復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)

1、最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)第四章第四章 級級 數(shù)數(shù)最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)4.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)& 1. 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限& 2. 級數(shù)的概念級數(shù)的概念最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù) 1. 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限定義定義,), 2 , 1(nnnniban 其其中中設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列： ，iba 又設(shè)復(fù)常數(shù)：又設(shè)復(fù)常數(shù)：時時的的極極限限，當(dāng)當(dāng)稱稱為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列那那么么，恒恒有有當(dāng)當(dāng)若若 nNnNnn, 0, 0 定理定理1.lim,limlimbbaannnnnn 證明證明 nnnNnN恒恒有有即即，”已已知知“, 0, 0lim.,lim 收收斂斂于于此此時時，也也稱稱復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列時時，或或當(dāng)當(dāng)記記作

2、作nnnnn 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)例例1 判斷下列數(shù)列是否收斂？若收斂，求出其判斷下列數(shù)列是否收斂？若收斂，求出其極限。極限。ninizn 11 )1(innez 2 )2( nniz )31( )3(innenz )11( )4( 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)2. 級數(shù)的概念級數(shù)的概念 nnn 211 niinns121 級數(shù)的前面級數(shù)的前面n項的和項的和-級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和稱稱為為級級數(shù)數(shù)的的和和ssnn lim稱稱為為收收斂斂級級數(shù)數(shù) 1nn 不收斂不收斂稱稱為為發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) 1nn -無窮級數(shù)無窮級數(shù)定義定義), 2 , 1( nibannn 設(shè)復(fù)數(shù)列：設(shè)復(fù)數(shù)列： 收收斂斂若若部部分分和

3、和數(shù)數(shù)列列ns最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)例例2解解的斂散性。的斂散性。判別判別 123nniisiisnnnnkkn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和為為級級數(shù)數(shù)收收斂斂定理定理2都都收收斂斂。和和收收斂斂級級數(shù)數(shù) 111nnnnnnba 都都收收斂斂。和和由由定定理理， 111111lim,limlim)(nnnnnnnnnnnnnkknkkknkknkknbabaibasibiaibas 證明證明最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)A 由定理由定理2，復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為，復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為 兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題。兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題。. 0lim: nn 收收斂斂的的必必

4、要要條條件件級級數(shù)數(shù) 1nn 性質(zhì)性質(zhì)定理定理3.1111 nnnnnnnn 收收斂斂，且且收收斂斂若若證明證明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaiba 收斂。收斂。得得由定理由定理均絕對收斂，均絕對收斂，和和由比較判定法由比較判定法 1112nnnnnnba 1111,nnnnnkknkk 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)A 收收斂斂. .收收斂斂若若 11nnnn ?)1(:(1 nnni例例如如定義定義.11111條條件件收收斂斂為為收收斂斂，則則稱稱發(fā)發(fā)散散，而而若若為為絕絕對對收收斂斂；收收斂斂，則則稱稱若若 nnnnnnnnnn 由定理由定理3的證明過程，及不等式的證明過程，及

5、不等式:22有有nnnnbaba 定理定理4都都收收斂斂。和和收收斂斂級級數(shù)數(shù) 111nnnnnnba 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)解解.)1(111)1(1121發(fā)發(fā)散散收收斂斂，發(fā)發(fā)散散， nnnninnn絕絕對對收收斂斂。收收斂斂， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()3(111收收斂斂收收斂斂，收收斂斂， nnnnnnninn例例2否絕對收斂？否絕對收斂？下列級數(shù)是否收斂？是下列級數(shù)是否收斂？是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原級級數(shù)數(shù)非非絕絕對對收收斂斂收收斂斂，條條件件又又 nnn最新復(fù)變函數(shù)冪級

6、數(shù)練習(xí)：練習(xí)：;110的斂散性的斂散性討論討論 nnien ;1的的斂斂散散性性討討論論 nnni.)11ln(1斂散性斂散性討論討論 nnin最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)& 1. 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念& 2. 收斂定理收斂定理& 3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑& 4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法& 5. 冪級數(shù)的運算和性質(zhì)冪級數(shù)的運算和性質(zhì)4.2 冪級數(shù)冪級數(shù)最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)1. 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念定義定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：設(shè)復(fù)變函數(shù)列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( nDzzfn-稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面級數(shù)的最前面

