等比數(shù)列的前n項和

1、1等比數(shù)列的前n項和2復(fù)習(xí)數(shù)列的有關(guān)概念叫做數(shù)列叫做數(shù)列 的前的前n項和項和。 nannnaaaaas1321)2() 1(11nssnsannn 數(shù)列的第n項 與前n項和 之間的關(guān)系nans3復(fù)習(xí)等比數(shù)列的有關(guān)概念 定義：如果一個數(shù)列從第定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)（指與項的比等于同一個常數(shù)（指與n無關(guān)的數(shù)），這個數(shù)列無關(guān)的數(shù)），這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母通常用字母q表示。表示。等比數(shù)列等比數(shù)列 的通項公式為的通項公式為 na)0(111qaqa

2、ann)0(qaqaammnmn用數(shù)學(xué)語言表示為用數(shù)學(xué)語言表示為10nnaqqa 4引入新課 我們一起回顧一下，在我們學(xué)習(xí)數(shù)列第一節(jié)的時候，我們一起回顧一下，在我們學(xué)習(xí)數(shù)列第一節(jié)的時候，我給大家講了一個關(guān)于國際象棋的故事。當(dāng)時的國王覺我給大家講了一個關(guān)于國際象棋的故事。當(dāng)時的國王覺得國際象棋特別好玩，就想獎勵象棋的發(fā)明者，于是就得國際象棋特別好玩，就想獎勵象棋的發(fā)明者，于是就問象棋的發(fā)明者有什么要求，發(fā)明者說：問象棋的發(fā)明者有什么要求，發(fā)明者說：“請在象棋的請在象棋的第一個格子里放第一個格子里放1顆麥粒，第二個格子放顆麥粒，第二個格子放2顆麥粒，第三顆麥粒，第三個格子放個格子放4顆麥粒，以此類

3、推，每個格子放的麥粒數(shù)都顆麥粒，以此類推，每個格子放的麥粒數(shù)都是前一個格子的兩倍，請給我足夠的糧食來實現(xiàn)上述要是前一個格子的兩倍，請給我足夠的糧食來實現(xiàn)上述要求求”。國王不假思索就欣然答應(yīng)了他的要求。國王不假思索就欣然答應(yīng)了他的要求。 我們看國王能不能滿足他的要求，由于每個格子里我們看國王能不能滿足他的要求，由于每個格子里的麥粒數(shù)都是前一個格子里的麥粒數(shù)的的麥粒數(shù)都是前一個格子里的麥粒數(shù)的2倍，共有倍，共有64個個格子，各個格子里的麥粒數(shù)依次是：格子，各個格子里的麥粒數(shù)依次是： 5 引入新課12223242這一格放這一格放的麥?？傻柠溋？梢粚Τ梢灰粚Τ梢蛔阶?6326326引入新課它是以為

4、首項公比是的等比數(shù)列，它是以為首項公比是的等比數(shù)列，64s23631 2222 .分析：分析：由于每格的麥粒數(shù)都是前一格的倍，共有由于每格的麥粒數(shù)都是前一格的倍，共有64格每格所放的麥粒數(shù)依次為：格每格所放的麥粒數(shù)依次為：麥粒的總數(shù)為麥粒的總數(shù)為:23631,2,2 ,2 ,2 .7引入新課64s23631 2222 .(1)請同學(xué)們考慮如何求出這個和？請同學(xué)們考慮如何求出這個和？642s23632(1 2222 ).642s即23636422222 .(2)64642ss23463(122222 )2346364(222222 )230 - 1 = 1073741823646421s 這種求

5、和的方法,就是錯位相減法!191.84 1018446744073709551615 如果如果1000粒麥粒重為粒麥粒重為40克，那么這些麥粒的總質(zhì)克，那么這些麥粒的總質(zhì)量就是量就是7300多億噸。根據(jù)多億噸。根據(jù)統(tǒng)計資料顯示，全世界小統(tǒng)計資料顯示，全世界小麥的年產(chǎn)量約為麥的年產(chǎn)量約為6億噸，就億噸，就是說全世界都要是說全世界都要1000多年多年才能生產(chǎn)這么多小麥，國才能生產(chǎn)這么多小麥，國王無論如何是不能實現(xiàn)發(fā)王無論如何是不能實現(xiàn)發(fā)明者的要求的。明者的要求的。 8等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)1nnnaaaaas1321,1a,2a,3a,na由等比數(shù)列由等比數(shù)列的前的前n項和項和得112121

