信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試課件

1、第第8 8章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換8.18.1離散傅里葉變換離散傅里葉變換(dft)(dft)定義定義8.28.2離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì)8.38.3用用dftdft計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積8.48.4頻域采樣頻域采樣8.58.5快速傅里葉變換快速傅里葉變換(fft)(fft)8.6 fft8.6 fft的應(yīng)用的應(yīng)用1信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試n從理論研究到工程實(shí)際從理論研究到工程實(shí)際l t il t i系統(tǒng)系統(tǒng)( )h( )x( )x t( )( )* ( )y th tx t( )( )( )yhx計(jì)算機(jī)可以計(jì)算機(jī)可以處理的處理的數(shù)據(jù)形式數(shù)據(jù)形式 離散離散有限

2、有限：存儲(chǔ)、運(yùn)算離散：存儲(chǔ)、運(yùn)算離散：存儲(chǔ)空間、運(yùn)算速度有限：存儲(chǔ)空間、運(yùn)算速度有限時(shí)域?qū)﹄x散時(shí)域?qū)﹄x散化后的序列化后的序列截?cái)嗷蚣哟敖財(cái)嗷蚣哟?頻域?qū)﹄x散信號(hào)的頻頻域?qū)﹄x散信號(hào)的頻譜（周期）加窗即只譜（周期）加窗即只取用一個(gè)周期取用一個(gè)周期 2信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試n從理論研究到工程實(shí)際從理論研究到工程實(shí)際已有的理論基礎(chǔ)已有的理論基礎(chǔ) 時(shí)頻域時(shí)頻域均離散均離散 3信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試8.1 8.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義8.1.1 8.1.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義從離散傅里葉級(jí)數(shù)從離散傅里葉級(jí)數(shù)dfsdfs到離散傅里葉變換到離散傅里葉變

3、換 knxnxkxknnnn,e)()(dfs)(2j10 nkxnkxnxknnnk,e)(1)(idfs)(2j10dfsdfs變換對(duì)為：變換對(duì)為： knn2je)(nx)(kx 由于由于對(duì)對(duì)k k和和n n都是以都是以n n為周期的，所以當(dāng)為周期的，所以當(dāng)也是以也是以n n為周期時(shí)。為周期時(shí)。其本身時(shí)，可以利用其本身時(shí)，可以利用dfsdfs的周期性，只需要在時(shí)域和頻域各取一的周期性，只需要在時(shí)域和頻域各取一個(gè)周期，計(jì)算一個(gè)周期，將所得結(jié)果進(jìn)行周期延拓，即可以得個(gè)周期，計(jì)算一個(gè)周期，將所得結(jié)果進(jìn)行周期延拓，即可以得到它們。到它們。是以是以n n為周期時(shí)，則為周期時(shí)，則)(nx)(kx和和是

4、無(wú)限長(zhǎng)的，但在計(jì)算序列的頻譜和是無(wú)限長(zhǎng)的，但在計(jì)算序列的頻譜和 雖然雖然4信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試 由于在由于在dfsdfs中，只用到一個(gè)周期的中，只用到一個(gè)周期的n n個(gè)值，取它們的主值個(gè)值，取它們的主值序列：序列：x x( (n n) (0) (0 n n n n-1)-1)和和x x( (k k) (0) (0 k k n n-1)-1)，等式依然，等式依然成立，這就是成立，這就是離散傅里葉變換離散傅里葉變換，即，即nknnnknnnnwnxnxnxkx 102j10)(e)()(dft)(nknnkknnnkwkxnkxnkxnx 102j10)(1e)(1)(idft)(k k

5、=0,1, =0,1, n n-1-1 n n=0,1, =0,1, n n-1-1 nnw2je 式式中中5信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試nknnnknnnnwnxnxnxkx 102j10)(e)()(dft)(nknnkknnnkwkxnkxnkxnx 102j10)(1e)(1)(idft)(k k=0,1, =0,1, n n-1-1 dftdft并不是一個(gè)新的傅里葉變換形式，只不過(guò)是將并不是一個(gè)新的傅里葉變換形式，只不過(guò)是將dfsdfs變換對(duì)中的序變換對(duì)中的序列取主值，就得到了列取主值，就得到了dftdft，將，將dftdft進(jìn)行周期延拓就得到進(jìn)行周期延拓就得到dfsdfs，因此，

6、因此dftdft隱含周期性。隱含周期性。 dftdft與與dfsdfs的關(guān)系：的關(guān)系： 有限長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列x x( (n n) )是非周期的，其頻譜應(yīng)該是連續(xù)的，但用是非周期的，其頻譜應(yīng)該是連續(xù)的，但用dftdft得得到的到的x x( (n n) )的頻譜是離散頻譜，這是由于將有限長(zhǎng)序列的頻譜是離散頻譜，這是由于將有限長(zhǎng)序列x x( (n n) )延拓成周延拓成周期序列而造成的。期序列而造成的。 的的主主值值，即即可可看看作作范范圍圍內(nèi)內(nèi)在在)(, )()(1-0kxkxkxnk )()()(krkxkxn 的的主主值值，即即可可看看作作范范圍圍內(nèi)內(nèi)在在)(),()(1-0nxnxnxnn