7、n項的和項的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和發(fā)發(fā)散散。不不存存在在，稱稱級級數(shù)數(shù)其其和和為為收收斂斂在在稱稱級級數(shù)數(shù)若若)1()(lim),(,)1(),()(lim000000zszszzszsDznnnn 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)若級數(shù)若級數(shù)(1)在在D內(nèi)處處收斂，其和為內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)的函數(shù))()()()(21zfzfzfzsn -級數(shù)級數(shù)(1)的和函數(shù)的和函數(shù)特殊情況，在級數(shù)特殊情況，在級數(shù)(1)中中得得nnnzzczf)()(0 ) 2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz當(dāng)當(dāng)稱為冪級數(shù)稱為冪級數(shù)并并不不失失一一般

8、般性性。研研究究級級數(shù)數(shù)中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)2. 收斂定理收斂定理同實變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：同實變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理定理1 (阿貝爾阿貝爾(Able)定理）定理）.,)0(000級級數(shù)數(shù)必必絕絕對對收收斂斂的的則則對對滿滿足足收收斂斂在在若若級級數(shù)數(shù)zzzzzzcnnn .,00級級數(shù)數(shù)必必發(fā)發(fā)散散的的則則對對滿滿足足發(fā)發(fā)散散若若級級數(shù)數(shù)在在zzzzz 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù) ,2,1 ,0,max00202010 nMzczczczccMnnNN故故取取 證明證明，即即則則收收斂斂0lim,)1(000

9、 nnnnnnzczc nnzcNnN000，恒恒有有，1,00 qzzzz則則若若,00nnnnnnMqzzzczc ,0收收斂斂由由于于 nnMq,0收收斂斂由由比比較較判判別別法法得得 nnnzc絕對收斂。絕對收斂。 0nnnzc最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)(2)用反證法，用反證法，3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑收收斂斂，有有當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè) 01011,nnnzczzz由由Able定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：三種情況：(i)若對所有正實數(shù)都收斂，級數(shù)若對所有正實數(shù)都收斂，級數(shù)(3)在復(fù)平面上處在復(fù)平面上處處收斂。處收斂。！收收斂斂與與假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾

10、，得得證證知知由由 00)1(nnnzc(ii )除除z=0外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時，外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時， 級數(shù)級數(shù)(3)在復(fù)平面上除在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。外處處發(fā)散。最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù).)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)外外，級級在在圓圓周周收收斂斂；內(nèi)內(nèi)，級級數(shù)數(shù)定定理理，在在圓圓周周由由 zczcAble., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散使使得得收收斂斂使使得得 nnnnnncciii 顯然，顯然， 否則，級數(shù)否則，級數(shù)(3)將在將在 處發(fā)散。處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，部分染成藍色， 逐漸變大，逐漸變大，在在c c 內(nèi)部

11、都是紅色內(nèi)部都是紅色, , 逐漸變逐漸變小，在小，在c c 外部都是藍色，外部都是藍色，紅、藍色不會交錯。紅、藍色不會交錯。故故藍藍兩兩色色的的分分界界線線。為為紅紅、一一定定,RzcR ： 播放播放最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)A ( (i) )冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。要具體分析。定義定義這個紅藍兩色的分界圓周這個紅藍兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的叫做冪級數(shù)的收斂圓；這個圓的半徑收斂圓；這個圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑。叫做冪級數(shù)的收斂半徑。(ii)冪級數(shù)冪級數(shù)(

12、3)的收斂范圍是以的收斂范圍是以0為中心，半徑為為中心，半徑為R的圓域；冪級數(shù)的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以的收斂范圍是以z0為中心為中心,半徑半徑為為R的圓域的圓域.最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法的的收收斂斂半半徑徑求求法法，有有關(guān)關(guān)于于冪冪級級數(shù)數(shù))3(0 nnnzc 定理定理2(比值法比值法) 000/1lim1Rccnnn，則則若若zzcczczcinnnnnnnn 111limlim, 0)(證明證明發(fā)發(fā)散散，時時時時，即即當(dāng)當(dāng)絕絕對對收收斂斂；時時即即時時當(dāng)當(dāng) 00,11,1,1nnnnnnzczzzczz 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù).,0)(00也也發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)

