2019年高考全國(guó)1卷理科數(shù)學(xué)試題和答案

1、1eord完美格式6,2019 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 （理科）（新課標(biāo) I）第丨卷（選擇題）一、單選題1.已知集合M =x|4 x 2, N =x|x2-x-6 0),則MCN=A. (x -4 x 3)Bx|-4x-2)c. x -2x2)D. X|2X32. iifi數(shù)z滿足|z-i|=1, z在夏平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x, y),貝q2 2 2 2 2 2 2 2A(x+1) +y =1 B. (x-1) +y =1 C. x +(y -1) =1 D. x +(y+1) =13.已知a =log2 0.2,b=22,c=0.2，則A. a b cB. acbc. ca bD.bc0,b

2、0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,過(guò)H的直線與C17VABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c，設(shè)2 2(sin B一sinC) =sin A-sin BsinC .(1)求A;(2)若72a +b =2c ,求SinC.18.如圖，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4 , AB=2 , z BAD=60 ,E,M, N分別是BC, BB1, AQ的中點(diǎn).(1)證明：MN/平面CiDE;(2)求二面角A-MAi-N的正弦值319.已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F,料率為？的直線I與C的交點(diǎn)為A. B,與X軸的交 點(diǎn)為P.若IAH+I BFM ,求I的方程；T T(

3、2)若AP =3PB求|AB|.20已知函數(shù)f (x) =sin x-ln(1+x), fr(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)證明：16 .巳知雙曲線C：的兩條漸近線分別交于A, B兩點(diǎn).若F,A則C的離心率為=0,eord完美格式(1)f(x)在區(qū)間(-巧)存在唯一極大值點(diǎn)；(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).21 .為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道嘛種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試檢.試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中 一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)

4、為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的 門巳燈愈則甲藥得1分,乙藥得-;若施以乙藥的白肌治愈且施以甲藥的白鼠朮治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和卩，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，p.(i =0,1,111,8)表示甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效的概率，則po =0, ps =1,P =ap.丄+bp +cp_(i =1,2,|,7),其中a=P(X =-1) , b =P(X = 0),c=P(X =1

5、).假設(shè)a =0.5,卩=0.8.(i)證明：R-R(i=0,1,2，H|,7)為等比數(shù)列；(ii)求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性22 .選修44 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程1-t2在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為/ (t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)0ly=r,直線i的極坐標(biāo)方程為eord完美格式為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系2 Pcos8+ 苗Psin 6+11 =0 .(1)求C和I的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到I距離的最小值.23 .選修4-5 :不等式選講已知a, b, c為正數(shù)，且滿足abc=l .證明：1(1)一a.1 1 2 .2 2 + a +b +c；b

6、c(2)(a+b) +(b+c) +(c + a) 224參考答案1. C解析】本題考査集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.I羊解】由題意得,M =(x|-4x 2),N =x|-2x3),則MCN=x|-2 x 2).故選C.譏睛不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致渓，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部 分.2.C解析“析】本題考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易.此題可采用幾何法，根據(jù)點(diǎn)(x, y)和 點(diǎn)(0, 1)之間的距離為1,可選eord完美格式正確答案C.ITW】寧22z =x+yi,z _j =x +(y _1)i*z_

7、i| =Jx +(y_1)=人則x +(y -1) =1 .故選C.15BI1本題考査復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算，滲透了直觀想彖和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng) 釆取公式法或兒 何法，利用方程思想解題3.B聊析】析】運(yùn)用中間駅o比較a,c,運(yùn)用中間駁1比較b,cI羊解】a =log20.2 2 = 1,0 O.2030.2 =1,則0c1,ac1,52匚新0.故選D.（耳）巨睛】本題考査函數(shù)的性質(zhì)與圖象,滲透了邏輯推理、克觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng) 采取性質(zhì)法或 賦值法，利用數(shù)形結(jié)合恵想解題6.A解析】“析】2 _cos( -x) +(-x) COS X + X對(duì)稱又feord完美格式本題主要考査利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列