7、)()()(nrnxnxn n n=0,1, =0,1, n n-1-1 8.1.2 8.1.2 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（dftdft）與離散傅里葉級(jí)數(shù)（）與離散傅里葉級(jí)數(shù)（dfsdfs）的關(guān)系）的關(guān)系6信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試8.1.3 dft8.1.3 dft與與dtftdtft和和ztzt變換的關(guān)系變換的關(guān)系 設(shè)設(shè)x x ( (n n) )是一個(gè)長(zhǎng)度為是一個(gè)長(zhǎng)度為n n的有限長(zhǎng)序列，的有限長(zhǎng)序列， 則則x x ( (n n) )的的離散時(shí)間離散時(shí)間傅里葉變換傅里葉變換為為 將將離散化，在離散化，在0202上從上從0 0開(kāi)始等間隔地取開(kāi)始等間隔地取n n個(gè)點(diǎn)，即個(gè)點(diǎn)，即1jj

8、0()( )e( )ennnnnxx nx n 1, 1, 0,2 nkknk 即可得到離散傅里葉變換即可得到離散傅里葉變換dftdft。2-1j20()( )e( )knknnkknnx x nx k對(duì)對(duì)x x( () )進(jìn)行進(jìn)行均勻采樣，均勻采樣， 1. dtft1. dtft和和dftdft的關(guān)系的關(guān)系 x x( (k k) ) 是序列的傅立葉變換是序列的傅立葉變換x x( () ) 的在區(qū)間的在區(qū)間0, 20, 2 上的上的n n點(diǎn)等間隔采樣，采樣間隔為：點(diǎn)等間隔采樣，采樣間隔為： n n=2/=2/n n。7信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試為求為求dftdft的反變換，將的反變換，將d

9、ftdft兩邊乘以兩邊乘以下面證明下面證明idftidft的唯一性的唯一性nknw 并對(duì)并對(duì)k k從從0 0到到n n-1-1求和，得求和，得 -101010)()(nmknnkmnnkknnnkwwmxwkx -10)(10)(nknmknnmwmx nmnmnwnknmkn0,-10)(上式右邊上式右邊= =nxnx( (n n) ) 10)(1)(idft)(nkknnwkxnkxnxn=n=0 0, , 1 1, , n, , n-1-18信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試2. dft2. dft和和z z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 10(z)z ( )( )znnnxx nx n210( )d

10、ft ( )( )njknnnx kx nx n eknjezzxkx 2)()( 2jeknz比較比較z z變換與變換與dftdft變換，可見(jiàn)當(dāng)變換，可見(jiàn)當(dāng)設(shè)序列設(shè)序列x x( (n n) )的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為n n， 其其z z變換和變換和dftdft分別為：分別為：時(shí)，則有時(shí)，則有 x x( (k k) )也是也是z z變換在單位圓上的變換在單位圓上的n n點(diǎn)等間隔采樣值，采樣間隔點(diǎn)等間隔采樣值，采樣間隔為：為：n 2je9信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試10信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試?yán)?求求x x( (n n) = ) = r r4 4( (n n) ) 的的dtftdtft及及16

11、16點(diǎn)和點(diǎn)和3232點(diǎn)的點(diǎn)的dftdft。 解解 根據(jù)根據(jù)dtftdtft的定義得的定義得 3jj40()( )eennnnxr n )e(ee)e(eee1e12/j2/j2/j2j2j2jjj4 )2/sin()2sin(e2/3j 其頻譜為連續(xù)的，如圖其頻譜為連續(xù)的，如圖(b)(b)所示所示 )e(ee)e(eee1e12/j2/j2/j2j2j2jjj4 30jj4jee)()(ennnnnrx11信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試設(shè)變換區(qū)間設(shè)變換區(qū)間n n=16=16， 則則 30162j161504e)()(nknknnwnrkx )16/(sin)4/sin(e163jkkk ，n=

12、n=0 0, , 1 1, , , , 1515根據(jù)根據(jù)dftdft的定義得的定義得 )e(ee)e(eee1e116/j16/j16/j4/j4/j4/j162j4162jkkkkkkkk )e(ee)e(eee1e116/j16/j16/j4/j4/j4/j162j4162jkkkkkkkk 12信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試圖圖6-1 dft6-1 dft與與dtftdtft的關(guān)系的關(guān)系圖圖6-1(c) 6-1(c) 為為1616點(diǎn)點(diǎn)dftdft的頻的頻譜（實(shí)線），是離散的，譜（實(shí)線），是離散的，實(shí)際上是實(shí)際上是對(duì)對(duì)dtftdtft連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜離散化的結(jié)果，離散化的結(jié)果，虛線虛線是是

