下半連續(xù)映射及相關(guān)問題

1、 南 京 師 范 大 學(xué)畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論 文）（ 2008 屆）題 目： 下半連續(xù)映射及相關(guān)問題 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范） 姓 名： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師： 南京師范大學(xué)教務(wù)處 制目錄1.緒論4課題研究背景及目的：4研究方法：42.下半連續(xù)性的相關(guān)定義5定義2.15例2.1.15例2.1.25例2.1.35例2.1.45定義2.2：6定義2.3：63.半連續(xù)的等價(jià)條件63.1在某一點(diǎn)上的半連續(xù)的等價(jià)條件6定理3.1.1：6定理3.1.2：73.2在閉集上的半連續(xù)性等價(jià)條件7定理3.2.1：74.下半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)84.1四則運(yùn)算性質(zhì)84.2局部保號(hào)性94.3有界

2、性9定理4.3.19定理4.3.210例4.3.310例4.3.4114.4保半連續(xù)性12定理4.4.1：12定理4.4.2134.5與連續(xù)函數(shù)相比的其他不同性質(zhì)15例4.5.115例4.5.2155.拓廣到度量空間15定義5.1.115定義5.1.216結(jié)論：16參考文獻(xiàn)：17致謝17下半連續(xù)映射及相關(guān)問題（南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，）摘要：在函數(shù)論中，連續(xù)函數(shù)和它的性質(zhì)占有相當(dāng)重要的地位，有一類函數(shù)雖不連續(xù)，但卻具有一些與連續(xù)函數(shù)類似的性質(zhì)這就是所謂半連續(xù)函數(shù)。半連續(xù)的概念在最優(yōu)化問題、對(duì)策論問題及變分不等式問題等諸多方面都已得到了廣泛的應(yīng)用。本文主要研究的是下半連續(xù)的概念，給出下半連續(xù)函

3、數(shù)的定義，探討下半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，如運(yùn)算性質(zhì)、閉區(qū)間下半連續(xù)的有界性、介值性等，最后再將下半連續(xù)函數(shù)的概念推廣至度量空間中。通過對(duì)下半連續(xù)函數(shù)進(jìn)行討論，可以使我們了解到比連續(xù)函數(shù)更廣泛的一類函數(shù)的性質(zhì)，從而，在對(duì)整個(gè)函數(shù)的研究中起到一定作用。關(guān)鍵詞：連續(xù)函數(shù) 下半連續(xù)函數(shù) 性質(zhì) 度量空間Lower semi continuous mapping and related issuesZhiyuan Wu( Nanjing Normal University Academy of mathematics and science,06080216)Abstract: in the theory of

4、 functions, continuous function and its property occupies a very important position, there is a kind of function is not continuous, but it has some of the continuous function of similar nature. This is the so-called semi continuous function. Semi continuous concept in optimization problems, game the

5、ory problem and variational inequality problem etc has been widely used. This paper mainly studies the lower semi continuous concept, given the lower semi continuous functions defined on the lower semi continuous functions, such as the nature, properties, the closed interval lower semicontinuous bou

6、nded, intermediate value property, then the lower semi continuous function concept promotion to the metric space. Through to the lower semi continuous functions are discussed, which enables us to understand than continuous function for a broader class of functions, thereby, the function of role.Key

7、words: Continuous function The lower semi continuous functionsNature Metric space1.緒論課題研究背景及目的：數(shù)學(xué)分析是理科學(xué)生一門十分重要的基礎(chǔ)課程，也是各校各專業(yè)學(xué)生的基礎(chǔ)理論課。通過這門課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生受到必要的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練，它為許多包括專業(yè)課在內(nèi)的后續(xù)課程做下鋪墊。由于它的理論性強(qiáng)，概念抽象而生刻，十分重要。而函數(shù)的連續(xù)性問題是函數(shù)理論中最基本最重要的問題之一，連續(xù)性是自然界中廣泛存在的一種性質(zhì)，是描述變量之間最基本的連續(xù)關(guān)系的概念。學(xué)習(xí)函數(shù)連續(xù)性的重要性在于：數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)等內(nèi)

