最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

1、-作者xxxx-日期xxxx最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)【精品文檔】第五講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)【知識導(dǎo)引】一、約數(shù)的概念與最大公約數(shù) 約數(shù)又叫因數(shù)(在正整數(shù)范圍內(nèi)）整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。最大公約數(shù):如果一個數(shù)既是數(shù)a的約數(shù)，又是數(shù)b的約數(shù)，稱為a,b的約數(shù)。幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù),其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。1. 求最大公約數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。例如：，所以；短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘。例如：，所以；輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。用輾

2、轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止。那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)(如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的)。例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；所以1515和600的最大公約數(shù)是15。2. 最大公約數(shù)的性質(zhì) 幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以。3. 求一組分

3、數(shù)的最大公約數(shù) 先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，其他分數(shù)不變；求出各個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個分數(shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求。二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)對于整數(shù)m，能被n整除（n/m）,那么m就是n的倍數(shù)。如15能夠被3或5整除，我們就說15是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)。幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。1. 求最小公倍數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)法求最小公倍數(shù)例如：，所以；短除法求最小公倍數(shù)例如： ，所以；公式法：2. 最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積。兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)

4、是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。3. 求一組分數(shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；求出各個分數(shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個分數(shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求。例如： 注意：兩個最簡分數(shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù)。例如：三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1. 兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果為、的最大公約數(shù)，且，那么互質(zhì)，所以、的最小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：，即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；最大公約數(shù)是、及最小公倍數(shù)的約數(shù)。2. 兩個數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積，即。3.

5、對于任意3個連續(xù)的自然數(shù)，如果三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為：奇偶奇，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)，例如：，210就是567的最小公倍數(shù)。偶奇偶，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍，例如：，而6,7,8的最小公倍數(shù)為幾個數(shù)最小公倍數(shù)一定不會比他們的乘積大?！纠}解析】【A組基礎(chǔ)夯實】例1 兩個數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少？解：由ab=a，b（a，b）可得：另一個數(shù)為，252428=36答：另一個數(shù)是36。例2 求437與323最大公約數(shù)是多少？解：運用輾轉(zhuǎn)相除法：437323=1114；323114=295；11495=119,951

6、9=5， 那么（437,323）=19答：437與323的最大公約數(shù)是19。例3 已知兩個數(shù)的最大公約數(shù)是20，最小公倍數(shù)560，符合條件的兩個數(shù)中差最小的兩個數(shù)各是多少？解：由題意可得：56020=28=128=47，顯然4與7之間差最小，207=140,204=80答：符合條件的兩個數(shù)中差最小的數(shù)是80和140。例4 有336個蘋果，252個桔子，210個梨，用這些水果最多可以分成多少份同樣的禮物？在每份禮物中，三樣水果各多少？ 解：最多可以分成（份） 每份中有蘋果33642=8（個） 每份中有桔子25242=6（個） 每份中有梨21042=5（個）答：最多可以分成42份，每份中有蘋果8個

7、，有桔子6個，有梨5個?！綛組能力提升】例1 已知兩個自然數(shù)的差為2，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)之間差為142，求這兩個自然數(shù)。解：由題意可得：兩個自然數(shù)的差為2的自然數(shù)的最大公約數(shù)只有兩種可能：一個為1，一個為2 （1）當(dāng)兩個數(shù)互質(zhì)時，1（1+142）=1143=1113； （2）當(dāng)兩個自然數(shù)最大公約數(shù)為2時，2（142+2）=2144=1618， 所以這兩個自然數(shù)是11和13或者16和18。答：略。例2 已知兩個自然數(shù)的和是60，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和是84，求這兩個自然數(shù)。 例3 把一張長1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，而沒有剩余，問：能裁成最大的

8、正方形紙塊的邊長是多少？共可裁成幾塊？解：要把一張長方形的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，還不能有剩余，這個正方形紙塊的邊長應(yīng)該是長方形的長和寬的公約數(shù)。由于題目要求的是最大的正方形紙塊，所以正方形紙塊的邊長是長方形的長和寬的最大公約數(shù)，1米3分米5厘米135厘米，1米5厘米105厘米，正方形的邊長為，長方形紙塊的面積為 (平方厘米)，正方形紙塊的面積為 (平方厘米)，共可裁成正方形紙塊 （塊）。答：正方形的邊長是15厘米，一共可以裁成63塊。例4 兩個自然數(shù)的和是50，它們的最大公約數(shù)是5，試求這兩個數(shù)的差。解：設(shè)這兩個自然數(shù)為：，其中與互質(zhì)，則有，所以a=9，b=1或a=7，b=3，所以這兩個

9、兩個自然數(shù)為59=45，51=5或57=35，53=15。它們的差分別是：45540，351520答：所求這兩個數(shù)的差是40或者20。例5 大雪后的一天，小明和爸爸同時步測一個圓形花圃的周長，他倆的起點和步行方向完全相同，小明每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，由于兩人腳印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60個腳印，求圓形花圃的周長。 解：兩人從起點出發(fā)到第一次腳印重合所走的路程是相同的，是兩人步長的最小公倍數(shù)，為厘米，在216厘米里，兩人留下的腳印數(shù)分別是： (個)， (個),由于兩人有1個腳印重合，所以實際上只有 (個)腳印。，即走完全程共重合10次，因此，花圃周長為： (厘米)答：

10、花圃周長是2160厘米?！玖?xí)題精選】【A組基礎(chǔ)夯實】1. 用短除法求120、48和56的最小公倍數(shù)； 用分解質(zhì)因數(shù)法求35、98、112的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。2. 已知a=44，b=12，c=82，求（a，b，c）和a，b，c。3. 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是504，如果其中一個數(shù)是42，那么另一個數(shù)是 。4. 8路車每隔8分鐘發(fā)一次車，12路每隔6分鐘發(fā)一次車，在某一時刻這兩路車同時從一個車站發(fā)車，至少再過_分鐘這兩路車才又同時發(fā)車。5. 甲數(shù)是36，甲、乙兩數(shù)最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，那么乙數(shù)是_。6. 四個連續(xù)自然數(shù)的和等于54，那么這四個連續(xù)自然數(shù)的最小公倍

11、數(shù)是 。7. 一個房間長450厘米，寬330厘米。現(xiàn)計劃用方磚鋪地，需要用邊長最大為_厘米的方磚 塊(整塊)，才能正好把房間地面鋪滿。8. 教師節(jié)那天，某校工會買了320個蘋果、240個桔子、200個鴨梨，用來慰問退休的教職工，問用這些果品，最多可以分成_份同樣的禮物(同樣的禮物指的是每份禮物中蘋果、桔子、鴨梨的個數(shù)彼此相等)。在每份禮物中，蘋果有_個，桔子有_個，鴨梨有_個。9. 三個質(zhì)數(shù)的和是62，這三個質(zhì)數(shù)的積是_。10. 一包糖，平均分給2人，3人，4人，或5人，正好都余一塊，這包糖至少有_塊。 【B組能力提升】1. 有三根繩子，第一根長12米，第二根長18米，第三根長24米，現(xiàn)在要把它們剪成同樣長的小段，每段最長_米。2. 有一批樹苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，這批樹苗在150200之間。共有_棵樹苗。3. 同學(xué)們訓(xùn)練廣播操，每行8人、10人、15人，都能正好排成整行，并且沒有多余的學(xué)生，至少有_人參加了廣播操訓(xùn)練。4. 已知兩個自然數(shù)的積為240，最小公倍數(shù)為60，這兩個數(shù)為_。5. 已知兩數(shù)的最大公約數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126，這兩個數(shù)的和是_。 6. 一個