13、dtftdtft的的頻譜頻譜。圖圖6-1(d) 6-1(d) 為為3232點(diǎn)點(diǎn)dftdft的頻的頻譜（其譜（其dftdft變換省略）。變換省略）。 13信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試解：解：。點(diǎn)點(diǎn)的的求求序序列列dft84sin)( nnx knnwnnkx8704sin4dftsin)( knnn82j70e4sin knnnn82j704j4jej2ee 70)1(82j70)1(82jej21ej21nnknnk例例 14信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試2j(1)82j2 (1)78j(1)822j(1)j(1)0881 e1 ee0,11 e1 ekkk nkknk27j(1)80e8k

14、 nn2j(1)82j2 (1)78j(1)822j(1)j(1)0881 e1 ee01 e1 ekkk nkkn27j(1)80e8k nn2j(1)82j2 (1)78j(1)822j(1)j(1)0881 e1 ee0,11 e1 ekkk nkknkk1 1時(shí)，時(shí)，k1 1時(shí)，時(shí)，0k7 7時(shí)，時(shí)，k7 7時(shí)，時(shí)，2277j(1)j(1)880011( )ee2 j2 jk nk nnnx k15信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試 x x(0)=(0)=x x(2)=(2)=x x(3)=(3)=x x(4)=(4)=x x(5)=(5)=x x(6)=0(6)=0當(dāng)當(dāng)k k=7=7時(shí)，

15、時(shí)，4j2/8jej210)7(70)71(82j nnx當(dāng)當(dāng)k k=1=1時(shí)，時(shí)，4j2/8j0ej21)1(70)11(82j nnx( )0,4,0,0,0,0,0, 4x kjj2277j(1)j(1)880011( )ee2 j2 jk nk nnnx k16信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試解：解：。點(diǎn)點(diǎn)的的例例：求求序序列列dft864sin)( nnxknnwnnkx87064sin64dftsin)( knnn82j70e64sin knnnn82j70)64j()64j(ej2ee 70)1(82j6j70)1(82j6jej2eej2ennknnk 17信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及

16、期末考試1, 011e)1(82j8)1(82j70)1(82j keekknnk 1, 8e70)1(82j knnk7, 011e)1(82j8)1(82j70)1(82j keekknnk 7, 8e70)1(82j knnkjj227766j(1)j(1)8800ee( )ee2 j2 jk nk nnnx k18信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試 x x(0)=(0)=x x(2)=(2)=x x(3)=(3)=x x(4)=(4)=x x(5)=(5)=x x(6)=0(6)=0當(dāng)當(dāng)k k=7=7時(shí)，時(shí)，6j -70)71(82j6j -e4jej2e0)7( nnx32j2 dftd

17、ft一般為復(fù)數(shù)一般為復(fù)數(shù)當(dāng)當(dāng)k k=1=1時(shí)，時(shí)，6j70)11(82j6j4j0ej2e)1( exnn 19信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試)(idft,0,1,74,)(nxkkkx即即的的其其它它求求 解：解： 10)(1)(idft)(nkknnwkxnkxnx2277( j)j880011( )e( )e88knknkkx kx k 782j82je )7(81e )1(81 nnxx e4e481782j82jnn 例例 ee 21)18(82j82jnn 22222jj8jjj8888811eeeee22nnnnnn4cos ee 21eee 2182j82j882j82j82j

18、nnnnn 20信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試和和 分別為分別為 和和 的的n n點(diǎn)點(diǎn)dft.dft.1( )x n2( )x n若若 和和 是兩個(gè)有限長(zhǎng)度序列，長(zhǎng)度分別為是兩個(gè)有限長(zhǎng)度序列，長(zhǎng)度分別為 和和 ，則其線性組合則其線性組合1n2n1 122( )( )( )x na x na x n的的n n點(diǎn)點(diǎn)dftdft為為 1122( )( )( )x ka x ka xk10nk),max(21nnn 1( )x k2( )xk1( )x n2( )x n1. 1. 線性性線性性質(zhì)質(zhì)8.2 8.2 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 21信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試mnknmnk

19、nknknww )(2j2jee 10)()()(nnmnknnwnxmnkx)()(10kxwnxnnnkn 當(dāng)當(dāng)k k的取值不受限制時(shí)，的取值不受限制時(shí)，x x( (k k) ) 以以n n為周期。為周期。2. dft2. dft的隱含周期性的隱含周期性22信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試設(shè)設(shè)x x* *( (n n) )是是x x( (n n) )的復(fù)共軛序列，的復(fù)共軛序列， 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為n n x x( (k k)=dft)=dftx x( (n n)則則 dftdftx x* *( (n n)=)=x x* *( (n n- -k k),), 00k kn n-1 -1 且且 x x(