8、容具有承上啟下的作用，對(duì)于函數(shù)連續(xù)性的掌握，函數(shù)極限的運(yùn)算，零點(diǎn)的定理，介值定理以及一直連續(xù)性等方的學(xué)習(xí)都有至關(guān)重要的意義，因此，研究函數(shù)的連續(xù)性在具有理論和應(yīng)用的雙重意義。半連續(xù)的概念在最優(yōu)化問題、對(duì)策論問題及變分不等式問題等諸多方面都已得到了廣泛的應(yīng)用。1951年，F(xiàn)ort證明了拓?fù)淇臻g上半連續(xù)集值映射的通有連續(xù)性，1993年，Aubin證明了從度量空間到可分度量空間的上半連續(xù)集值映射的通有連續(xù)性，這些結(jié)果被廣泛應(yīng)用于解的通有穩(wěn)定性和通有唯一性的。下半連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的推廣, 它在線性拓?fù)淇臻g，泛函分析，積分論等數(shù)學(xué)分支中有著廣泛地應(yīng)用。本文通過對(duì)下半連續(xù)函數(shù)進(jìn)行討論，可以使我們了解到比

9、連續(xù)函數(shù)更廣泛的一類函數(shù)的性質(zhì)，從而，在對(duì)整個(gè)函數(shù)的研究中起到一定作用。研究方法：查詢法：通過文獻(xiàn)調(diào)研有目的有計(jì)劃有系統(tǒng)的收集并整理資料，了解上（下）半連續(xù)的相關(guān)概念，定理。分析法：通過對(duì)實(shí)數(shù)空間的上（下）半連續(xù)的研究，分析其與連續(xù)，一致連續(xù)的異同。類比歸納法：通過對(duì)實(shí)數(shù)空間的研究，猜測(cè)度量空間中的相關(guān)性質(zhì)，并加以證明。2.下半連續(xù)性的相關(guān)定義首先來回憶下連續(xù)函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)fx在集合上有定義，x0E為的一個(gè)聚點(diǎn)。fx在x0處連續(xù)，用-語言描述，即：0,0，當(dāng)xE，x-x0時(shí)，有 fx0-fx0,0，當(dāng)xE，x-x0時(shí)，有 fx0,0，當(dāng)xE，x-x0時(shí)，有 fx0-0,0，當(dāng)x1,x2I，

10、x1-x2時(shí), 恒有fx10,0，當(dāng)x1,x2I，x1-x2fx2+則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間I 上一致下半連續(xù)；3.半連續(xù)的等價(jià)條件3.1在某一點(diǎn)上的半連續(xù)的等價(jià)條件首先給出在某一點(diǎn)上上半連續(xù)的等價(jià)條件：定理3.1.1：設(shè)函數(shù)f (x)在集合E上有定義，x0E為E的一個(gè)聚點(diǎn)，則下列說法等價(jià)：（i）f (x)在x0處上半連續(xù)；（ii）(iii) ，必有證明：12 明顯，因當(dāng)時(shí)，有 對(duì)上式取極限，并注意的任意性，即得。23由 ，直接可得。 31（用反證法）設(shè)在處不上半連續(xù)，則，使得。這與已知條件矛盾。同理我們可以得到在某一點(diǎn)上下半連續(xù)的等價(jià)條件：定理3.1.2：設(shè)函數(shù)f (x)在集合E上有定義，x

