲得一個深刻的理解.所以康托爾對集合論的創(chuàng)立，不僅對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究有重要的意義，而且對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展、哲學(xué)、邏輯學(xué)的學(xué)習(xí)也有深遠的的影響.因此康托爾成為世紀之交的最偉大的數(shù)學(xué)家之一.2. 一維空間中Cantor集2.1 Cantor集的構(gòu)造Cantor集的構(gòu)造主要是指Cantor三分集的構(gòu)造.將直線上的基本空間用分點和三等分，去掉中間的開區(qū)間，記為.把剩下兩個閉區(qū)間，分別再三等分，然后各去掉中間的

9、開區(qū)間，記為，.余下4個閉區(qū)間， ， ，又分別把這些閉區(qū)間三等分，并各去掉中間的開區(qū)間，記為，.如此方法進行下去，第次時，去掉的開區(qū)間（稱為第級區(qū)間，每個區(qū)間的長度為，計有個）：，記，這是開集，所以是閉級，稱為Cantor集.2.2Cantor集的重要性質(zhì)1. 是非空閉集.這是顯然的，在的構(gòu)造中是任意個開集的并，所以仍是開集，是的補集，所以是閉集.同時被去掉的開區(qū)間的端點及，都不會被除去而留在內(nèi)，所以是非空的.所以是非空閉集.2. 是完備集.由性質(zhì)1可知， 是一個非空閉集.欲證明是完備集，只須證明中無孤立點，若不然，假設(shè)有一個孤立點，易知端點0與1是的聚點，故或1.在中存在構(gòu)成區(qū)間與，其中均無

10、的點，即且，但.，將分別包含在的兩個構(gòu)成區(qū)間與中，也即為的某個構(gòu)成區(qū)間的公共端點，而據(jù)的構(gòu)造可知，這是不可能的.所以,是無孤立點的非空閉集.是完備集.3. 沒有內(nèi)點且為疏朗集.事實上，在的作法中講過，“去掉”過程進行到第次為止時，剩下個長度是的互相隔離的閉區(qū)間，因此任何一點必含在這個閉區(qū)間的某一個里面.從而在的任一鄰域內(nèi)至少有一點不屬于，但，故不可能是的內(nèi)點. 既然是沒有內(nèi)點的閉集，那么在直線上任一開區(qū)間內(nèi)必至少含有開集的一點，從而內(nèi)必至少有一子開區(qū)間，其中不含的點.凡是一個點集 (不限于中)，如果具有性質(zhì):空間任一鄰域內(nèi)至少包含某點的一個鄰域，其中不含的點，則稱為疏朗集合，或無處稠密集合(是

11、疏朗集合的特征是沒有內(nèi)點).因此是一個疏朗集合.4. 有連續(xù)基數(shù).先用三進位有限小數(shù)來表示的余區(qū)間的端點.則有 .可以看出第級余區(qū)間形如，其中都是0或2.因此，的余區(qū)間中的點有形式.即中的數(shù)展成三進制小數(shù)時，其中至少有一位是1.我們考察形如的小數(shù)，其中每個系數(shù)都是0或者2，這種小數(shù)全體記為.由于而中的數(shù)展開成三進制小數(shù)中至少有一位是1，所以中沒有的數(shù)，因而有.令是的二進制小數(shù)表示全體(也采用二進制有理小數(shù)的有限位小數(shù)表示).作到的映射，其中或2，這個映射是一一映射，但的基數(shù)是，所以的基數(shù)也是.由得，又，所以.5. 是不可列集.若不然，假設(shè)是可列的，將中點編號成點列，也就是說，中任一點必在上述點

12、列中出現(xiàn).顯然，與中應(yīng)有一個不含有，用表示這個閉區(qū)間.將三等分后所得的左與右兩個閉區(qū)間中，應(yīng)有一個不含，用表示它.然后用表示三等分時不含的左或右的那個閉區(qū)間，如此等等.這樣，根據(jù)歸納法，得到一個閉區(qū)間列.由所述取法知， ，;同時，易見的長為.于是根據(jù)數(shù)學(xué)分析中區(qū)間套定理，存在點，.可是是等的端點集的聚點，從而是閉集的聚點，故.由于上面已指出，故，.這是一個矛盾.故不可列. 6.的測度為零.為了證明的測度為零，只需證明被挖去的區(qū)間的長度之和為1.事實上，第級區(qū)間的長度是，但第級區(qū)間共有個，所以被挖去的區(qū)間的總長度為.則.所以是一個測度為零的不可列集.7. 上的任何函數(shù)均是可測函數(shù).零測度集上的任