20、 (n n)=)=x x(0)(0)3. 3. 復(fù)共軛序列的復(fù)共軛序列的dftdft證明：證明： 10*)(*)()(nnnknnwnxknx 10)(*)(nnnknnwnx 10*)(nnnnnknnwwnx 10*)(nnknnwnx1ee2j)(2j( nnnnnnnw )(dft*nx 又由又由x x( (k k) )的隱含周期性有的隱含周期性有x x( (n n)=)=x x(0),(0),它的末點(diǎn)就是它的起始點(diǎn)。它的末點(diǎn)就是它的起始點(diǎn)。10( )nnknnx n w用同樣的方法可以證明用同樣的方法可以證明 dftdftx x* *( (n n- - n n)=)=x x* *(

21、(k k) ) 23信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試4. dft4. dft的共軛對(duì)稱性的共軛對(duì)稱性l有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列：有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列： x xe pe p( (n n)=)=x x* *e pe p( (n n- -n n), ), 00n nn n-1-1有限長(zhǎng)共軛反對(duì)稱序列：有限長(zhǎng)共軛反對(duì)稱序列：x xo po p( (n n)= -)= -x x* *o po p( (n n- -n n), ), 00n nn n-1-1dftdft的對(duì)稱性是關(guān)于的對(duì)稱性是關(guān)于n n/2/2點(diǎn)的對(duì)稱性。點(diǎn)的對(duì)稱性。注意：注意：x

22、x( (k k) )也是序列，也是序列， 對(duì)對(duì)x x( (k k) )也成也成立。立。有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列有限長(zhǎng)共軛反對(duì)稱序列有限長(zhǎng)共軛反對(duì)稱序列(1)1xj (7)1xj (1)1xj (7)1xj 24信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試4. dft4. dft的共軛對(duì)稱性的共軛對(duì)稱性l有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列：有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列： x xepep( (n n)=)=x x* *epep( (n n- -n n), 0), 0n nn n- -1 1有限長(zhǎng)共軛反對(duì)稱序列：有限長(zhǎng)共軛反對(duì)稱序列：x xopop( (n n

23、)= -)= -x x* *opop( (n n- -n n), 0), 0n nn n- -1 1dftdft的對(duì)稱性是關(guān)于的對(duì)稱性是關(guān)于n n/2/2點(diǎn)的對(duì)稱性。點(diǎn)的對(duì)稱性。120)2()2(* nnnnxnnxepep，120)2()2(* nnnnxnnxopop，注意：注意：x x( (k k) )也是序列，也是序列， 對(duì)對(duì)x x( (k k) )也成立。也成立。)12()12(* nxnxepep例例如如：n/2n/2左邊左邊n/2n/2右邊右邊當(dāng)當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)， 將上式中的將上式中的n n換成換成 可得到可得到2nn25信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試 任何有限長(zhǎng)序列任

24、何有限長(zhǎng)序列x x( (n n) )都可以表示成其共軛對(duì)稱分都可以表示成其共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和，量和共軛反對(duì)稱分量之和， 即即 x x( (n n)=)=x xepep( (n n)+)+x xopop( (n n), 0), 0n nn n-1-1 將上式中的將上式中的n n換成換成n n- -n n， 并取復(fù)共軛，并取復(fù)共軛， 可得可得 x x* *( (n n- -n n) = ) = x x* *epep( (n n- -n n) + ) + x x* *opop( (n n- -n n) ) = = x xepep( (n n) ) - - x xopop( (n n)

25、) )()(21)(*nnxnxnxep )()(21)(*nnxnxnxop x xepep( (n n)=)=x x* *epep( (n n- -n n), 0), 0n nn n- -1 1x xopop( (n n)= -)= -x x* *opop( (n n- -n n), 0), 0n nn n- -1 126信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試)()(dft21)(dft*nnxnxnxep )()(re)()(21*kxkxkxkxr )()(dft21)(dft*nnxnxnxop )(j)(imj)()(21*kxkxkxkxi )()(21)(*nnxnxnxop )()(

26、21)(*nnxnxnxep 1) 1) 如果如果 x x( (n n)=)=x xepep( (n n)+)+x xopop( (n n) )， 00n nn n-1-1其中其中4. dft4. dft的共軛對(duì)稱性的共軛對(duì)稱性dft ( )( )dft()( )x nx kxnnxkdft( )( )eprxnxkdft( )j( )opixnxk27信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試2) 2) 如果如果 x x( (n n)=)=x xr r( (n n)+j)+jx xi i( (n n) )()(21)(j*nxnxnxi )()(21)(*rnxnxnx ( )dft ( )dft( )

27、j( )rix kx nx nx n)()()(21*kxknxkxep )()(dft21)(dft*nxnxnxr )()()(dftj )(dftkxkxnxnxopepir *1dftj( )dft ( )( )2ix nx nxn)()()(21*kxknxkxop dft ( )( )dft( )()x nx kx nxnk*1( )( )()2epxkx kxnk*1( )( )()2opxkx kxnk28信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試其中其中 x xepep( (k k)=dft)=dftx xr r( (n n), ), 是是x x( (k k) )的共軛對(duì)稱分量的共軛對(duì)稱

