理論力學(xué)11梁的位移計算

1、第十一章 梁的位移計算梁的位移計算工程實例2梁的位移計算工程實例3梁的位移計算工程實例 本章對平面彎曲下梁變形的基本概念、基本方法以及簡單靜不定梁進(jìn)行簡要介紹。4梁的位移計算撓度、轉(zhuǎn)角及其相互關(guān)系撓曲線：梁變形后的軸線。 在小變形情況下，任意橫截面的形心位移是指方向的線位移，截面形心垂直于軸線方向的線位移稱為撓度yaqb xxvl向上為正，向下為負(fù)v = f ( x)撓曲線方程彎曲變形時，橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度稱為轉(zhuǎn)角 = ( x)轉(zhuǎn)角方程逆轉(zhuǎn)為正，順轉(zhuǎn)為負(fù)5梁的位移計算qbaxvl dv tg = dx 橫截面的轉(zhuǎn)角與撓曲線在該截面處的斜率近似相等，即撓曲線方程的一階導(dǎo)數(shù)為轉(zhuǎn)角方程。6梁的

2、位移計算曲率公式撓曲線微分方程qb 1m ( x) = ( x) ei zaxvl撓曲線為一平面曲線，其上任一點的曲率1=d v 2dx dv 1 + dx 2232d v 2dx dv 2 1+ ( ) dx 322 m ( x)= ei z微小量撓曲線微分方程7梁的位移計算在小變形情況下dvm = 2dxei z2正負(fù)號與彎矩符號規(guī)定及所取坐標(biāo)系有關(guān)ym 0d v 0 2dx2ym 0d v b,則最大撓度在ac段。最大撓度處截面的轉(zhuǎn)角為零。321 = 0 x0 =l b 322vmax fbl b =1 2 9 3ei l 2219梁的位移計算疊加法求梁的位移 在小變形和材料服從胡克定律

3、的條件下導(dǎo)出撓曲線近似微分方程d vm ( x) = 2dxei z2此方程為線性方程外力和彎矩之間也為線性關(guān)系撓度和轉(zhuǎn)角和外力之間為線性關(guān)系 當(dāng)梁上作用幾種載荷時，各載荷同時作用引起變形，等于各載荷單獨作用引起的變形的代數(shù)和疊加原理。疊加法求梁的變形20梁的位移計算梁在簡單載荷作用下的變形21梁的位移計算22梁的位移計算23梁的位移計算24梁的位移計算25梁的位移計算思考：應(yīng)用疊加法求梁的位移，必須滿足的條件是什么？答：小變形，材料符合胡克定律。26梁的位移計算43已知圖1b點的撓度和轉(zhuǎn)角分別為 ql / 8 ei ， ql / 6 ei ，圖2c截面的轉(zhuǎn)角為多少？qalbql / 8 ei

4、3qabcll27例如圖所示簡支梁，已知，試?yán)茂B加法求vc解將荷載分解為兩組qfal/2lcbqalb4l/2falb3 5qlvc1 = 384ei 5qlflvc = vc1 + vc 2 = 384ei 48ei43 flvc 2 = 48ei28例如圖所示懸臂梁，已知，試?yán)茂B加法求vb解 b為自由端，為自由端，cb段無內(nèi)力，段無內(nèi)力， 梁變形后cb段必保持為直線 q(l / 2)ql =vc = 8ei128ei 33 q (l / 2)qlc = = 6 ei48 ei44qal/2 ccclbv b1vb2v b1 ql= vc = 128 ei44vb 2 llql= tan

5、 c = c = 2296 ei44294 qlql7qlvb = vb1 + vb 2 = = 128ei 96ei384ei例如圖所示外伸梁，已知，試?yán)茂B加法求vd解d為自由端，為自由端，bd段無內(nèi)力，段無內(nèi)力，梁變形后bd段仍保持為直線將ab段視為簡支梁，查表：b fl= 16 ei2bacfl /2bbdl /2av d = a b fl a= 16 ei302梁的位移計算梁的剛度條件 提高粱剛度的主要措施一、梁的剛度條件vmax v max v許用撓度許用轉(zhuǎn)角 一般軸滑動軸承吊車梁v = (0.0003 0.0005)l = (0.003 0.005)radv = (0.0013

6、0.0025)l31例 機床主軸的支撐和受力可簡化為如圖所示的外伸梁，其中 p 為由于切削而施加于卡盤上的力，p2 為齒輪間1的相互作用力。主軸為空心圓截面，外徑 d = 80mm ， la內(nèi)徑 d = 40mm ， = 400mm， = 100mm ， p = 2kn ， 1 p2 = 1kn ，材料的彈性模量為 e = 200gpa 。規(guī)定主軸的許用轉(zhuǎn)角和許用撓度為：卡盤處的撓度不超過 43兩軸承間距的 1 / 10 ，軸承處的轉(zhuǎn)角不超過 1 / 10 rad 。試校核主軸的剛度。p2acp 1bdl /2l /2a32例 解iz =d464(1 ) = 1.885 10 mm464bac

7、p2l /2bbd p2l 4 b ( p2 ) = = 0.265 10 rad 16 ei z2l /2abvd ( p2 ) = b ( p2 )a = 2.65 10 mm3 p al 4 1 b ( p1 ) = 0.707 10 rad 3ei z pa 3 1vd ( p ) =(l + a ) = 8.84 10 mm 1 3ei z2acp 1dl /2l /2avd = vd ( p ) + vd ( p2 ) = 6.19 10 mm13 b = b ( p1 ) + b ( p2 ) = 0.442 10 rad 4vd v 5= 1.548 10 l l 滿足剛度要求

8、33梁的位移計算二、提高粱剛度的主要措施增大截面慣性矩 因為各類鋼材的彈性模量比較接近，采用優(yōu)質(zhì)鋼材對提高彎曲剛度意義不大，所以一般選擇合理的截面形狀以增加慣性矩。如：采用薄壁工字形、箱形截面，或采用空心圓軸等。盡量減少梁的跨度或長度 因為梁的撓度和轉(zhuǎn)角分別與梁跨度的立方和平方成正比，所以減少梁的跨度是提高粱的剛度的主要措施。34梁的位移計算增加支撐35梁的位移計算改善受力情況改善受力情況可以減小彎矩，從而減小梁的撓度和轉(zhuǎn)角。pylx qlv= 3ei z qlv= 8 ei z364yqxl4梁的位移計算簡單靜不定梁 梁支座約束力的數(shù)目超出了獨立的平衡方程數(shù)目，因而僅靠平衡方程不能求解靜不定

9、梁。qabl37梁的位移計算變形比較法 比較基本靜定系和原超靜定系統(tǒng)在多余約束處 的變形，寫出變形協(xié)調(diào)條件進(jìn)行求解。將處約束去掉基本靜定系 靜定基相當(dāng)系統(tǒng)alb加上及約束力變形協(xié)調(diào)條件34qavb = 0ma rb lqlvb =0 3ei 8 eirbblqab38 3rb = ql 8梁的位移計算本章小結(jié)撓曲線、撓度、轉(zhuǎn)角、撓曲線方程、轉(zhuǎn)角方程v = f ( x) = ( x) dv tg = dx撓曲線微分方程d v 2dx dv 2 1+ ( ) dx 322 m ( x)= ei zd vm = 2dxei z392梁的位移計算積分法求梁的位移邊界條件和連續(xù)條件 dvm ( x) ( x) = = dx + c dxei z m ( x) v( x) = dx dx + cx + d ei z疊加法求梁的位移梁的剛度條件 max vmax v 40梁的位移計算提高梁的剛度的主要措