高三數(shù)學(xué)數(shù)列部分復(fù)習(xí)專題二

1、高三數(shù)學(xué)數(shù)列部分復(fù)習(xí)專題(二)一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 數(shù)列部分復(fù)習(xí)專題（二）二. 教學(xué)目的： 1. 數(shù)列部分方法與技巧解析 2. 數(shù)列部分易錯(cuò)題剖析三. 知識(shí)分析（一）方法技巧 方法一：通項(xiàng)常見(jiàn)的求法。 1. 觀察法 例1. 寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)： （1），； （2），； （3），； （4）7，77，777，7777，； （5）1，3，6，10，15，； （6）a，b，a，b，。 解析：（1）這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，分子為偶數(shù)列，而分母為，是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積，故所求數(shù)列通項(xiàng)公式為： （2）數(shù)列的前5項(xiàng)可改寫(xiě)為： 由于數(shù)列的各項(xiàng)間正負(fù)互相間隔，應(yīng)有調(diào)節(jié)符號(hào)作用的數(shù)列，分

2、子構(gòu)成規(guī)律為，分母也為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積。 （3）原數(shù)列直接寫(xiě)不能看出通項(xiàng)公式，但改寫(xiě)之后，分母依次為1，2，3，4，分子為1，0，-1，0，呈周期性變化，可以用表示，當(dāng)然也可以用表示。 （4）先研究數(shù)列9，99，999，9999， 數(shù)列中的每一項(xiàng)均可以看作是10的若干次冪與1的差，則通項(xiàng)為 該數(shù)列的通項(xiàng)應(yīng)為 其實(shí)這是一個(gè)規(guī)律性的問(wèn)題：如數(shù)列2，22，222，2222，的通項(xiàng)公式應(yīng)為等等。 （5）由觀察可知， 此題亦可這樣考慮： ， 以上個(gè)式子左邊相加為 又 （6）這是擺動(dòng)數(shù)列。要尋找擺動(dòng)平衡位置與擺動(dòng)的振幅。平衡位置：，振幅：，用去調(diào)節(jié)，則所求數(shù)列的通項(xiàng)公式 也可以用分段函數(shù)形式來(lái)表示 2.

3、累差法 例2. 已知數(shù)列的前幾項(xiàng)依次是：6，9，14，21，30，求其通項(xiàng)公式。 解析：設(shè)，則有 ， 以上各式相加得： 又 3. 待定系數(shù)法 例3. 已知an為等差數(shù)列，求an。 解析：an為等差數(shù)列，故可設(shè) 又 解得 4. 公式法 例4. 如果數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由 （2）當(dāng)時(shí)， 數(shù)列當(dāng)時(shí)，是以3為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列 而當(dāng)n=1時(shí)，顯然也成立 故 5. 疊代法 例5. 已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解析： a1=1 方法二：解遞推關(guān)系式常見(jiàn)方法 1. 公式法：利用熟知的公式求通項(xiàng)公式的方法稱為公式法。常用的公式有，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

4、 2. 歸納法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納法猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性。這種方法叫做歸納法。 3. 累加法：利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（其中數(shù)列f(n)可求前n項(xiàng)和）。 4. 累乘法：利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。累乘法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（數(shù)列g(shù)n可求前n項(xiàng)積）。 例1. 設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn，并且對(duì)于所有的自然數(shù)n，an與1的等差中項(xiàng)等于sn與1的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解析：解法一：（公式法）依題意，有 即 又a1=1 故是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列 解法二：（公式法

5、） 當(dāng)時(shí)， 即 從而 解法三：（歸納法）由已知可求得 猜測(cè) 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)， n=1時(shí)，猜想成立 （2）假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，則時(shí) 即n=k+1時(shí)，猜想也成立。 綜合以上可知，對(duì)任意有 例2. 已知數(shù)列中，求an。 解析：（累加法） 例3. 已知數(shù)列中，其中，求an。 解析：（累乘法） 由已知 5. 轉(zhuǎn)化法：通過(guò)變換遞推關(guān)系，將非等差（等比）數(shù)列轉(zhuǎn)化為與等差或等比有關(guān)的數(shù)列而求得通項(xiàng)公式的方法稱為轉(zhuǎn)化法。常用的轉(zhuǎn)化途徑有：（1）湊配、消項(xiàng)變換如將一階線性遞推公式（q、d為常數(shù)，）。通過(guò)湊配變成，或消常數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為； （2）倒數(shù)變換如將一階分式遞推公式（c、d為非零常數(shù)）取倒數(shù)得； （3）

6、對(duì)數(shù)變換如將一階遞推公式取對(duì)數(shù)得 （4）換元變換如將一階遞推公式（q、d為非零常數(shù)，）變換成，令，則轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式。 例4. 已知數(shù)列中，a1=1，求的通項(xiàng)公式。 解析：解法一：（歸納法） a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，猜測(cè)an=2n1（），再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。 解法二：（轉(zhuǎn)化法） 又a1+1=2 故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列 即 解法三：（轉(zhuǎn)化法） （1） （2） 得 故是首項(xiàng)為 公比為2的等比數(shù)列，即 再用累加法得 解法四：（迭代法） 例5. 已知數(shù)列（）中，求an。 解析：（倒數(shù)變換） ，兩邊取倒數(shù)，得 ，首項(xiàng) 例6. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解