28、分量; ; x xopop( (k k)=dftj)=dftjx xi i( (n n), ), 是是x x( (k k) )的共軛反對(duì)的共軛反對(duì)稱分量。稱分量。dft( )( )repx nxkdftj( )( )iopx nxk( )( )( )epopx kxkxkdft( )( )eprxnxkdft( )j( )opixnxk( )( )( )epopx nxnxn29信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試用同樣的方法可以證明用同樣的方法可以證明)()(21*knxkx 具有共軛反對(duì)稱性具有共軛反對(duì)稱性)()(*knxkxopop 即即*)()(21)(knnxknxknxep )()(21

29、*kxknx )()(*knxkxepep 證明了證明了 x xepep( (k k)=dft)=dftx xr r( (n n) ) 是是x x( (k k) )的共軛對(duì)稱分量。的共軛對(duì)稱分量。實(shí)際上實(shí)際上( )epxk30信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試設(shè)設(shè)x x( (n n) )是長(zhǎng)度為是長(zhǎng)度為n n的實(shí)序列，且的實(shí)序列，且x x( (k k)=dft)=dftx x( (n n)，對(duì)于純，對(duì)于純實(shí)數(shù)序列，實(shí)數(shù)序列，x x( (n n)=)=x xr r ( (n n) )，x x( (k k) )只有共軛偶對(duì)稱部分，只有共軛偶對(duì)稱部分，即即x x( (k k)=)=x xepep( (k

30、 k) )，表明實(shí)數(shù)序列的，表明實(shí)數(shù)序列的dftdft滿足共軛對(duì)稱性，故滿足共軛對(duì)稱性，故 x x( (k k)=)=x x* *( (n n- -k k) )，00k kn n-1-1dftdftx x( (n n)=dft)=dftx xr r( (n n)= )= x x( (k k) ) = =x xepep( (k k) ) = = x x* *epep ( (n n- -k k) ) = = x x* * ( (n n- -k k) )3) 3) 實(shí)信號(hào)實(shí)信號(hào)dftdft的共軛對(duì)稱性的共軛對(duì)稱性31信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試n x x( (k k)=)=x x* *( (n n

31、- -k k) )，00k kn n-1 -1 ，利用這一特性，只要知道一半利用這一特性，只要知道一半數(shù)目的數(shù)目的x x( (k k) )，就可得到另一半的，就可得到另一半的x x( (k k) )，這一特點(diǎn)在，這一特點(diǎn)在dftdft運(yùn)算中可運(yùn)算中可以加以利用，以提高運(yùn)算效率。以加以利用，以提高運(yùn)算效率。4) dft4) dft的共軛對(duì)稱性的意義的共軛對(duì)稱性的意義n 一次一次dftdft變換兩個(gè)實(shí)序列。變換兩個(gè)實(shí)序列。將兩個(gè)實(shí)序列，將兩個(gè)實(shí)序列， 構(gòu)成新序列構(gòu)成新序列x x( (n n) )如下如下 ： x x( (n n)=)=x x1 1( (n n)+j)+jx x2 2( (n n)

32、)對(duì)對(duì)x x( (n n) )進(jìn)行進(jìn)行dftdft， 得到得到 x x( (k k)=dft)=dftx x( (n n)=)=x xepep( (k k)+)+x xopop( (k k) ) 由由 x xepep( (k k)=dft)=dftx x1 1( (n n)=1/2)=1/2x x( (k k)+)+x x* *( (n n- -k k) x xopop( (k k)=dftj)=dftjx x2 2( (n n)=1/2)=1/2x x( (k k)-)-x x* *( (n n- -k k) 得得 x x1 1( (k k)=dft)=dftx x1 1( (n n)=1/

33、2)=1/2x x( (k k)+)+x x* *( (n-kn-k) x x2 2( (k k)=dft)=dftx x2 2( (n n)= -j1/2)= -j1/2x x( (k k)-)-x x* *( (n-kn-k) 32信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試5 5dftdft的對(duì)偶性的對(duì)偶性( )x ndft( )( )x kx n設(shè)長(zhǎng)度為設(shè)長(zhǎng)度為n n的序列的序列 的的dftdft為為 ，則，則dft (1)()(0) xnkkxnn33信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于dtftdtft的平移的平移1( )()x nx nm對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于dftdft的移位的移位( )( )(

34、)nx nx nx n 周期延拓()()nx nmx nm()( )()nrnnnnm m1 1m m3 3m m2 2()()nnx nmrn圓周移位序列圓周移位序列6. dft6. dft的圓周（循環(huán)）移位性質(zhì)的圓周（循環(huán)）移位性質(zhì)34信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試循環(huán)移位示意圖循環(huán)移位示意圖右移出去的右移出去的m m個(gè)數(shù)據(jù)從左邊補(bǔ)進(jìn)來(lái)，數(shù)據(jù)不少，只是重新排隊(duì)。個(gè)數(shù)據(jù)從左邊補(bǔ)進(jìn)來(lái)，數(shù)據(jù)不少，只是重新排隊(duì)。123414324123 ( )x n44(1)( )x nr n44()( )xnr n35信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試36信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試dft ( )( )x nx

