垂徑定理課件PPT

1、趙州石拱橋 1300 1300多年前多年前, ,我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋( (如圖如圖) )的橋拱是的橋拱是圓弧形圓弧形, ,它的它的跨度跨度( (弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)) )為為37.4m,37.4m,拱高拱高( (弧的中弧的中點(diǎn)到弦的距離點(diǎn)到弦的距離, ,也叫弓形高也叫弓形高) )為為7.2m,7.2m,求橋拱的半徑求橋拱的半徑( (精確到精確到0.1m).0.1m).垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑 （垂徑定理）（垂徑定理） 實(shí)踐探究實(shí)踐探究把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)

2、了什么？由此你能得到什么結(jié)論？么結(jié)論？判斷：任意一條直徑都是圓的對(duì)稱軸（判斷：任意一條直徑都是圓的對(duì)稱軸（ ）x如圖，如圖，ab是是 o的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑cd，使，使cdab，垂足為，垂足為e（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和?。繛槭裁?？oabcde思考思考（1）是軸對(duì)稱圖形直徑）是軸對(duì)稱圖形直徑cd所在的所在的直線是它的對(duì)稱軸直線是它的對(duì)稱軸（2） 線段：線段： ae=be?。海。?，caebo.d總結(jié)：總結(jié)：垂徑定理：垂徑定

3、理：垂直于弦的直徑平分弦，垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦對(duì)的兩條弧。并且平分弦對(duì)的兩條弧。cd為為 o的直徑的直徑cdab 條件條件結(jié)論結(jié)論應(yīng)用垂徑定理的書(shū)寫(xiě)步驟l定理定理 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧.oabcdmcdab, cd是直徑是直徑,am=bm, ac =bc, ad =bd.引申定理引申定理l定理中的定理中的徑徑可以是可以是直徑、半徑、弦心距等過(guò)直徑、半徑、弦心距等過(guò)圓心的直線或線段圓心的直線或線段。從而得到垂徑定理的變。從而得到垂徑定理的變式：式：l一條直線具有：一條直線具有： 平分弦平分弦 經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心垂直于弦垂

4、直于弦可推得可推得 平分弦所對(duì)的劣平分弦所對(duì)的劣（優(yōu)）弧（優(yōu)）弧e eo oa ab bd dc ce ea ab bc cd de eo oa ab bd dc ce eo oa ab bc ce eo oc cd da ab b 練習(xí)練習(xí)1o ob ba ae ed在下列圖形，符合垂徑定理的條件嗎？在下列圖形，符合垂徑定理的條件嗎？o oedcoabobcaddobcaobacdobac判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？ocdbaocdbaocdbaocde注意：定理中的兩個(gè)條件注意：定理中的兩個(gè)條件（直徑，垂直于弦）（直徑，垂直于弦）缺一缺一不可！不可！ a

5、bcdeabdc條件條件cdcd為直徑為直徑結(jié)論結(jié)論ac=bcad=bdcdabcdabcdabcdabae=be平分弦平分弦 的直徑垂直于弦，并且平分的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦所對(duì)的兩條弧（不是直徑不是直徑）垂徑定理的推論垂徑定理的推論1:1:cdabcdab嗎？嗎？(e)(e)“知二推三知二推三” (1)垂直于弦垂直于弦 (2)過(guò)圓心過(guò)圓心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 (5)平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧注意注意: :當(dāng)具備了當(dāng)具備了(1)(3)(1)(3)時(shí)時(shí), ,應(yīng)對(duì)另一應(yīng)對(duì)另一 條弦增加條弦增加”不是直徑不是直徑”的限制的限制. .n你

6、可以寫(xiě)出相應(yīng)的命題嗎你可以寫(xiě)出相應(yīng)的命題嗎?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂徑定理的推論 l如圖如圖,在下列五個(gè)條件中在下列五個(gè)條件中:只要具備其中兩個(gè)條件只要具備其中兩個(gè)條件,就可推出其余三個(gè)結(jié)論就可推出其余三個(gè)結(jié)論.oabcdm cd是直徑是直徑, am=bm, cdab, ac=bc,ad=bd.垂徑定理及推論oabcdm垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對(duì)的兩條弧分弦所對(duì)的兩條弧.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦垂直平分弦

