分類討論思想

1、常用數(shù)學思想方法（常用數(shù)學思想方法（2 2） 分類討論思想分類討論思想第2講分類討論思想分類討論的思想是一種重要的數(shù)學思想方法，其基本思路是將一個較復雜的數(shù)學問題分解 (或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略分類討論思想可以優(yōu)化解題思路，降低問題難度w 1. 分類討論思想w 分類討論思想是將問題已知條件涉及的集合劃分為若干子集，在各個子集內(nèi)分別討論問題的局部解，然后通過組合各局部解而得到原問題的解答的思想方法。2分類討論的常見類型(1)由數(shù)學概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等；(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引

2、起的分類討論：有的數(shù)學定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等； (3)由數(shù)學運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等； (4)由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關系等； (5)由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法； (6)由實際意義引起的討論

3、：此類問題在應用題中，特別是在解決排列、組合中的計數(shù)問題時常用3分類討論的原則(1)不重不漏；(2)標準要統(tǒng)一，層次要分明；(3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論4解分類問題的步驟(1)確定分類討論的對象：即對哪個變量或參數(shù)進行分類討論；(2)對所討論的對象進行合理的分類；(3)逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決；(4)歸納總結：將各類情況總結歸納歸納總結：將各類情況總結歸納w 5.簡化分類討論的策略w 正難則反；換元法；數(shù)形結合等.w 6.什么情況下用分類討論思想w 當解答問題時不能很明確說明，即 說不清楚時就要進行分類討論。分類討論思想方法的應用 1、數(shù)學概念的分類方

4、法 數(shù)學中的許多概念是分類定義的，比如：直線的斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，與這些數(shù)學概念有關的問題往往需要根據(jù)數(shù)學概念進行分類、從而全面完整地解決問題 2、運算需要分類討論的類型 分類討論的許多問題是由運算的需要引發(fā)的，比如：除法運算中分母是否為 0；解方程、不等式中的恒等變形；用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性時導數(shù)正負的討論；對數(shù)運算中底數(shù)是否大于1；數(shù)列運算中對公差、公比限制條件的討論等，如果運算需要對不同情況作出解釋，就要進行分類討論 3、圖形變化引起分類討論的類型 一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對稱軸位置的變化；函數(shù)問題中區(qū)間的變化；函數(shù)圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；

5、圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；立體幾何中點、線、面的位置變化等答案答案C例題3.若函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_分析：把零點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題，作函數(shù)的圖象時，注意對參數(shù)a的討論解：設函數(shù)yax(a0且a1)和函數(shù)yxa，則函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個零點，就是函數(shù)yax(a0且a1)的圖象與函數(shù)yxa的圖象有兩個交點由圖象可知(圖略)，當0a1時，兩函數(shù)只有一個交點，不符合；當a1時，因為函數(shù)yax(a1)的圖象過點(0,1)，而直線yxa的圖象與y軸的交點一定在點(0,1)的上方，所以一定有兩個交

6、點，所以實數(shù)a的取值范圍是a1.答案a1答案B.aABA,01|B,023|A7.,121|B,52|A.6.522的值，求若集合已知集合例題的取值范圍試求實數(shù)且集合已知集合例題圓周角定理的證明例題aaxxxxxxmABAmxmxxx.1) 1(,.10.141 , 1-) 10( 12. 9.,4125, 0)6sin()(. 822范圍求恒為正，已知例題的值，求實數(shù)上的最大值為在區(qū)間且如果函數(shù)例題的值，求，最小值為最大值是上的在已知例題mmxmmxRxaaaaaybaxbaxfxx.1 , 0)(2;) 1 (., 0,)(.13.| , |PF|PF|149.12._20, 0.1122