11、0E為E的一個(gè)聚點(diǎn)，則下列說法等價(jià)：（i）f (x)在x0處下半連續(xù)；（ii）（iii），必有3.2在閉集上的半連續(xù)性等價(jià)條件定理3.2.1：設(shè)函數(shù)f (x)在閉集E上有定義，則：（1）f (x)在E中的上半連續(xù)的充要條件是：，集合為閉集。（2）f (x)在E中的下半連續(xù)的充要條件是：，集合為閉集。證明：下面以（1）為例(必要性)xnFc，xnx0，有xnE，而E為閉集 x0E 又fxnc，(n=1,2,3) f (x)在x0處上半連續(xù) x0Fc(充分性)利用反證法，假設(shè)f (x)在E中的不上半連續(xù)則x0E使f (x)在x0不上半連續(xù)即：，雖然0xn-x0cfx0，于是根據(jù)F(c)的定義xnF

12、c，x0Fc，但xnx0（當(dāng)n），F(xiàn)c為閉集，應(yīng)有x0Fc矛盾故假設(shè)不成立，原命題成立。4.下半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)4.1四則運(yùn)算性質(zhì)（1）若f(x)、g(x)在a,b上下半連續(xù)，則它們的和f(x)+g(x)在a,b上也下半連續(xù)；（2）若f(x)在a,b上下半連續(xù)，則-f(x)在a,b上為上半連續(xù)；（3）若在a,b上f(x)0，g(x)0，且上半連續(xù)（f(x)0，g(x)0，且上（下）半連續(xù)，g(x)0，且上（下）半連續(xù)，則1f(x)在a,b上為下（上）半連續(xù)。證明：（1）因?yàn)閒(x)、g(x)在a,b上下半連續(xù)，根據(jù)下半連續(xù)定義，即0,0，當(dāng)xa,b，x-x0fx0-2，gxgx0-2，所以兩式相

13、加可得fx+gx0,0，當(dāng)xa,b，x-x0fx0-；此不等式兩邊同時(shí)乘以-1得：-fx0,0，當(dāng)xa,b，x-x0時(shí)，均有-fx0,0，當(dāng)xa,b，x-x0時(shí)，均有fx0,0，當(dāng)xa,b，x-x0時(shí)，均有g(shù)x0, g(x)0，故可將上述所得兩不等式相乘，得到：fxgx fx0gx0+1gx0+2fx0+12，令=1gx0+2fx0+12，即得fxgx0,0，當(dāng)xa,b，x-x0時(shí)，均有fx0，則有1f(x)1fx0-1fxfx0，令=1fxfx0，即得1f(x)1fx0-，所以1f(x)在a,b上為下半連續(xù)。其他情形類似可證。4.2局部保號(hào)性上半連續(xù)函數(shù)有局部保負(fù)性（即：若在處上半連續(xù)，則，

14、使得時(shí)有）。同樣，下半連續(xù)函數(shù)有局部保正性。證明：下面就證下下半連續(xù)函數(shù)有局部保號(hào)性即：若f(x)在x0處下半連續(xù)f(x0)0，則，使得時(shí)有f(x)0）因?yàn)閒(x0)0，不妨令=f(x0)20又f(x)在x0處下半連續(xù)，由定義可知 0,0，當(dāng)xa,b，x-x0fx0-，將=f(x0)2代入可得fxfx0-f(x0)20，即證。同理可證上半連續(xù)函數(shù)的拒不保負(fù)性。4.3有界性定理4.3.1 有界閉區(qū)間上的上半連續(xù)函數(shù)，必有上界，且達(dá)到上確界，具體來說，若在上上半連續(xù)，則（1）在上有上界（使）。（2）在上達(dá)到上確界（即使得）證明 先證明（1）（反證法）若無界，則，使得由致密性原理，在中存在收斂的子序

15、列，使（當(dāng)）。因?yàn)殚]的，故，但，當(dāng)時(shí)，所以 。但在上上半連續(xù)，應(yīng)有，故=+矛盾。下證（2）因上有界，若在上達(dá)不到上確界，則所以在上上半連續(xù)（定理3），從而有上界，即使有 即： 這與矛盾。定理4.3.2 有界閉區(qū)間上的下半連續(xù)函數(shù)，必有下界，且達(dá)到下確界，具體來說，若在上下半連續(xù)，則（1）在上有下界（使）。（2）在上達(dá)到下確界（即使得）例4.3.3假定為緊集，是上半連續(xù)的，則在上必有最大值。證明：因是上半連續(xù)的實(shí)值函數(shù)故，必在的某一鄰域內(nèi)有上界，故，必在的某一鄰域內(nèi)有上確界，設(shè)在的鄰域內(nèi)的上確界為構(gòu)造鄰域簇 ，顯然 而由條件為緊集，故存在自然數(shù)使得： 用分別表示在中的上確界，其中令 顯然必為在上