13、散散，從從而而有有外外，對對一一切切時時，除除當(dāng)當(dāng) nnnnnnzczczziii . 0!0,001101000 Rzczzzzcznnnnnn故故收收斂斂，矛矛盾盾，滿滿足足則則收收斂斂否否則則，如如果果有有一一點點 定理定理3(根值法根值法) 000/1limRcnnn，則則若若最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù) 定理定理3(根值法根值法) 000/1limRcnnn，則則若若 定理定理2(比值法比值法) 000/1lim1Rccnnn，則則若若最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)例例1的的收收斂斂范范圍圍及及和和函函數(shù)數(shù)。求求冪冪級級數(shù)數(shù) nnnzzzz201121 nnzzzs又又zzn 11解解11lim1 Rcc

14、nnn.11lim, 0lim1zszznnnn 時，時，當(dāng)當(dāng)., 0lim1級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時時，當(dāng)當(dāng) nnzz 綜上綜上 .1;111,0時時當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)且且和和函函數(shù)數(shù)為為收收斂斂zzzznn最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)例例2 求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑;) 1 (12 nnnz;)2(1 nnnz！;)1()3(1 nnnz;)4(12 nnz;)(cos)5(0 nnzin.)2()6(112 nnnzi最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)5. 冪級數(shù)的運算和性質(zhì)冪級數(shù)的運算和性質(zhì)q代數(shù)運算代數(shù)運算2010)()(rRzgzbrRzfzannnnnn 設(shè)設(shè)Rzzgzfzbazbzann

15、nnnnnnnn )()()(000),min(21rrR 其其中中：Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000-冪級數(shù)的加、減運算冪級數(shù)的加、減運算-冪級數(shù)的乘法運算冪級數(shù)的乘法運算最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)rzgRzzgrzzazfnnn )()(,)(0內(nèi)內(nèi)解解析析，且且在在設(shè)設(shè)Rzzgazgfnnn 0)()(-冪級數(shù)的代換冪級數(shù)的代換(復(fù)合復(fù)合)運算運算A 冪級冪級數(shù)的代換運數(shù)的代換運算在函數(shù)展算在函數(shù)展成冪級數(shù)中成冪級數(shù)中很有用很有用.例例3.)(10abazcbznnn 這這里里，復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)的的冪冪級級數(shù)數(shù)，表表成成形形如如

16、把把解解)()(11abazbz 代換代換 abzgabazab1)(11111最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)Rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn ,11)(,)()()(1)(1122解解 abzgabazababazbz1)(11111)()(11Razazabazabazababzgabbznn )()(1)()(1)()(11)(11111232代換代換展開展開還原還原最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)q分析運算分析運算定理定理4Rzzfzcnnn )(0設(shè)設(shè).)()(內(nèi)內(nèi)解解析析在在Rzzfi Rzznczczczfiinnnnnnnnn 1100)()()( )(zdzcdzzcdzzf

17、iiincnncnnnc 00)()(-冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)運算冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)運算-冪級數(shù)的逐項積分運算冪級數(shù)的逐項積分運算 0101)(nnnznzcdf 或或RazCRz ,最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)例例4 求冪級數(shù)的和函數(shù)及收斂圓求冪級數(shù)的和函數(shù)及收斂圓. 211321 )1(zznznn 32 )2(321zzznznn最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)& 1. 泰勒展開定理泰勒展開定理& 2. 展開式的唯一性展開式的唯一性& 3. 簡單初等函數(shù)的泰勒展開式簡單初等函數(shù)的泰勒展開式4.3 泰勒泰勒(Taylor)級數(shù)級數(shù)最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)1. 泰勒泰勒(Taylor)展開定理展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：現(xiàn)在

18、研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達?(或者說或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)? 解析函解析函數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示？）數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示？）由由4.24.2冪級數(shù)的性質(zhì)知冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：以下定理給出了肯定回答：任何任何解析函數(shù)解析函數(shù)都一定都一定能用冪級數(shù)表示。能用冪級數(shù)表示。最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)定理定理1（泰勒展開定理）（泰勒展開定理）,2 , 1 ,0)(!1:)1()()(,)(0)

19、(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中時時當(dāng)當(dāng)上上各各點點的的最最短短距距離離的的邊邊界界到到為為內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)級數(shù)的處在Taylorzzf0)(Dk 0z rzkdzfizfncknnn 0100)(:)(21)(!1 分析：分析：代入代入(1)得得最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)Dk 0z(*)()()()()2),10010nnnzzzfzf 有有，比比較較)2)(21)( kdzfizf 又又) 1)()()(21)()()(21)(!)()(00100010000)(00 knnnnnknnnnnnndzzzfizzdzfizznzfzzc z最新