7、12121222222上的最大值在區(qū)間）求函數(shù)（討論函數(shù)的單調(diào)性為自然對數(shù)的底數(shù)其中已知函數(shù)例題的值求點，且個頂是一個直角三角形的三、上一點，已知為橢圓的兩個焦點，設為橢圓例題倍，則是短軸的的長軸橢圓設常數(shù)例題xfeaexxfPFPFFFPPyxaayaxaax.|cot|cot|tan|tan|cos|cos|sin|sin.14的值域求函數(shù)例題xxxxxxxxy分析：(1)配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；(2)轉(zhuǎn)化為求g(x)在0,3上的值域問題練習3. 拋物線y24px(p0)的焦點為F，P為其上的一點，O為坐標原點，若OPF為等腰三角形，則這樣的P點的個數(shù)為A 2 B 3 C 4D6分析：

8、根據(jù)題意討論P點的位置，確定其滿足題設條件的個數(shù)答案答案C練習練習4 4有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是_解：根據(jù)條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為a的直鐵條要組成三棱錐形的鐵架，有以下兩種情況：(1)底面是邊長為2的正三角形，三條側棱長為2，a，a如圖(1)，(2)構成三棱錐的兩條對角線長為a，其他各邊長為2，如圖(2)，此時a0且a4，即0a4.綜上分析可知a(0,4)答案(0,4)圖(1)圖(2)練習5. 等比數(shù)列an中，a37，前3項之和S321，則公比q的值為_練習6. 已知a0，命題p：函數(shù)ya

9、x(a1)在R上單調(diào)遞減，命題q：不等式|x2a|x1的解集為R，若p和q有且只有一個是真命題，則a的取值范圍是_w人生的滿分 -潘西文人生中什么才是最重要的呢？勤奮 知識 運氣 愛 金錢w A B C D E F Gw 1 2 3 4 5 6 7w H I J K L M Nw 8 9 10 11 12 13 14w O P Q R S Tw 15 16 17 18 19 20w U V W X Y Zw 21 22 23 24 25 26勤奮wHardworkw8+1+18+4+23+15+18+11=98知識wKnowledgew11+14+15+23+12+5+4+7+5=96運氣wL

10、uckw12+21+3+11=47愛wLovew12+15+22+5=54金錢wMoneyw13+15+14+5+25=72態(tài)度wAttitudew1+20+20+9+20+21+4+5=100w 不一樣的態(tài)度造就不一樣的人生。很多時候人們都期望生活能獲得更好的變化，當我們開始改變自己的態(tài)度時，這種變化就會發(fā)生。w 當你對他人采取更友善的態(tài)度，就會覺得人們變得更加親切；當你對挫折采取更積極的態(tài)度，就會發(fā)現(xiàn)原來在損失之外還有很大的收獲 改變態(tài)度， 你的人生就能獲得滿分！一位美國圣公會的主教曾這樣寫道w 年輕時浮想聯(lián)翩，w 立志要改變世界；w 當我長大明事理，w 現(xiàn)實把理想破滅。w 于是我縮小目標

11、，w 改變國家就很好。w 但是看來，w 國家也難撼動分毫w 當我步入暮年，w 改變家庭是我愿。w 可親人卻不肯，w 聽從我任何意見。w 現(xiàn)在走向墳墓，w 我方初次領悟。w 只有先改變自己，w 才能帶動家庭進步。w 有了他們的幫助，w 興許能讓國家走改革之路。w 誰知道，這改革之風，w 不會吹遍世界各個過度？我的人行道有個洞w 一w 我走在大街上。w 有個深洞在人行道旁，w 我掉進了深洞。w 我迷失。我彷徨，w 這不是我的錯。w 我花很長時間才回到地面上。w 二w 我走在大街上。w 有個深洞在人行道旁，w 我沒看見-我假裝。w 我再次掉進了深洞。w 我無法相信竟到達同一個地方，w 但這不是我的錯。w 我仍然花了很長時間才回到地面上。w 三w 我走在大街上。w 有個深洞在人行道旁，w 我看見它在那里。