16、的最大值。例4.3.4若函數(shù)在內(nèi)半連續(xù)，則必存在內(nèi)閉區(qū)間，使在上保持有界。證：以下半連續(xù)為例進(jìn)行證明。設(shè)在內(nèi)下半連續(xù)，來證使得在上有界，用反證法，設(shè)，總在上無上界，于是：1、使得，因下半連續(xù)，故（不妨令），使得且有2、因在任何內(nèi)閉區(qū)間上無上界，所以對(duì)，使得進(jìn)而由的下半連續(xù)性，知（不妨令）使得時(shí)，有。3、如此繼續(xù)下去，我們得到一串閉區(qū)間：，區(qū)間長(zhǎng)（當(dāng)時(shí)）且在每個(gè)區(qū)間上，恒有。 4、根據(jù)區(qū)間套定理。因此，矛盾。4.4保半連續(xù)性我們已經(jīng)知道，連續(xù)函數(shù)單調(diào)序列的極限不一定是連續(xù)的。比如下面的例子：例：給定一函數(shù)列fnx=x,x2,xn,，x0,1，試討論其極限函數(shù)的連續(xù)性。解：因?yàn)楫?dāng)x0,1時(shí)有xx2

17、xn；所以fnx=x,x2,xn,是區(qū)間0,1上的單調(diào)遞減函數(shù)列。又因?yàn)閤n在區(qū)間0,1上是連續(xù)函數(shù)且xn1，所以fnx=x,x2,xn,是區(qū)間0,1上連續(xù)的單調(diào)遞減函數(shù)列且為有界函數(shù)列。根據(jù)有界性可知函數(shù)列fnx必存在極限函數(shù)。分段討論可得極限函數(shù)：fx=0, 0x11, x=1 可見：f(x)在分段點(diǎn)x=1處f(1)=1,，因?yàn)?，所以f(x)在分段點(diǎn)x=1處不連續(xù)，即f(x)在-,1上不是連續(xù)函數(shù)。 但是半連續(xù)函數(shù)卻有保半連續(xù)性。定理4.4.1：若fnx是a,b上對(duì)n而言的單調(diào)遞增（減）的下（上）半連續(xù)函數(shù)列且有上（下）界，則limnfnx=f(x)存在，且f(x)在a,b上下（上）半連續(xù)

18、。證明：不妨我們證下上半連續(xù)，即在于證明：，當(dāng)時(shí)有，因，所以，當(dāng)時(shí)有將固定，因在上上半連續(xù)，所以，當(dāng)時(shí)有。又 ，故更有 這就證明了在上上半連續(xù)。下面，我們提出相反的問題：是否半連續(xù)函數(shù)一定可以作為連續(xù)函數(shù)的單調(diào)極限呢？回答是肯定的。定理4.4.2 設(shè)在上有定義，且上半連續(xù)，則存在一個(gè)遞減的連續(xù)函數(shù)序列 使得 （即：上半連續(xù)函數(shù)，總可用連續(xù)函數(shù)從上方逼近）證明：首先構(gòu)造函數(shù)序列，然后證明連續(xù)，有下界，從而，然后證明。 1、 構(gòu)造（）對(duì)于固定的與，函數(shù)是的連續(xù)函數(shù)，所以上半連續(xù)，已知是上半連續(xù)的，是的上半連續(xù)函數(shù)（定理3），從而在上有上界，且達(dá)到上確界（定理4），即使得 （1）（注意實(shí)際與有關(guān)，）

