2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)與解三角形第5節(jié)函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖象及應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版

1、第五節(jié)函數(shù)yasin(x)的圖象及應(yīng)用一、教材概念結(jié)論性質(zhì)重現(xiàn)1函數(shù)yasin(x)的有關(guān)概念yasin(x)(a0，0)振幅周期頻率相位初相atf x2.用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)yasin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)yasin(x)(a0，0)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：x02xyasin(x)0a0a0用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，相鄰兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的距離都是周期的.3由函數(shù)ysin x的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)asin(x)(a0，0)的圖象的兩種方法先平移變換(左右平移)再周期變換(伸縮變換)，左右平移的量是|個(gè)單位長(zhǎng)度，而先周期變換(伸縮變換)再平移變換(左右平移)

2、，左右平移的量是個(gè)單位長(zhǎng)度4明確以下兩個(gè)關(guān)系(1)函數(shù)的周期與圖象的對(duì)稱性之間的關(guān)系正弦曲線或余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是周期正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是周期(2)對(duì)稱軸(對(duì)稱中心)與函數(shù)值的關(guān)系在判斷對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，用以下結(jié)論可快速解題：設(shè)yf (x)asin(x)，g(x)acos(x)，xx0是對(duì)稱軸方程f (x0)a，g(x0)a；(x0,0)是對(duì)稱中心f (x0)0，g(x0)0.二、基本技能思想活動(dòng)體驗(yàn)1判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”(1)將ysin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)sin的圖象(

3、)(2)函數(shù)f (x)asin(x)(a0)的最大值為a，最小值為a()(3)若函數(shù)yasin(x)為偶函數(shù)，則k(kz)()(4)函數(shù)yacos(x)的最小正周期為t，那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為.()2已知函數(shù)f (x)2sin的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，則該函數(shù)的最小正周期t和初相分別為()a6，b6，c6，d6，a解析：由已知得2sin 1，所以sin .又|，故.因此f (x)2sin，且t6.3為了得到y(tǒng)3cos的圖象，只要把y3cos的圖象上所有點(diǎn)的()a縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，橫坐標(biāo)不變b橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變c縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，橫坐標(biāo)不變d橫坐標(biāo)縮短到

4、原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變d解析：y3cos圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，可得到y(tǒng)3cos的圖象4函數(shù)yasin(x)(a，為常數(shù)，a0，0)在閉區(qū)間，0上的圖象如圖所示，則_.3解析：觀察函數(shù)圖象可得周期t，故t，所以3.考點(diǎn)1由圖象確定yasin(x)的解析式基礎(chǔ)性1函數(shù)yasin(x)b在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，則函數(shù)的解析式為()ay2sin1 by2sin1cy2sin1 dy2sin1d解析：結(jié)合函數(shù)yasin(x)b在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，可得a2，b1，所以2.再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得20，解得，故函數(shù)的解析式為y2sin1.故選d2已知函數(shù)f (x)atan(x)，yf (x

5、)的部分圖象如圖，則f ()a2b cd2b解析：由圖象可知，t2，所以2，所以f (x)atan(2x)因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，所以0atan.又|，所以.又f (0)1，所以atan 1，解得a1，所以f (x)tan，所以f tantan .3函數(shù)f (x)cos(x)的部分圖象如圖所示，則f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()a，kz b，kzc，kz d，kzd解析：由圖象知，周期t22，所以2，所以.由2k，得2k，kz.不妨取，所以f (x)cos.由2kx2k，kz，得2kx2k，kz，所以f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kz.故選d由圖象確定函數(shù)yasin(x)b(a0，0)的解析式的步驟(1)求