8、組合計(jì)算古典概型問(wèn)題 算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，里撲”中每一爻有兩種情況，基本爭(zhēng)件計(jì)算是住店問(wèn)題，該重卦恰有3個(gè) 陽(yáng)爻是相同元素的排列問(wèn)題，利用直接法即可計(jì)算.I羊解】由題知，毎一爻有2屮情況，一重卦的6爻有2情況，其屮6爻中恰有3個(gè)陽(yáng)爻悄況有Q35C；,所以該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率為4=-，故選A.2 16UHH對(duì)利用排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，首先要分析元素是否可車復(fù)，其次要分析是排列問(wèn)題 還是組合問(wèn)題.本題是重夏元索的排列問(wèn)題 ，所以基本事件的訃算是 住店”問(wèn)題，滿足條 件事學(xué)的計(jì)算是相同元素的排列問(wèn)題即為組合問(wèn)題7.B解析】“析】本題主要考査利用平面向秋數(shù)尿積計(jì)算向秋長(zhǎng)度 、夾角與垂直問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)

9、化與化歸、 數(shù)學(xué)汁算等數(shù)學(xué)索養(yǎng).先山（a-b）丄b得出向融a.b的數(shù)尿枳與其模的關(guān)系，再利用向位 夾角公式即可計(jì)算岀向駅夾角因?yàn)?a -b)丄b,所以(ab) b=a bb2=o ,所以a -b=b2,所以對(duì)向駅夾角的計(jì)算，先計(jì)算岀向吊 :的數(shù)吊積及各個(gè)向吊於模,在利用向杲夾角公式求出夾,滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)a b一|bfcos9W7所以a與b的夾角為7t3故選B.eord完美格式角的余弦值，再求出夾角，注意向慣夾角范圍為【0,刃.8.A昭析】析】本題主要考査算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問(wèn)題等素養(yǎng)，認(rèn)真分析式子結(jié)構(gòu) 持征與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇.詳解】執(zhí)行第1次，A =-,

10、k =1 2是，因?yàn)榈谝淮螒?yīng)該計(jì)算2環(huán)，執(zhí)行第2次，k =22,是，因?yàn)榈诙螒?yīng)該計(jì)算2 + -=，2+丄2+A2k =k +1 =3,循環(huán)，執(zhí)行第3次，k=22,否，輸出，故循環(huán)體為A=!,故選2+ AA.點(diǎn)睛秒殺速解認(rèn)真觀察計(jì)算式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知循環(huán)體為A-.2 +A9. A昭析】析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式本題還可用排除,鼻=4（；+2）,排除B,對(duì)C,Q =0,a5=Ss -S4=2X5? -8X5 -0=10H5,排除芻=0,a5-S4=1X52-2X5-0=-5,排除2 2I羊解】對(duì)B, 35 =5 ,D,故選A.eord完美格式rdIS4=4a+ x4x3 = 0由題知，

11、/2& =Q +4d =5等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程,解岀首項(xiàng)與公差,在適 當(dāng)計(jì)算即可做了判斷10B酗析】“析】由已知可設(shè)|HB|=n,貝ij|AF2| =2n,|BF,| =|AB =3n，得|AFi|=2 n,在AAB中求 得COSZFTAB =-Y再在AF.Fa中，由余弦定理得n=,從而可求解.32=n，貝【J AF2=2n, BR = AB =3n,由橢圓的定義有= 2a-|AF2| =2n.在厶ARB中，由余弦定理推論得4n2 3+4n2-22n 2n i=4 ,解得n = 32cosZAFaFi +cosZBF2Ft=0 ,兩式消去cosZAFgH ,

12、cosZBF2F1,得3n2+6 =11n2,解得2 2a =4n =2逅J a =罷、：b2= a2-c2=3-1 =2所求橢圓方程為 +3故選B.法二：由巳知可設(shè)IF2B =n，則|AF=2n, BF =|AB =3n,由橢圓的定義有2a = BFt| -qBF2| =4n,/.| AR|=2aHAF2| =2 n.在厶AF1F2和ABFIF?中，由余弦定理，解得為=2介一5,故選A.d =2本題主要考査等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)利用法一：如圖,由已知可設(shè)F2B2a =|BF,| BF2| = 4n “ | AR2丄介2小2十4n +9n _9ncosZR

13、AB =-22n 3n丄在AF&2中，由余弦定理得3eord完美格式n =邑./. 2a =4n =2屁a =/,. b2=a2-c2=3-1 =2,.-.所求橢圓方程為亍”，故選B.本題考査橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考査數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象邏級(jí)推理等數(shù)學(xué)索養(yǎng)酗析】析】化簡(jiǎn)函數(shù)f (x)=sin|x|+|sinx|,研究它的性質(zhì)從而得出正確答案.畔解】7 f (-x )=sin |-x|+|sin(-x j =sin|x|+|sin x| = f (x ), f (x)為偶函數(shù),故正確.當(dāng)x時(shí)，f (x )=2si n x ,它在區(qū)間f-，次單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤.當(dāng)