35、k時(shí)域循環(huán)移位特性時(shí)域循環(huán)移位特性( )()( )nny nx nmrn2( )( )( )jkmkmny kwx kex k若若時(shí)域序列的圓周位移的時(shí)域序列的圓周位移的dftdft為原來(lái)的為原來(lái)的dftdft乘以一個(gè)因子乘以一個(gè)因子kmw則則n n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí) kknkw) 1(e j2 dft ()( )( 1)( )2knnnx nrnx k njew2( )()( )nny nx nmrn( )( )kmy kwx k若若則則37信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試頻域循環(huán)移位特性頻域循環(huán)移位特性dft ( )( )x nx k2idft ()( )( )( )jlnlnnnnxklrk

36、x n wx n e( )()( )nny kxklrk若若則則在頻域的頻移在頻域的頻移l l，則，則idftidft在時(shí)域在時(shí)域x x( (n n) )乘以一個(gè)乘以一個(gè)lnwidft ()( )( )lnnnxklrkx n w( )()( )nny kxklrk若若則則01kn38信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試若若x x( (n n) )和和h h( (n n) )均為均為n n點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，且點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，且則則( )( )( )y kx k h k10( )( )( )( )( ) () nnnmy nx nh nh nx nx nh nx m h nmrn10( )( )( ) ()

37、( )nnnmx nh nh m x nmrm( )( )x nh nn n點(diǎn)的點(diǎn)的圓周卷積圓周卷積x x( (n n) )和和h h( (n n) )都都需是需是n n點(diǎn)點(diǎn)10 ( )( )( ) ()( )nnnmy nx nh nh nx nx nh nx m h nmrm定義為定義為圓周卷積圓周卷積兩序列循環(huán)卷積的長(zhǎng)度為兩序列循環(huán)卷積的長(zhǎng)度為n n。7 7dftdft的時(shí)域離散圓周卷積定理的時(shí)域離散圓周卷積定理39信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試用用dftdft計(jì)算循環(huán)卷積計(jì)算循環(huán)卷積則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有 y y( (k k) = d f t ) = d f t

38、y y( (n n) =) =x x1 1( (k k) )x x2 2( (k k) , ) , 00k kn n-1-1112120( )( )( )()()()nnnmy nx nxnx m xnmrmy y( (n n)=idft)=idfty y( (k k)當(dāng)當(dāng)l l很大時(shí)很大時(shí), ,在頻域計(jì)算提高了運(yùn)算速度。在頻域計(jì)算提高了運(yùn)算速度。40信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試l圓周卷積的計(jì)算特點(diǎn)圓周卷積的計(jì)算特點(diǎn)圓卷積只在圓卷積只在 區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，圓卷積結(jié)果也區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，圓卷積結(jié)果也為為 n n點(diǎn)有限長(zhǎng)序列。點(diǎn)有限長(zhǎng)序列。10nmx x( (m m) )是把是把x x( (n n ) )變

39、量代換變量代換后的后的n n點(diǎn)序列，點(diǎn)序列， 是把是把h h( (n n ) )變量代換、圓反轉(zhuǎn)、圓移位后，取其前變量代換、圓反轉(zhuǎn)、圓移位后，取其前n n個(gè)點(diǎn)后個(gè)點(diǎn)后 的的n n點(diǎn)序列。點(diǎn)序列。()( )nnh nmrm對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè)n n點(diǎn)圓移位，先計(jì)算對(duì)應(yīng)各個(gè)點(diǎn)圓移位，先計(jì)算對(duì)應(yīng)各個(gè)m m點(diǎn)的點(diǎn)的乘積乘積( ) ()( )nnx m h nmrm10nm，再對(duì)，再對(duì) 范圍內(nèi)的全部乘積范圍內(nèi)的全部乘積求和求和。每一個(gè)每一個(gè)n n點(diǎn)圓周卷積的計(jì)算包括：變量代換、圓反轉(zhuǎn)、圓移位、點(diǎn)圓周卷積的計(jì)算包括：變量代換、圓反轉(zhuǎn)、圓移位、相乘、求和共相乘、求和共5 5個(gè)步驟。以個(gè)步驟。以4 4點(diǎn)圓周卷積為

40、例，全部過(guò)程可以用點(diǎn)圓周卷積為例，全部過(guò)程可以用矩陣表示為：矩陣表示為：(0)(0)(3)(2)(1)(0)(1)(1)(0)(3)(2)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(2)(3)(3)(2)(1)(0)(3)yhhhhxyhhhhxyhhhhxyhhhhx10( )( ) ()( )nnnmy nx m h nmrm4 ( ): (0) (1) (2) (3)()( ): (0) (3) (2) (1)nh mhhhhhmrmhhhh10( )( )( )( ) ()( )nnnmy nx nh nx m h nmrm41信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試n時(shí)域圓周卷積定理l 圓周卷積圓周