7、,并且平分弦所對(duì)的并且平分弦所對(duì)的另一條弧另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,并且平并且平分弦和所對(duì)的另一條弧分弦和所對(duì)的另一條弧.平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧并且平分弦所對(duì)的另一條弧.平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.一、判斷是非：一、判斷是非：（1）平分弦的直徑，平分

8、這條弦所對(duì)的弧。）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧。（2）平分弦的直線，必定過(guò)圓心。）平分弦的直線，必定過(guò)圓心。（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），）一條直線平分弦（這條弦不是直徑）， 那么這那么這 條直線垂直這條弦。條直線垂直這條弦。abcdo(1)abcdo(2)abcdo(3)(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5）平分弧的直線，平分這條弧所對(duì)的）平分弧的直線，平分這條弧所對(duì)的 弦。弦。（6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。abco(4)abcdo(5)abcdo(6)e（7）平分弦的直徑垂直于弦）平分弦的直徑垂直

9、于弦弦心距弦心距：過(guò)一個(gè)圓的圓心作弦的垂線：過(guò)一個(gè)圓的圓心作弦的垂線,圓心與垂足之間圓心與垂足之間的距離叫做弦心距的距離叫做弦心距2obac如圖：圓o中，ab是圓o中的一條弦，其中ocab圓心到弦的距離用d表示，半徑用r表示，弦長(zhǎng)用a表示，則d，r，a之間滿足什么樣的關(guān)系呢？2222adrcm32cm32 8cm1 1半徑半徑為為4cm4cm的的oo中，弦中，弦ab=4cmab=4cm, , 那么圓心那么圓心o o到弦到弦abab的距離是的距離是 。2 2oo的的直徑直徑為為10cm10cm，圓心，圓心o o到弦到弦abab的的 距離為距離為3cm3cm，則弦，則弦abab的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是 。3

10、3半徑半徑為為2cm2cm的圓中，過(guò)半徑中點(diǎn)且的圓中，過(guò)半徑中點(diǎn)且 垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是 。 練習(xí)練習(xí) 1a ab bo oe ea ab bo oe eo oa ab be e垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用1.1.如圖如圖, ,在在oo中中, ,弦弦abab的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm,8cm,圓心到圓心到abab的距離為的距離為3cm,3cm,則則oo的半徑為的半徑為 . . 練習(xí)練習(xí) 2：aboc5cm342.2.弓形的弦長(zhǎng)弓形的弦長(zhǎng)abab為為24cm24cm，弓形的高，弓形的高cdcd為為8cm8cm，則這弓形所在圓的半徑為，則這弓形所在圓的半徑為. . 13cm d c

11、 a b o(1)(1)題題(2)(2)題題128方法歸納方法歸納: : 解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常連接半徑連接半徑；過(guò)圓心作一條與弦垂直的線段過(guò)圓心作一條與弦垂直的線段等輔助線，為等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。 垂徑定理經(jīng)常和勾股定理結(jié)合使用。垂徑定理經(jīng)常和勾股定理結(jié)合使用。e.acdbo.abol3、如圖，、如圖，p為為 o的弦的弦ba延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，paab2，po5，求，求 o的半徑。的半徑。關(guān)于弦的問(wèn)題，常常需關(guān)于弦的問(wèn)題，常常需要要過(guò)圓心作弦心距過(guò)圓心作弦心距，這，這是一條非常重要的是一條非常重要的輔助輔助線線。弦心距、半