13、何子集都是可測的.8. 上的任何函數(shù)勒貝格可積.零測度集上的任何函數(shù)勒貝格可積，且積分值為零.2.3 Cantor集的應(yīng)用例1 試作一閉集，使中不含任何開區(qū)間，且.解 仿照Cantor集的作法步驟完成的構(gòu)造：第一步：在的中央去掉長為的開區(qū)間；第二步：在余下的兩個閉區(qū)間和中分別去掉中央處長為的開區(qū)間，它們的并是；第步：在余下的個閉區(qū)間中，分別去掉其中央處長為的開區(qū)間，記這個互不相交的開區(qū)間之并為.令為開集，且與Cantor集具有類似的性質(zhì)；從而為可測集，且.故.例2 在上定義：在Cantor集中的點，有；在的鄰區(qū)間中點，有；時是線性的.試計算.解 將分成兩兩不相交的集之并：由Cantor集的構(gòu)造

14、知，是一個長為的區(qū)間，是個長為的區(qū)間的并，是個長為的區(qū)間的并是個長為的區(qū)間的并，由積分的完全可加性得：由Cantor集的性質(zhì)8有，又由于在上黎曼可積，因此等于相應(yīng)三角形面積，求和得： .例3 設(shè)是康托爾三分集的補集中構(gòu)成區(qū)間的中點所成的集，求.證明 若，則必屬于的某一構(gòu)成區(qū)間.由于在的鄰域中，只有一點，故不可能是的聚點. 若，由康托爾集的構(gòu)造知，的任一鄰域必含有的某個構(gòu)成區(qū)間，于是必有的點，故為的聚點.綜上便得.例4 設(shè)在Cantor集上為，而在的補集中長為的構(gòu)成區(qū)間上為，求積分.解 令為中長為的各區(qū)間之并，則有個長為的開區(qū)間，且，由題意知 由積分的完全可加性及Cantor集的性質(zhì)8可知： 令

15、，則由冪級數(shù)的求和運算得：，從而.例5 設(shè)為Cantor集，為中的不可數(shù)集，在上定義函數(shù) ，判斷在上是否可測. 解 由上面的性質(zhì)6可知，又，由測度的單調(diào)性及非負性有，即，從而在上可測.上述我們僅從幾個不同的側(cè)面舉例討論Cantor集的運用，研究和掌握Cantor集的性質(zhì)有助于研究直線上點集的性質(zhì).特別地，經(jīng)常運用Cantor集說明問題和構(gòu)造反例.3. Cantor函數(shù)的定義及性質(zhì)設(shè)C是中的Cantor集，其中的點我們用三進位小數(shù)， ;來表示.(1)作定義在C上的函數(shù).對于，定義,;.因為中的點可以用二進小數(shù)表示，所以有. 下面證明是C上的單調(diào)上升函數(shù).設(shè)是取0或1的數(shù)，而且它們所表示的C中的數(shù)

16、有下述關(guān)系:.若記，則我們有 .從而得到(注意:，則.由此知) .(2)作定義在上的函數(shù).對于，定義.顯然，是上的單調(diào)上升函數(shù)，因為，所以是上的連續(xù)函數(shù).此外，在構(gòu)造Cantor集的過程中所移去的每個中央三分開區(qū)間上，都是常數(shù).我們稱為Cantor函數(shù).1. Cantor函數(shù)是上的單增函數(shù)由其構(gòu)造方法易得這個性質(zhì)，在這里就不證明了2. Cantor函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)引理：是上的單增實值函數(shù)，是區(qū)間的稠密子集，則連續(xù).證明：首先證明在連續(xù)，由假設(shè)知對于任意的，存在，使得利用的單調(diào)性知道：當這樣在連續(xù)，同理可證明在連續(xù).現(xiàn)在取我們只要證明：明顯：，假如二者不相等，則有，使得這和在中的稠密矛盾：同理