20、復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)) 2()()(11100200000 nzzzzzzzzzzz ,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到, 100 qzzz 0000)()()()(nnnzzzzfzf 故故-(*)得證！得證！nnnzzzf)()()(0010 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)證明證明 kdzfizfCauchykzDrzrzk )(21)(:, ,:00積積分分公公式式由由內(nèi)內(nèi)任任一一點點為為設(shè)設(shè), 100 qzzz 00000111)(11zzzzzzzz )3()()(1 100200000 nzzzzzzzzzz 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)收收斂斂圓圓周周上上. .只只能能在在收收斂斂半半

21、徑徑還還可可以以擴擴不不然然的的話話, ,不不可可能能在在收收斂斂圓圓外外, ,奇奇點點又又不不可可能能在在收收斂斂圓圓內(nèi)內(nèi). .所所以以奇奇點點圓圓內(nèi)內(nèi)解解析析在在收收斂斂這這是是因因為為在在收收斂斂圓圓上上, , 奇奇點點因因此此, ,大大, ,)()2(zfA 000,)()()(zRzfzRTalorzzfzf即即之之間間的的距距離離, ,的的最最近近的的一一個個奇奇點點到到等等于于從從展展開開式式的的收收斂斂半半徑徑的的在在解解析析點點那那么么有有奇奇點點, ,若若( (1 1) )最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)2. 展開式的唯一性展開式的唯一性結(jié)論結(jié)論 解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它解析

22、函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的的Taylor級數(shù)。級數(shù)。利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一？的展開式是否唯一？1010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010事實上事實上，設(shè)，設(shè)f (z)用另外的方法展開為冪級數(shù)用另外的方法展開為冪級數(shù):導(dǎo)導(dǎo)性性質(zhì)質(zhì)得得，再再由由冪冪級級數(shù)數(shù)的的逐逐項項求求則則00)(azf , 2 , 1 , 0)(!1,0)( nzfnann依依此此類類推推得得，最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是由此可見

23、，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一的。級數(shù)，因而是唯一的。級級數(shù)數(shù)為為：時時當(dāng)當(dāng)Taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0( )0( )0()()(2-直接法直接法-間接法間接法代公式代公式由展開式的唯一性，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分由展開式的唯一性，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分 析運算和析運算和 已知函數(shù)的展開式來展開已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：級數(shù)的方法：最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù).!3!21), 2 , 1 , 0(1)(3200)( Renzzzzeneeznzzzznz該該級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑在在復(fù)復(fù)平平面面上上

24、解解析析又又3. 簡單初等函數(shù)的泰勒展開式簡單初等函數(shù)的泰勒展開式.0cos,sin,)(展展開開式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解解最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)A 上述求上述求sinz, cosz展開式的方法即為間接法展開式的方法即為間接法.例例2 把下列函數(shù)展開成把下列函數(shù)展開成 z 的冪級數(shù)的冪級數(shù):)1ln()() 3()1 (1)() 2(11)() 1 (2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)(1111 zzzzznn最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)(2)由冪級數(shù)逐項求導(dǎo)性質(zhì)得：由冪級數(shù)逐項求導(dǎo)性質(zhì)得： 1) 1(321) 1(111)1 (1112122

25、znzzzzzzdzdzdzdznnnn:)1(,)1(01)3(逐逐項項積積分分得得的的展展開開式式兩兩邊邊沿沿將將的的路路徑徑內(nèi)內(nèi)任任意意取取一一條條從從在在收收斂斂圓圓cczzz 11) 1(312)1ln(132 znzzzzznn znnzzzdzzzdzdzzdz0000)1(1最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)A(1)另一方面，因另一方面，因ln(1+z)在從在從z=-1向左沿負(fù)向左沿負(fù)實軸剪開的平面內(nèi)解析，實軸剪開的平面內(nèi)解析， ln(1+z)離原點最近的一離原點最近的一個奇點是個奇點是-1,它的展開式的收斂范圍為它的展開式的收斂范圍為 z 1.1,11, 1)1(111)2( 22422 R

26、izzRxxxxnn有有兩兩個個奇奇點點在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域中中容容易易看看出出看看清清楚楚, ,在在實實數(shù)數(shù)域域中中的的不不容容易易為為什什么么它它的的收收斂斂半半徑徑在在實實數(shù)數(shù)域域中中最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)練習(xí)練習(xí);2)1)(2( )1(處展開成冪級數(shù)處展開成冪級數(shù)在在 zzzz處展開成冪級數(shù)；處展開成冪級數(shù)；在在0sin )2(2z2 zze;-sinlim )3( zzz.2 )4(1 nnnin求和求和最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)定理定理.)()()2(.)()()()1(0000冪冪級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)可可展展成成在在內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可展展成成冪冪級級的的在在解解