19、今定義 （2）下面證明滿足各項(xiàng)要求。(證明連續(xù)）由（1）、（2）式知 （3）從而所以 此式對(duì)任意的都成立，互換也成立，因而得 此式表明在上連續(xù)。3、（證明）設(shè)，則 （由式3） （因） 所以。4、（序列有下界）對(duì)任一固定的，在（3）式中令，可知（對(duì)一切成立），故，有下界。5、由3、4知;存在且。6、（證明）因上半連續(xù)，當(dāng)，時(shí)有 (4)又因?yàn)樯习脒B續(xù)，所以在上上有界，因此對(duì)固定的，當(dāng)時(shí)有。這是因?yàn)槿舨皇諗坑冢瑒t的鄰域，使得在此鄰域之外（這里是的某一子序列）。但在上有上界，即：，使得（當(dāng)時(shí)），因此 這與（當(dāng)時(shí)矛盾 。由此可知，當(dāng)時(shí)，于是由（4）式 但 從而更有 令取極限，得由的任意性，知再由5的結(jié)論

20、可得。證畢。4.5與連續(xù)函數(shù)相比的其他不同性質(zhì)（1）一個(gè)上半連續(xù)函數(shù)和一個(gè)下半連續(xù)函數(shù)代數(shù)和不一定為半連續(xù)函數(shù)。（2）連續(xù)函數(shù)具有介值性，而半連續(xù)函數(shù)的介值定理不成立。例4.5.1 設(shè)fx=2, 0x10, 1x2 ，gx=-1, 0x1/23, 1/20,0，當(dāng)xE，x-x0時(shí)，有 fxfx0+ ，由半連續(xù)函數(shù)的定義可知f(x)在0,2上是上半連續(xù)的；同理我們可以知道g(x)在0,2上是下半連續(xù)的；而fx+gx=1 0x1/2 5 1/2x13 1x2，我們發(fā)現(xiàn)它在點(diǎn)x=1處不滿足下半連續(xù)，在點(diǎn)x=1/2不滿足上半連續(xù)，所以它不是個(gè)半連續(xù)函數(shù)。例4.5.2 設(shè)fx=2, 0x10, 10,存

21、在x0的鄰域U(x0)，使得對(duì)任意的xU(x0)，有fx-f(x0)，則稱f在點(diǎn)x0處上半連續(xù)；如果，即對(duì)任意-，則稱f在點(diǎn)x0處下半連續(xù)。結(jié)論：由半連續(xù)函數(shù)的定義可以看出：它不同于連續(xù)函數(shù)，也有別于分段函數(shù)。對(duì)于連續(xù)函數(shù)可直接用其性質(zhì)處理；對(duì)于不連續(xù)函數(shù)，若其為半連續(xù)的函數(shù)，則可以運(yùn)用半連續(xù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來解決相關(guān)問題。在實(shí)際分析過程中，應(yīng)利用半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)來研究連續(xù)函數(shù)；反之，也可以從連續(xù)函數(shù)的角度去探索半連續(xù)函數(shù)某些特有的性質(zhì)，通過知識(shí)間的遷移、交融最終達(dá)到我們研究問題、解決問題的目的。參考文獻(xiàn)：【1】 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析, 高等教育出版社,2002.【2】 裴禮文,數(shù)學(xué)分析中的典型問題和方法,高等教育出版社,1993.【3】 劉玉蓮,傅沛仁,數(shù)學(xué)分析講義(第四版), 高等教育出版社,2002. 【4】 錢吉林,數(shù)學(xué)分析題解精粹, 崇文書局, 2003.【5】 孫本旺，數(shù)學(xué)分析中的典型例題和解題方法，湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1987.【6】 鄭步南,數(shù)學(xué)分析典型題選講,廣西師范大學(xué)出版社, 2002.【7】 徐利志，王興華, 數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講,高等教育出版社.1983.【8】 張恭慶，泛函分析講義，北京大學(xué)出版社