6、11nnnqaqaqaqaas)(11212111nnnnqaqaqaqaaqss)(11131211nnqaqaqaqaqa)1 (111nnqaqaa)1 ()1 (1nnqasq即當(dāng)當(dāng)q1時，時，qqasnn1)1 (1當(dāng)q=1時，等比數(shù)列的前n項和是什么？1nasn這種求和的方法,就是錯位相減法!23111111nna qa qa qa qa qnqs 9等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)23241231aaaanqaaaanqaaaaaaaann1321432,1a,2a,3a,na由等比數(shù)列由等比數(shù)列的定義：的定義：qasasnnn1qqaasnn11當(dāng)當(dāng)q1時時，qaasqnn1)1

7、(當(dāng)當(dāng)q=1時時?10等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)3nnnaaaaas1321)(1211naaaqa)(1nnasqaqaasqnn1)1 (當(dāng)當(dāng)q=1時時?qqaasnn11當(dāng)當(dāng)q1時時，13211nqaqaqaqaa1nasn11等比數(shù)列的前n項和兩種公式的關(guān)系1q 當(dāng)時qqasnn1)1 (1qqaasnn111nasn當(dāng)q=1時，111nnnaqaqqa q12等比數(shù)列的前n項公式111111nnnaqsaqqq 綜上綜上或或11111nnnaqsaa qqq 13等比數(shù)列的前n項和例題1解解: 例例1 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 的前的前8項的和項的和.,81,41,218,21,211

8、nqa2112112188s.256255qqasnn1)1 (114 例2求和分析：上面各個括號內(nèi)的式子均由兩項組成。其中各括號內(nèi)的前一分析：上面各個括號內(nèi)的式子均由兩項組成。其中各括號內(nèi)的前一項與后一項分別組成等比數(shù)列，分別求出這兩個等比數(shù)列的和，項與后一項分別組成等比數(shù)列，分別求出這兩個等比數(shù)列的和，就能得到所求式子的和。就能得到所求式子的和。等比數(shù)列的前n項和例題222111nnxxxyyy0,1,1xxy0,1,1xxy當(dāng)時22111nnxxxyyy22111nnxxxyyy1111111nnxxyyxy1111nnnnxxyxyy15現(xiàn)在我們把該題推廣一下當(dāng)x=0,y=1時n和22

9、111nnxxxyyy 22111nnx xxy yy 1,1xy當(dāng)時2n和1,1xy當(dāng)時11nnnynyy和1,1xy當(dāng)時11nxxnx和0,1xy當(dāng)時11nnnyyy和16等比數(shù)列的前n項和例題3 例例3 某制糖廠今年制糖某制糖廠今年制糖5萬噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上萬噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加一年增加10%，那么從今年起，幾年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達到，那么從今年起，幾年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達到30萬噸（保留到個位）萬噸（保留到個位）.解：解：由題意可知，這個糖廠從今年起，平均每年的產(chǎn)量（萬由題意可知，這個糖廠從今年起，平均每年的產(chǎn)量（萬噸）組成一個等比數(shù)列，噸）組成一個等比數(shù)列， 記為記為

10、na30, 1 . 1%101, 51nsqa.301 .11)1 .11 (5n答：答：5年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達到年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達到30萬噸萬噸.于是得到于是得到整理后，得整理后，得6 . 11 . 1n50414.02041.01.1lg6.1lgn6 . 1lg1 . 1lg6 . 1lg1 . 1lgnn第一年為第一年為5萬噸，萬噸，第二年為第二年為5+510%=5（1+10%）qqasnn1)1 (117等比數(shù)列的前n項和練習(xí)11. 根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列 的的 : na;6,2,3)1(1nqa;5,21,8)3(1nqa.18921)21(366 s5518123 1.2112s2. 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 1，2，4，從第從第5項到第項到第10項的和項的和. ns18等比數(shù)列的前n項和練習(xí)2-311,2,aq解法二：51016,512,aa2. 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 1，2，4，從第從第5項到第項到第10項的和項的和. 11,2,aq解 法 一 ：.1521)21 (144s.102321)21 (11010s.1008151023410ss從第從第5項到第項到第10項的和項的和: 把第把第5項作為新等比數(shù)列項作為新等比數(shù)列的首項的首項,第第10項作為末項項作為末項.從第從第1項到第項到第6項的和項的和:616512 21