27、析析在在點點函函數(shù)數(shù)DzfDzfzzczzfzzfnnn 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)& 1. 預(yù)備知識預(yù)備知識& 2. 雙邊冪級數(shù)雙邊冪級數(shù)& 3. 函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)& 4. 展開式的唯一性展開式的唯一性4.4 羅朗羅朗(Laurent)級數(shù)級數(shù)最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù) 由由4.34.3 知知, f (z) 在在 z0 解析解析，則，則 f (z)總可以總可以在在z0 的某一個圓域的某一個圓域 z - z0R 內(nèi)內(nèi)展開成展開成 z - z0 的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。若若 f (z) 在在 z0 點不解析點不解析，在在 z0的鄰域中就不可能展開成的鄰域中就不可能展開成 z - z0 的冪級

28、數(shù)，但如果在圓環(huán)域的冪級數(shù)，但如果在圓環(huán)域 R1z - z0 R2 內(nèi)解析，內(nèi)解析，那么，那么，f (z)能否用能否用級數(shù)表示呢？級數(shù)表示呢？例如，例如，.11010:,1, 0)1(1)(內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析及及圓圓環(huán)環(huán)域域但但在在都都不不解解析析在在 zzzzzzzf nzzzzz2111zzzzzfz 111)1(1)(,10時時當(dāng)當(dāng)最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù) )1(1111)1(1)(,110zzzzzfz時時當(dāng)當(dāng) nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1z - z0R2 內(nèi)解析內(nèi)解析, , f (z) 可可以展開

29、成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負(fù)冪次項以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負(fù)冪次項,即即 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù) 本節(jié)將討論在以本節(jié)將討論在以z 0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在析函數(shù)在孤立奇點孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)留數(shù)和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)1. 預(yù)備知識預(yù)備知識Cauchy 積分公式的推廣到復(fù)連通域積分公式的推廣到復(fù)連通域-見第三章第見第三章第18題題，：、且且作作圓圓周周：解解析

30、析內(nèi)內(nèi)在在設(shè)設(shè)RzzrDDkkRrRzzkrzzkRzzRDzf 01210201201,:,:.:)(Dz0R1R2rRk1k2D1z有，有，對對1Dz dzfidzfizfkk 12)(21)(21)(最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)2. 雙邊冪級數(shù)雙邊冪級數(shù)-含有正負(fù)冪項的級數(shù)含有正負(fù)冪項的級數(shù)定義定義 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-雙邊冪級數(shù)雙邊冪級數(shù)正冪項正冪項(包括常數(shù)項包括常數(shù)項)部分部分：)2()()()(001000 nnnnnzzczzcczzc都是常數(shù)都是常數(shù)及及其中其中), 2, 1, 0(0 nczn負(fù)冪項部分

31、負(fù)冪項部分：)3()()()(010110 nnnnnzzczzczzc最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)級數(shù)級數(shù)(2)是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2 ， 則級數(shù)則級數(shù)在在 z - z0 = =R2 內(nèi)收斂，且和為內(nèi)收斂，且和為s(z)+; 在在z - z0=R 2外發(fā)散。外發(fā)散。 則則若若令令對對于于級級數(shù)數(shù),1),3(0zz 級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散。級級數(shù)數(shù)收收斂斂則則當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)其其收收斂斂半半徑徑為為為為冪冪級級數(shù)數(shù)級級數(shù)數(shù)對對變變數(shù)數(shù)RRR ,)4() 4()(221110 nnnnnnnncccczzc )4(,11,1100則則級級數(shù)數(shù)代代回回得得將將令令RRzzzz .;)(,10

32、10發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)且且和和為為收收斂斂當(dāng)當(dāng)RzzzsRzz 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)z0R1R2有有公公共共收收斂斂域域21RR z0R2R1無無公公共共收收斂斂域域21RR 。且和且和收斂收斂稱稱，此時，此時，區(qū)域即圓環(huán)域：區(qū)域即圓環(huán)域：有公共收斂有公共收斂及及時，級數(shù)時，級數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) )()()(,)()3()2(020121zszszszzcRzzRRRnnn最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù).)()4(2010以以逐逐項項求求積積和和逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)和和函函數(shù)數(shù)是是解解析析的的而而且且可可內(nèi)內(nèi)的的在在級級數(shù)數(shù)RzzRzzcnnn A 02100)3(zzRR：，收收斂斂域域為為此此時時可可以以可可以以