7、析：（對(duì)數(shù)變換） 由題意 是以2為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)為 例7. 已知，求an。 解析：（疊加法） 由已知得 ， 例8. 已知，求。 解析： 成等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為 即 再用遞推的方法可得到 方法三：數(shù)列求和常見(jiàn)的方法 1. 公式法 例1. 求和：（1）； （2） 解析：（1）因?yàn)?所以 （2）當(dāng)時(shí)， 2. 錯(cuò)位相減法 例2. 若公比為c的等比數(shù)列的首項(xiàng)且滿足。 （1）求c的值； （2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和sn。 解析：（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí) （2）由（1），需要分兩種情況討論 當(dāng)c=1時(shí)，數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列 即 這時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列 即 這時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和 （1

8、） （1）式兩邊同乘，得： （2） （1）式減去（2）式，得 3. 裂項(xiàng)相消法求和 例3. 求數(shù)列的前n項(xiàng)和sn。 解析： 4. 并項(xiàng)求和 例4. 求 解析：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí) 5. 倒序相加求和 例5. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在等差數(shù)列，使對(duì)一切自然數(shù)n均成立？ 解析：由公式 依條件先求出an的通項(xiàng)，再由倒序相加法得出結(jié)論。 n=1時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 因滿足時(shí)的式子 假設(shè)存在等差數(shù)列滿足條件，設(shè) 且仍成等差數(shù)列，則 倒序，得 相加得 令bn=n，顯然n=0時(shí)，b0=0 故存在等差數(shù)列滿足已知等式。 方法四：等差數(shù)列的設(shè)項(xiàng) （1）對(duì)于連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，可設(shè)為：，此時(shí)公差為d； （2）對(duì)于連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)

9、的等差數(shù)列，通常可設(shè)為，此時(shí)公差為2d。 例：有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)與第四個(gè)數(shù)的和為16，第二個(gè)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求這四個(gè)數(shù)。 解析：設(shè)前三個(gè)數(shù)依次為，則第四個(gè)數(shù)為 解之得或 所以這四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1 方法五：等比數(shù)列的設(shè)項(xiàng) （1）對(duì)于連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列，通?？稍O(shè)為，此時(shí)公比仍為q； （2）對(duì)于連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列，通?？稍O(shè)為，此時(shí)公比為。 例：已知一個(gè)等比數(shù)列前四項(xiàng)之積為，第二、三項(xiàng)的和為，求這個(gè)等比數(shù)列的公比（其中）。 解析：設(shè)等比數(shù)列的前四項(xiàng)依次為 則由已知得 由（1）得， 代入（2）并整理，得 解之得， 故原等比數(shù)列的

10、公比為（二）錯(cuò)題透視易錯(cuò)題一：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。解題思路：由且得n=6。由此可知，數(shù)列的前6項(xiàng)為負(fù)值，從第7項(xiàng)起以后的各項(xiàng)均為正值。當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列所以= 對(duì)于任意自然數(shù)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列。因此，。所以失分警示：1. 誤認(rèn)為數(shù)列是以21為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，事實(shí)上，對(duì)于任意的正整數(shù)n，數(shù)列不構(gòu)成等差數(shù)列，它只能分段考慮后才能構(gòu)成等差數(shù)列。2. 在的求和時(shí)，誤認(rèn)為數(shù)列是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，3是它的第7項(xiàng)，而不是第1項(xiàng)。易錯(cuò)題二：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解題思路：n=1時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。因此數(shù)

11、列的通項(xiàng)公式為失分警示：由求時(shí)，必須考慮條件：，因?yàn)閚=1時(shí)，無(wú)意義。數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系是：此公式在數(shù)列中經(jīng)常用到，應(yīng)引起重視。易錯(cuò)題三：已知等差數(shù)列，為前n項(xiàng)和，若，求。解題思路：是等差數(shù)列也是等差數(shù)列。即失分警示：由是等差數(shù)列，得出也是等差數(shù)列是錯(cuò)誤的，實(shí)際上，若設(shè)公差為d，則成等差數(shù)列，且公差為16d。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即，為等差數(shù)列，公差為。易錯(cuò)題四：等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，若，則等于_。答案：解題思路：。錯(cuò)因分析：對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)模糊，容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。如設(shè)是錯(cuò)誤的。易錯(cuò)題五：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a，公比為，若其前10項(xiàng)中最大的項(xiàng)為1024

12、，求a的值。解題思路：的通項(xiàng)公式為。（1）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，所以前10項(xiàng)中第10項(xiàng)為最大，即，a=2。（2）當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，前10項(xiàng)中第一項(xiàng)為最大，即a=1024，矛盾，故此時(shí)無(wú)解。（3）當(dāng)a=1時(shí)，為常數(shù)數(shù)列，此時(shí)各項(xiàng)均為1，顯然與題設(shè)矛盾。綜上可知，a=2。失分警示：解此類問(wèn)題易出現(xiàn)概念性的錯(cuò)誤。如僅憑則得出為遞增數(shù)列，從而得到，則會(huì)得到錯(cuò)誤結(jié)論。對(duì)含參問(wèn)題一般需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。易錯(cuò)題六：已知等比數(shù)列中，求。解題思路：當(dāng)時(shí)，此時(shí)正好有，適合題意。當(dāng)時(shí)，依題意有，解之，得，綜上得或。失分警示：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中一定要考慮公式適用條件或，否則導(dǎo)致失誤。若q=1，則；若，則。易錯(cuò)題七：一個(gè)數(shù)列，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，。這個(gè)數(shù)列的前2m項(xiàng)之和為_(kāi)。答