積分的幾何應用

1、 定積分在幾何中的應用定積分在幾何中的應用 1.1.定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：一、復習引入一、復習引入 如果在區(qū)間如果在區(qū)間aa，bb上函數(shù)上函數(shù)f(x) f(x) 連續(xù)且恒有連續(xù)且恒有f(x)0 f(x)0 ，那么定積分那么定積分 表示由直線表示由直線x=a,x=b(ab),y=0 x=a,x=b(ab),y=0和曲線和曲線y= f(x)y= f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。所圍成的曲邊梯形的面積。xdxfba)(xyoabs s1 1s s2 2s s3 3)(xfy 一般情況下，一般情況下， 的幾何意義是：介于的幾何意義是：介于x x軸，曲線軸，曲線y=f(x)y=f(x)以及

2、直線以及直線x=a,x=bx=a,x=b之間各部分曲邊梯形面積的代數(shù)和，之間各部分曲邊梯形面積的代數(shù)和，在在x x軸上方的面積取正號，在軸上方的面積取正號，在x x軸下方的面積取負號。軸下方的面積取負號。xdxfba)(xyo)( xfy abs s 如果如果f(x)f(x)是區(qū)間是區(qū)間aa，bb上的連續(xù)函數(shù)，且上的連續(xù)函數(shù)，且f f (x)=f(x)(x)=f(x)，那么那么: :)()()(afbfxdxfba2.2.微積分基本定理：微積分基本定理：一、復習引入一、復習引入類型類型1 1：求由一條曲線求由一條曲線y=f(x)y=f(x)和直線和直線x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab

3、)及及x x軸軸所圍成平面圖形的面積所圍成平面圖形的面積s sbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfs)()()(|)(| )3(badxxfs)( ) 1 (badxxfs)( )2(2)xyoabc)(xfy (3)(1)xyo)( xfy ab1.1.幾種典型的平面圖形面積的計算：幾種典型的平面圖形面積的計算：二、新課講解二、新課講解類型類型2 2：由兩條曲線由兩條曲線y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直線，直線x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)所圍成平面圖形的面積所圍成平面圖形的面積s sbababadxxgxfdxxgdxxfs)()(|)(|

4、)( )2(bababadxxgxfdxxgdxxfs)()()()( ) 1 (yxoba)(xfy )(xgy (2)(xfy )(xgy (1)1.1.幾種典型的平面圖形面積的計算：幾種典型的平面圖形面積的計算：二、新課講解二、新課講解例例 1 1. . 計算由兩條拋物線計算由兩條拋物線xy 2和和2xy 圍成圖形的面積圍成圖形的面積. . 解解: :作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的圖象如圖所示的圖象如圖所示: :即兩曲線的交點為即兩曲線的交點為(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)1 12 20 0s s = =( ( x x - -x x ) )d dx x

5、323102()|33xx.31 邊邊曲梯形oabc曲梯形oabds= s-soxy2yx2yx2xy yxabcdo11200 xdxx dx二、新課講解二、新課講解11002yxyxxyxy或解方程組(1)(1)作出示意圖作出示意圖;(;(弄清相對位置關系弄清相對位置關系) )(2)(2)求交點坐標，確定圖形范圍求交點坐標，確定圖形范圍( (積分的上限積分的上限, ,下限下限) )(3)(3)確定積分變量及被積函數(shù)，特別要注意分清被積確定積分變量及被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置函數(shù)的上、下位置; ;(4)(4)寫出平面圖形的定積分表達式；寫出平面圖形的定積分表達式；二、新課講

6、解二、新課講解2.2.求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟: :(5)(5)運用微積分基本定理計算定積分，求出面積。運用微積分基本定理計算定積分，求出面積。解解: : 作出作出y=x-4, y=x-4, 的圖象如圖所示的圖象如圖所示: :2yx解方程組：解方程組：42xyxy得：直線得：直線y=x-4y=x-4與與 交點為交點為(8(8，4)4) 直線直線y=x-4y=x-4與與x x軸的交點為軸的交點為(4(4，0)0)2yx因此，所求圖形的面積為一個曲邊梯形因此，所求圖形的面積為一個曲邊梯形與一三角形面積之差：與一三角形面積之差：例例2.2.計算由曲

7、線計算由曲線 ，直線，直線y=x-4y=x-4以及以及x x軸圍成圖形的面積軸圍成圖形的面積. . xy2二、新課講解二、新課講解本題還有其他解法嗎？本題還有其他解法嗎？340)4(28480dxxdxxs另解另解1 1：將所求平面圖形的面積分割將所求平面圖形的面積分割成左右兩個部分。成左右兩個部分。3402)4(40240dyydyys還需要把函數(shù)還需要把函數(shù)y=x-4y=x-4變形為變形為x=y+4x=y+4，函，函數(shù)數(shù) 變形為變形為2yx22yx 二、新課講解二、新課講解2yx4 xys1s2)4(2284844021dxxdxxdxxsss340)4(21322322484804232

8、3xxx另解另解2 2：將所求平面圖形的面積看成位將所求平面圖形的面積看成位于于y y軸右邊的一個梯形與一個曲邊梯形軸右邊的一個梯形與一個曲邊梯形的面積之差，因此取的面積之差，因此取y y為積分變量，為積分變量，3322822024 22 21166426|(4 )|18332333xxxx28022 2( 24)xdxxxdx思考：思考：將曲線沿將曲線沿x x軸旋轉，與直軸旋轉，與直線相交于一點，求曲線與直線線相交于一點，求曲線與直線圍成的面積。圍成的面積。abs2s1s1解法解法1：二、新課講解二、新課講解281202222( 24)sssxdxxxdxab解法2：dyys4222y)4(

9、1864224324242yyy思考：思考：將取將取y y為積分變量，把函為積分變量，把函數(shù)數(shù)y=x-4y=x-4變形為變形為x=y+4x=y+4，函數(shù)，函數(shù) 變形為變形為2yx22yx 二、新課講解二、新課講解練習練習1.1. 求拋物線求拋物線y=xy=x2 2-1-1，直線，直線x=2x=2，y=0y=0所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。y解：解：如圖：由如圖：由x x2 2-1=0-1=0得到拋物線與得到拋物線與x x軸軸的交點坐標是的交點坐標是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面積所求面積如圖陰影所示：如圖陰影所示：所以：所以：112212) 1() 1(dxxdxxs三、課堂練習三、課堂練習38)3()3(113123xxxxxy212102)23()32(dxxxdxxxs16165)2323()2323(12330123xxxxxx練習練習2.2. 求拋物線求拋物線y=xy=x2 2+2+2與直線與直線y=3xy=3x和和x=0 x=0所圍成的圖形所圍成的圖形的面積。的面積。三、