33、。，發(fā)發(fā)散散處處處處稱稱時時當(dāng)當(dāng) nnnzzcRR)()1(021(2)(2)在圓環(huán)域的邊界在圓環(huán)域的邊界z - z0=R1, z - z0 =R2上上, , nnnzzc。點點收收斂斂，有有些些點點發(fā)發(fā)散散可可能能有有些些)(0最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)3. 函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)定理定理.) 5(), 2, 1, 0()()(21:)5()()(,:)(0100201的的任任何何一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)繞繞是是其其中中則則內(nèi)內(nèi)解解析析在在設(shè)設(shè)zDcndzzzzficzzczfRzzRDzfcnnnnn 級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的在在稱稱為為LaurentRzzRDzf201:)(

34、展展開開式式內(nèi)內(nèi)的的在在稱稱為為LaurentRzzRDzf201:)( 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)證明證明 由復(fù)連通域上的由復(fù)連通域上的Cauchy 積分公式：積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*)(21)(21)(12 dzfidzfizfkk 記為記為I1記為記為I2，時時，當(dāng)當(dāng)1002 zzzk ，時時，當(dāng)當(dāng)記記為為1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012 nnnnknnzzczzdzfiI 的的推推導(dǎo)導(dǎo)得得：重重復(fù)復(fù) 3最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)式式(*1),(*2)中系數(shù)中系數(shù)cn的積分分別是在的積分分別是在k2， k1上進上進行的，在行的，在D內(nèi)取繞內(nèi)取繞z

35、0的簡單閉曲線的簡單閉曲線c，由復(fù)合閉路，由復(fù)合閉路定理可將定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：寫成統(tǒng)一式子：), 2, 1, 0()()(2110 ndzficknn nnnzzczf)()(0證畢！證畢！級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)A .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的內(nèi)不是處處內(nèi)不是處處在在相同相同形式上與高階導(dǎo)數(shù)公式形式上與高階導(dǎo)數(shù)公式系數(shù)系數(shù)時時當(dāng)當(dāng)czfnzfccnnnn 但但 (2) (2)在許多實際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到在許多實際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f (z)在

36、奇點在奇點 z0的鄰域內(nèi)解析，需要把的鄰域內(nèi)解析，需要把f (z)展成級數(shù)，那么展成級數(shù)，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（ Laurent ）級數(shù)來展開。）級數(shù)來展開。級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)4. 展開式的唯一性展開式的唯一性結(jié)論結(jié)論 一個在某一一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是有正、負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f (z)的洛朗級數(shù)。的洛朗級數(shù)。事實上事實上，)6()()(:)(0201 n

37、nnzzazfRzzRDzf可可表表示示為為內(nèi)內(nèi)解解析析，在在設(shè)設(shè) nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的簡簡單單閉閉曲曲線線，內(nèi)內(nèi)任任何何一一條條繞繞為為設(shè)設(shè)0最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)的的正正向向積積分分得得：并并沿沿為為任任一一整整數(shù)數(shù)將將上上式式兩兩邊邊乘乘以以cPzP),()(110 Dz0R1R2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,級級數(shù)數(shù)就就是是展展開開成成級級數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)解解析析的的函函數(shù)數(shù)由由此此可可知知Laurent nnnzaf)()(0 最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)A 由唯一性，將函數(shù)展開

38、成由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)，可級數(shù)，可用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡便的方用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式，只有展開式，只有在個別情況下，才直接采用公式在個別情況下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系數(shù)的方法。數(shù)的方法。例例1解解展展開開成成洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)。在在求求 zzz0sin 012)!12()1(1sinnnnnzzzz z0 !5!31!5!314253zzzzzz最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù).03級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)展展開開成成在在將將Laurentzzez )! 21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例2解解例例3解解.01級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)展展成成在在將將Laurentzez nttntte!1! 2112在在復(fù)復(fù)平平面面上上， nznzzeztz!1!2111,121令令)0( z ! 4! 31! 211123nzzzzzn最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)例例4的的冪冪級級數(shù)數(shù)。內(nèi)內(nèi)展展開開成成（在在以以下下區(qū)區(qū)域域?qū)?2)(;21)(; 1)2)(1(1)(0 zziiiziizizzzfxyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo121) zi（最新復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)解解