41、卷積5個(gè)步驟的圖解舉例：個(gè)步驟的圖解舉例： 變量代換變量代換圓反轉(zhuǎn)圓反轉(zhuǎn)圓移位圓移位相乘相乘求和求和 例例 用圖解法求有限長(zhǎng)序列用圖解法求有限長(zhǎng)序列 4( )(1)( ),x nnr n4( )(4)( )h nn r n的的4 4點(diǎn)圓卷積點(diǎn)圓卷積 。( )cy n解解 （1）變量代換）變量代換x x n n 、h h n n 的變量置換為的變量置換為m m，有，有 ,4321mx1234mh（2 2）圓反轉(zhuǎn)）圓反轉(zhuǎn)把把h h m m 圓反轉(zhuǎn)圓反轉(zhuǎn)為為 4() 4123hm（3 3）圓移位）圓移位相乘相乘求和求和mxmmh)0(nmh)1(nmhny*nhnx)2(nmh)3(nmh0 1 2

42、 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3n0 1 2 3n0 1 2 3 4 5 6123442信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試n時(shí)域圓周卷積定理mxmmh)0(nmh)1(nmh)2(nmh)3(nmhm0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3n0 1 2 3n0 1 2 3 4 5 6解解 （3 3）圓移位）圓移位相乘相乘求和求和12344123426120nx m4(0) hm相乘相乘求和求和 24)34()23() 12()41 (0ymxmmh)0(nmh)1(nmhny*nhnx)2(nmh)3(nmh0 1 2 3m

43、0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3n0 1 2 3n0 1 2 3 4 5 622)24() 13()42() 31 ( 1 y24) 14()43()32()21 (2y30)44()33()22() 11 (3y 24 22 24 30cy nx nh n * 411203020114ly nx nh n圓周卷積圓周卷積 線性卷積線性卷積 mxmmh)0(nmh)1(nmhny*nhnx)2(nmh)3(nmh0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3n0 1 2 3n0 1 2 3 4 5 6

44、321443信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試n時(shí)域圓周卷積定理求和求和 24)34()23() 12()41 (0y22)24() 13()42() 31 ( 1 y24) 14()43()32()21 (2y30)44()33()22() 11 (3y04 1 2 312413 4 1 222222 3 4 132431 2 3 4430yyyy ,4321mx1234mh44信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試(0)4 1 2 3124(1)3 4 1 2222(2)2 3 4 13241 2 3 4430(3)ccccyyyy ( )1234,x n ( )4321h n l圓周卷積圓周卷積5

45、5個(gè)步驟的圖解舉例：個(gè)步驟的圖解舉例： 變量代換變量代換圓反轉(zhuǎn)圓反轉(zhuǎn)圓移位圓移位相乘相乘求和求和 例例 求有限長(zhǎng)序列求有限長(zhǎng)序列 4( )(1)( ),x nnr n4( )(4)( )h nn r n的的4 4點(diǎn)圓卷積點(diǎn)圓卷積 。( )cy n解：解：( )24222430cy n 45信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試2 2 1 111 2 2 111 1 2 212 1 1 211( )2,1,1,2,x n 1( )1,1,1,1,x n 12( )( )x nx n0,2,0,2,46信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試?yán)?用時(shí)域卷積定理求有限長(zhǎng)序列用時(shí)域卷積定理求有限長(zhǎng)序列 4( )(1)

46、( ),x nnr n4( )(4)( )h nn r n的的4 4點(diǎn)圓卷積點(diǎn)圓卷積 。( )cy n解解j222j22104321j1j11111j1j11111wxxj222j22101234j1j11111j1j11111whh( )( )( )1008j48jcy kx k h k*1111100241j1j8j2211111142441j1j8j30cnyw y( )1234,x n ( )4321h n 2j( , )eknknnnk nww10nk10nn(0)(0)(3)(2)(1)(0)(1)(1)(0)(3)(2)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(2)(3)(3)(2)

47、(1)(0)(3)ccccyhhhhxyhhhhxyhhhhxyhhhhx10( )( )nknnnx kx n w101( )( )nknccnny ny k wn47信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試若若則則( )( ) ( )y nx n h n101( )()( )nnnlx l hklrln1( )( )x kh kn1( )( )h kx kn( )dft ( )y ky n101( )()( )nnnlh l xklrln8 8dftdft的頻域離散圓周卷積定理的頻域離散圓周卷積定理48信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試 實(shí)際問(wèn)題多數(shù)是求解線性卷積，如信號(hào)實(shí)際問(wèn)題多數(shù)是求解線性卷積，如信

