余弦定理的推導(dǎo)方法

1、cbacab思考思考： 在在abcabc中，已知中，已知cb=cb=a,ca=b,ca=b，cbcb與與ca ca 的夾角為的夾角為c c， 求邊求邊c.c.cabbcaacb,設(shè)設(shè))()(babaccc2babbaa2cabbacos222cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得cbabacos222bac2.（1 1）向量法）向量法cbacababccbacos2222)()(babaccc2babbaa2cabbacos222cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得cbabacos222bac思考思考： 若若abcabc

2、為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角c c， bc=bc=a,ca=b,ca=b,求求ab ab 邊邊 c.c.cabbcaacb,設(shè)設(shè)cbacabbaccabcos2222余弦定理余弦定理abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2cabbacos222cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得cbabacos222思考思考： 若若abcabc為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角c c， bc=bc=a,ca=b,ca=b,求求ab ab 邊邊 c.c.cabbcaacb,設(shè)設(shè)baccabbaccos2222abccbacos222

3、2baccabcos2222 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。倍。c cb ba ab bac cbaaccb證明：以證明：以cb所在的直線為所在的直線為x軸，過軸，過c點(diǎn)垂直于點(diǎn)垂直于cb的直線的直線為為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則系，則a、b、c三點(diǎn)的坐標(biāo)三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：分別為：( cos, sin)a bc bcxy( ,0)b a(0,0)c（2）解析法）解析法222)0sin()cos(cbacbabcbacabcb22222sincos2

4、coscabbacos2222222coscababc abcabcd當(dāng)角當(dāng)角c為銳角時(shí)為銳角時(shí)（3）幾何法）幾何法baaccbd當(dāng)角當(dāng)角c為鈍角時(shí)為鈍角時(shí)cbaabc 余弦定理作為勾股定理的推余弦定理作為勾股定理的推廣，考慮借助勾股定理來證明廣，考慮借助勾股定理來證明余弦定理。余弦定理。證明：在三角形證明：在三角形abc中，已知中，已知ab=c,ac=b和和a, 作作cdab，則，則cd=bsina,bd=c-bcosaabccba222cdbda22( sin )(cos )bac ba222222coscossinaabcacbb222cosbcacb同理有：同理有：2222cosacbacb2222cosabccabdcabbaccos2222abccba