17、可以證明證明：由于：在中稠密，因此是的稠密子集.得到上述引理，是上的連續(xù)函數(shù).4. 一維空間中推廣的Cantor集Cantor集是在區(qū)間上用十分奇特的方法構(gòu)造出來的一個完備疏朗集.它不含任何區(qū)間，測度為0，是點集中的一個重要例子.現(xiàn)將其用靈活的方法，推廣在區(qū)間上.4.1 一維空間中推廣的Cantor集的構(gòu)造任何閉區(qū)間內(nèi)均含有一個完備疏朗集.閉區(qū)間上去掉長度為的開區(qū)間，剩下兩個長度為的閉區(qū)間，又分別在剩下的兩個閉區(qū)間中間去掉長度為的開區(qū)間，剩下個長度為的閉區(qū)間.再分別在又剩下的四個閉區(qū)間中間去掉長度為的開區(qū)間，剩下個長度為的閉區(qū)間.一般地，當進行第次時一共去掉個開區(qū)間，剩下個長度為的互相隔離的閉

18、區(qū)間.而在第次時，再在這剩下的個閉區(qū)間中間，按照上述作法規(guī)律各去掉一個開區(qū)間，如此這樣繼續(xù)下去.就從去掉了可數(shù)個互不相交的開區(qū)間.由于直線上的閉集或者是全直線，或者是從直線上挖掉有限個或可數(shù)個互不相交的開區(qū)間所得到的集.所以剩下的必是閉集.于是我們就得到一簇(取值不同，得到的集不同)閉集，記作. 4.2 的重要性質(zhì)1. 可測且測度由和的值確定.證明 因為凡閉集皆可測，故可測.將構(gòu)造過程中去掉的開區(qū)間的并記為.由可測集合的可數(shù)可加性有: 所以，.2. 是完備集.由于的鄰接區(qū)間的作法，它們的任何兩個之間根本不存在公共端點，故是完備集.3. 沒有內(nèi)點.在的構(gòu)造過程中“去掉”手續(xù)進行到第次為止時，剩下

19、個長度為的互相隔離的閉區(qū)間.因此任何一點必含在這個閉區(qū)間的某一個里面，從而在的任一鄰域內(nèi)至少有一點不屬于，但，故不可能是的內(nèi)點.因為，即沒有內(nèi)點，所以是疏朗集.顯然當時，即Cantor集合.5. 二維空間的類Cantor集可數(shù)個互不相交區(qū)間的長度的總和等于每個區(qū)間長度的和.于是的長度總和為.我們還可以在中做出總長度為(是任意給定的數(shù))的稠密開集.為此，取，并采用類似于Cantor集的構(gòu)造過程：第一步，我們移去長度為的同心開區(qū)間；第二步，在留存的兩個閉區(qū)間的每一個中，又移去長度為的同心開區(qū)間；第三步，在留存的四個閉區(qū)間中再移去長度為的同心區(qū)間；.繼續(xù)此過程，可得一列移去的開區(qū)間，記其并集為G(開

20、集)，則G的總長度為.我們稱為類Cantor集（當時，就是Cantor（三分）集）.也是非空完全集，且沒有內(nèi)點.由此還易知:若要在的單位方體中構(gòu)造具有類似性質(zhì)的集合，則只需取(是中的類Cantor集)即可.（類Cantor集也稱Harnack集）Cantor集推廣到二維空間中若要在的單位平面上構(gòu)造具有類似性質(zhì)的集合，只需取(是中的類Cantor集)即可.例 將邊長為1面積為的正三角形用三條邊的中點連線四等分，去掉中間的正三角形(開區(qū)間)記為.把剩下的3個面積為正三角形(閉區(qū)間)分別再四等分，然后各去掉中間的正三角形(開區(qū)間)，記為，.余下9個面積為的正三角形(閉區(qū)間)，又分別把這些正三角形四等分，并各去掉中間的三角形(開區(qū)間)，記為，.余下2