6、a，b，確定函數(shù)的最大值m和最小值m，則a，b.(2)求，確定函數(shù)的周期t，則.(3)求，常用方法有：代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在遞增區(qū)間上還是在遞減區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)(最低點(diǎn))的坐標(biāo)代入五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口考點(diǎn)2函數(shù)yasin(x)的圖象變換綜合性將函數(shù)f (x)2sin的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為()ay2sinby2sincy2sindy2sind解析：由函數(shù)f (x)2sin得周期t.將函數(shù)f (x)2sin的圖象向右平移個(gè)周期，即為函數(shù)f (x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得yf 2sin2s

7、in.本例條件不變，將函數(shù)f (x)的圖象平移后所得圖象再向右平移(0)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)g(x)的圖象若yg(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為_(kāi)解析：由y2sin得g(x)2sin.又yg(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則2k，kz，所以.又0，所以k，即當(dāng)k1時(shí)，min.三角函數(shù)圖象平移變換問(wèn)題的關(guān)鍵及解題策略(1)確定函數(shù)ysin x經(jīng)過(guò)平移變換后圖象對(duì)應(yīng)的解析式，關(guān)鍵是明確左右平移的方向，即按“左加右減”的原則進(jìn)行(2)已知兩個(gè)函數(shù)解析式判斷其圖象間的平移關(guān)系時(shí)，首先要將解析式化為同名三角函數(shù)形式，然后再確定平移方向和單位1(2020威海一模)已知函數(shù)f (x)sin(x)(0，|)的

8、最小正周期為，且其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)cos x的圖象，則()abcdd解析：因?yàn)閒 (x)sin(x)的最小正周期為，所以，2.將f (x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(x)sinsincos 2x的圖象，所以2k，kz，即2k，kz.因?yàn)?)若該港口在該天0時(shí)至24時(shí)內(nèi)，有且只有3個(gè)時(shí)刻水深為3米，則該港口該天水最深的時(shí)刻不可能為()a16時(shí)b17時(shí)c18時(shí)d19時(shí)d解析：由題意知，x0時(shí)，y0.5sin 3.243.49.由五點(diǎn)法作圖知，如果當(dāng)x16時(shí)，函數(shù)取得最小值，則16，得，此時(shí)函數(shù)y0.5sin3.24，函數(shù)的周期為t14.該港口在該天0時(shí)至24時(shí)內(nèi)，有且只

9、有3個(gè)時(shí)刻水深為3米如果當(dāng)x19時(shí)，函數(shù)取得最小值，則19，得.此時(shí)函數(shù)y0.5sin3.24，函數(shù)的周期為t，x24時(shí)，y0.5sin3.243，如圖：該港口在該天0時(shí)至24時(shí)內(nèi)，有且只有2個(gè)時(shí)刻的水深為3米故選d三角函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中的兩種類型及其解題策略(1)已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(2)把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，其關(guān)鍵是建模1據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7 000元的基礎(chǔ)上，按月呈f (x)asin(x)b的模型波動(dòng)(x為月份)已知3月份達(dá)到

10、最高價(jià)9 000元，9月份價(jià)格最低為5 000元，則7月份的出廠價(jià)格為_(kāi)元6 000解析：作出函數(shù)簡(jiǎn)圖由題意知，a2 000，b7 000，t2(93)12，所以.將(3,9 000)看成函數(shù)圖象的第二個(gè)特殊點(diǎn)，則有3，所以0，故f (x)2 000sin x7 000(1x12，xn*)所以f (7)2 000sin 7 0006 000.故7月份的出廠價(jià)格為6 000元2某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)yaacos(x1,2,3，12)來(lái)表示已知6月份的平均氣溫最高，為28 ，12月份的平均氣溫最低，為18 ，則10月份的平均氣溫為_(kāi).205解析：依題意知，a2