12、徑、半弦長(zhǎng)弦心距、半徑、半弦長(zhǎng)構(gòu)成構(gòu)成直角三角形直角三角形，便將，便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題。的問(wèn)題。mapboa解：如圖，設(shè)半徑為解：如圖，設(shè)半徑為r，abad21, 7 .184 .3721dcocod. 2 . 7 r在在taodtaod中，中，由勾股定理，得由勾股定理，得,222odadoa.)2 . 7(7 .18222rr即解得解得 r27.9（m）.答：趙州橋的主橋拱半徑約為答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.oabcd37.47.2趙州橋主橋拱的趙州橋主橋拱的跨度跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為為37.4m, 拱高拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離弧的中點(diǎn)

13、到弦的距離)為為7.2m，你能求出趙州橋，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？主橋拱的半徑嗎？ab=37.4,cd=7.2r r18.7r-7.2r-7.2再逛趙州石拱橋再逛趙州石拱橋1如圖，在如圖，在 o中，弦中，弦ab的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm，圓心，圓心o到到ab的距離為的距離為3cm，求，求 o的半徑的半徑oabe練習(xí)練習(xí)解：解：oeab222aooeae2222= 3 +4 =5cmaooeae答：答： o的半徑為的半徑為5cm.活活 動(dòng)動(dòng) 三三118422aeab 在rtaoe中變式：變式：圖中兩圓為同心圓圖中兩圓為同心圓變式變式3：隱去（變式：隱去（變式1）中的大圓，得）中的大圓，得右圖連接右

14、圖連接oa，ob，設(shè)，設(shè)oa=ob，ac、bd有什么關(guān)系？為什么？有什么關(guān)系？為什么？ d c o a b變式變式4：隱去（變式：隱去（變式1）中的大）中的大圓，得右圖，連接圓，得右圖，連接oc，od，設(shè)，設(shè)oc=od，ac、bd有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？為什么？為什么？ d c o a b變式變式1 1：acac與與bdbd有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ d c o a b變式變式2 2：acbd依然成立嗎依然成立嗎 n m d c o a b2如圖，在如圖，在 o中，中，ab、ac為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，odab于于d，oeac于于e，求證四邊形，求證四邊形adoe是正

15、方形是正方形doabce證明：證明： oeac odab abac90 90 90oeaeadoda四邊形四邊形adoe為矩形，為矩形，又又ac=ab11 22aeac adab， ae=ad 四邊形四邊形adoe為正方形為正方形. oeac odabe已知：如圖，在以已知：如圖，在以o為圓為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦弦ab交小圓于交小圓于c，d兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。求證：求證：acbd。.acdbo圖圖2 5cm已知已知p為為 o內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn),且且op=2cm,如果如果 o的半徑是的半徑是3cm,那么過(guò)那么過(guò)p點(diǎn)的最短的弦等于點(diǎn)的最短的弦等于_小小 結(jié)結(jié)直徑平分弦直徑平分弦

16、直徑垂直于弦直徑垂直于弦=直徑平分弦所對(duì)的弧直徑平分弦所對(duì)的弧 直徑垂直于弦直徑垂直于弦 直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦所對(duì)的弧直徑平分弦所對(duì)的弧 直徑平分弧所對(duì)的弦直徑平分弧所對(duì)的弦 直徑平分弧直徑平分弧 直徑垂直于弧所對(duì)的弦直徑垂直于弧所對(duì)的弦=、圓的軸對(duì)稱性、圓的軸對(duì)稱性、垂徑定理及其推論的圖式e小結(jié)小結(jié): : 解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的垂線過(guò)圓心作弦的垂線，或，或作垂直于弦的直徑作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。理創(chuàng)造條件。.cdabomne.acdbo.abo別忘記還有我喲！別忘記還有我喲！1、教材、教材88頁(yè)習(xí)題頁(yè)習(xí)題24.1 第第8題；題；2、教輔書(shū)、教輔書(shū)48-51頁(yè)頁(yè)作業(yè)：作業(yè)：1.1.過(guò)過(guò)oo內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)m m的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為1010, ,最短弦長(zhǎng)為最短弦長(zhǎng)為8 8, ,那么那么oo的半徑是的半徑是2.2.已知已知oo的弦的弦ab=6ab=6, ,直徑