48、號(hào)x x( (n n) )通過(guò)系通過(guò)系統(tǒng)統(tǒng)h h( (n n) )，其輸出就是線性卷積，其輸出就是線性卷積 y y( (n n)=)=x x( (n n) )* *h h( (n n) )。而循環(huán)卷積比。而循環(huán)卷積比起線性卷積，在起線性卷積，在運(yùn)算速度上有很大的優(yōu)越性，它可以采用快速運(yùn)算速度上有很大的優(yōu)越性，它可以采用快速傅里葉變換（傅里葉變換（fftfft）技術(shù)）技術(shù)，若能利用循環(huán)卷積求線性卷積，會(huì)，若能利用循環(huán)卷積求線性卷積，會(huì)帶來(lái)很大的方便。帶來(lái)很大的方便。 現(xiàn)在我們來(lái)討論上述現(xiàn)在我們來(lái)討論上述 x x( (n n) )與與h h( (n n) )的線性卷積，如果的線性卷積，如果 x x

49、( (n n) )、h h( (n n) )為有限長(zhǎng)序列，則在什么條件下能用循環(huán)卷積代替而不為有限長(zhǎng)序列，則在什么條件下能用循環(huán)卷積代替而不產(chǎn)生失真。產(chǎn)生失真。8.3 8.3 用用dftdft計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積49信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試110( )( )* ( )( ) ()nlmy nh nx nx m h nm(1)(1) 有限長(zhǎng)序列線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系有限長(zhǎng)序列線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系線性卷積：線性卷積：10( )( )( )( ) ()( )cnnnmy nh nx nh m x nmrn循環(huán)卷積為：循環(huán)卷積為：8.3 8.3 用用dftdft計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積

50、50信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試 10)()()()()()(lmllcnrmnxmhnxnhny)()()()()(nrqlnxnrnxnxlql 有限長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列x x( (n n) )為為循環(huán)卷積為：循環(huán)卷積為： qlqlnxnxnxnx)()()()(的周期延拓序列：的周期延拓序列：51信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試 10)()()(lmlqnrqlmnxmh 10)()()(lmlqnrmqlnxmh qllmnrmqlnxmh)( )()(10 qllnrqlny)()(即即的的主主值值序序列列。為為周周期期的的周周期期延延拓拓序序列列以以等等于于lnynyl)()(c52信

51、號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試如果兩個(gè)序列的長(zhǎng)度分別為如果兩個(gè)序列的長(zhǎng)度分別為n n和和m m，線性卷積后的長(zhǎng)度為，線性卷積后的長(zhǎng)度為 n n+ +m m-1 -1 ，因此，如果循環(huán)卷積的長(zhǎng)度因此，如果循環(huán)卷積的長(zhǎng)度 l l n n+ +m m-1-1，那么，那么，y yl l( (n n) )周期延拓后，周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重疊，出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。必然有一部分非零序列值要重疊，出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有只有 l ln n+ +m m- -1 1 時(shí)，才不會(huì)產(chǎn)生混疊，此即循環(huán)卷積等于線性卷積的條件。時(shí)，才不會(huì)產(chǎn)生混疊，此即循環(huán)卷積等于線性卷積的條件。(2)(2) 循環(huán)卷積等于線性卷積的條件循

52、環(huán)卷積等于線性卷積的條件(3)(3) 用用dftdft計(jì)算線性卷積的方法計(jì)算線性卷積的方法如果兩個(gè)序列如果兩個(gè)序列h h( (n n) )和和x x( (n n) )的長(zhǎng)度分別為的長(zhǎng)度分別為n n和和m m，取取l l= =n n+ +m m-1-1作為循環(huán)卷積的長(zhǎng)度；作為循環(huán)卷積的長(zhǎng)度；在在h h( (n n) )后補(bǔ)上后補(bǔ)上l l- -n n個(gè)零值點(diǎn)；個(gè)零值點(diǎn)；在在x x( (n n) )后補(bǔ)上后補(bǔ)上l l- -m m個(gè)零值點(diǎn)。個(gè)零值點(diǎn)。53信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試321012n1-1序號(hào)計(jì)算結(jié)果1234000 xm1234000123h0-my0=144123400012h1-my

53、1=13+241112340001h2-my2=12+23+34201234000h3-my3=11+22+33+44300123400h4-my4=21+32+43200012340h5-my5=31+42110001234h6-my6=414n1n2-1l線性卷積線性卷積1122 (0-1) (0-1)x nnnh nnn的長(zhǎng)度為，的長(zhǎng)度為0 * nlmmy nx nh nx m h nmx m h nm 00 0nx nh n的起點(diǎn)：的起點(diǎn)的起點(diǎn)。1212 112nx nh nnnnn 的終點(diǎn)：的終點(diǎn)的終點(diǎn)。12 :1y nlnn的長(zhǎng)度上例線性卷積過(guò)程 1234x n 4321h n 1234 0 0 0 x n 4321 0 0 0h n 54信號(hào)與系統(tǒng)第八章考研及期末考試( )1234x n 4321( )( )x nh n1234( )4321h n