11、3，a5，所以y235cos.當(dāng)x10時(shí)，y235cos20.5.3(2021海淀高三期中)唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)如圖，某槳輪船的輪子的半徑為3 m，它以1 rad/s的角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)輪子外邊沿有一點(diǎn)p，點(diǎn)p到船底的距離是h(單位：m)，輪子旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t(單位：s)當(dāng)t0時(shí)，點(diǎn)p在輪子的最高點(diǎn)處. (1)當(dāng)點(diǎn)p第一次入水時(shí)，t_；(2)當(dāng)tt0時(shí)，函數(shù)h(t)的瞬時(shí)變化率取得最大值，則t0的最小值是_解析：(1)當(dāng)t0時(shí)，點(diǎn)p在輪子最高點(diǎn)處由圖可知，輪子距離船底1 m，半徑3 m，則hrcos t1r3cos t4，t0.當(dāng)點(diǎn)p第一次入水時(shí)

12、，水面高2.5 m，即h2.5.代入h3cos t4得，cos t.第一次入水，即在滿足cos t的情況下滿足條件t0后可取的最小值，t.(2)瞬時(shí)變化率取得最大值，即|h(t)|最大，h(t)3sin t當(dāng)3sin t3時(shí)，瞬時(shí)變化率取得最大值此時(shí)，t0的最小值為.考點(diǎn)4三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問(wèn)題綜合性已知函數(shù)f (x)2sin(x)的部分圖象如圖所示若f (0)，且8，b，c分別為最高點(diǎn)與最低點(diǎn)(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若將f (x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解：(1)由f (0)，得2sin ，即sin .

13、又因?yàn)閨0)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)f (x)，已知f (x)在0,2上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()af (x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱bf (x)在(0,2)上只有3個(gè)極大值點(diǎn)，f (x)在(0,2)上只有2個(gè)極小值點(diǎn)cf (x)在(0,2)上單調(diào)遞增d的取值范圍是d解析：函數(shù)g(x)sin x(0)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)f (x)sin的圖象已知f (x)在0,2上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x0,2時(shí)，x，所以25，6)，所以，故d正確因此只有滿足x，的x是f (x)在(0,2)上的極大值點(diǎn)，共3個(gè)；只有滿足x，的x是f (x)在(0,2)上的極小值點(diǎn)，但當(dāng)接近時(shí)，x0)個(gè)單位長(zhǎng)度

14、后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是()a b c d四字程序讀想算思求m的最小值1.解析式如何變形？2.平移變換的規(guī)則是什么？3.圖象關(guān)于y軸對(duì)稱說(shuō)明了什么？1.三角恒等變換；2.圖象的對(duì)稱軸方程轉(zhuǎn)化與化歸向左平移，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱1.輔助角公式；2.左加右減；3.在x0處取得最值y2sin或y2cos1.平移變換前后，解析式之間的關(guān)系；2.正弦(或余弦)型函數(shù)圖象的對(duì)稱性思路參考：構(gòu)造正弦型函數(shù)的解析式b解析：ycos xsin x2sin，函數(shù)的圖象向左平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得y2sin.由xmk(kz)，得函數(shù)y2sin的圖象的對(duì)稱軸為xmk(kz)因?yàn)樗玫膱D象關(guān)于y軸對(duì)

15、稱，所以mk0(kz)，即mk(kz)，則m的最小值為.思路參考：構(gòu)造余弦型函數(shù)的解析式b解析：ycos xsin x2cos，向左平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)2cos.因?yàn)榇撕瘮?shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以y2cos為偶函數(shù)，易知m的最小值為.思路參考：根據(jù)圖象對(duì)稱軸與函數(shù)最值的關(guān)系b解析：由解法1，得y2sin.因?yàn)樗玫膱D象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得f (0)2，進(jìn)而sin1，易知m的最小值為.思路參考：利用函數(shù)圖象b解析：ycos xsin x2sin，可得此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為xk(kz)，可知離y軸最近的對(duì)稱軸為x和x.由圖象向左平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于y軸對(duì)稱，易知m的最小值為.1本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本解題方法是依據(jù)在對(duì)稱軸處函數(shù)值或函數(shù)的奇偶性列方程或利用圖象重在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)通解通法2基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要提升運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力，體現(xiàn)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)3