14、0 x/6 , B卩R = ,V = -nR3= -TTx，故選D.2338eord完美格式設(shè)PA = PB =PC =2x, E,F分別為PA, AB中點(diǎn),EF/PB,且EF =-PB=x, VAABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，2.CF =梟又ZCEF -90。CE - j3-x, AE-丄PA x2x2+4一（3-x2.AEC中余弦定理cosZEAC =-，作PD丄AC于D ,tPA= PC ,2x2xxQ D為AC中點(diǎn)，cosZEAC =，二x初-卅=丄PA 2x4x2x,PA = PB = PC = V2 ,乂AB=BC=AC=2 , 2x2+1 =2 x2 PAfPB , PC兩兩乖宜

15、 2R=么 +2 + 2 = V6 ,R衛(wèi)p解法二：eord完美格式故選D.eord完美格式本題考査學(xué)生空間想象能力，補(bǔ)體法解決外接球問(wèn)題.可通過(guò)線面垂直定理，得到三棱兩 兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決.13.3x_y =0.解析】“析】本題很據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式求 得切線方程I羊解】詳解：y =3(2x +1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1iex,所以，k = y |x = 3所以，曲線y =3(x2+x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y =3x ,即3x-y=0.巨睛1準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的基礎(chǔ)，本題

16、易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)握不熟，二導(dǎo)致計(jì)算鏈 誤.求導(dǎo)要慢，訃算要準(zhǔn)，是解答此類問(wèn)題的基本要求.14.空.3解析】析】本題很據(jù)巳知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比q的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，訃算得 到$.題目的難度不大，注求了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考査.非解設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知a=a6,所以(-q3)2=q5,又qO,333eord完美格式所以q =3,所以。a,(1-q5) 4一狎121 .OK=- =- =-1-q1-33直睛】準(zhǔn)確汁算，是解答此類問(wèn)題的基本要求.本題由于涉及薪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì) 算，部分考生易岀現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.15.0.216.解析】析】本題應(yīng)注意分情況討論，即

17、前五場(chǎng)甲隊(duì)獲勝的兩種情況，應(yīng)用獨(dú)立事件的概率的計(jì)算公式 求解.題目有一定的難度，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力及分類討論思想的考査.I羊解】前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸，第五場(chǎng)施時(shí)，甲隊(duì)以4:1獲勝的概率是0.63X0.5X0.5X2=0.108,前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸，第五場(chǎng)廉時(shí)，甲隊(duì)以4:1茯勝的概率是2 20.4 x 0.6 x 0.5 X2 =0.072,綜上所述，甲隊(duì)以4:1茯勝的概率是q =0.108+0.072 =0.18.巨睛】由于本題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊(duì)以4:1獲勝的兩種情況；易錯(cuò)點(diǎn)Z三是是否能夠準(zhǔn)確 計(jì)算

18、.16.2.解析eord完美格式析】 通過(guò)向晟關(guān)系得到F,A = AB和OA丄F,A，得到ZAOB =ZAOFi,結(jié)合雙曲線的漸近線可得ZBOF2=ZAOF1, ZBOF2=ZAOF1=ZBOA=60,從而由-=tan 60 = J5可求aBF2/OA, BF2=2OA.由吊得FB丄F2B,OA丄F,A,則O B = OF,有ZAOB =ZAOF又0A與OB都是漸近線，得ZBOF2=ZAOFb又ZBOF?+ZAOB+Z AOF=次，得ZBOF2 =AOF1=ZBOA =60,.乂漸近線OB能斜率為-=tan60 =麗,所以該雙a本題考査平面向吊結(jié)合雙曲線的漸進(jìn)線和離心率,滲透了邏輯推理直觀想象

19、和數(shù)學(xué)運(yùn)算 索養(yǎng).采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題17.(1) A=-；(2) sinC =V34硏析12,得OA是三角形F1F2B的中位線，即I羊解】=2曲線的離心率為e =aeord完美格式析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系式可得：b2+c2_a2=bc ,從而可整理出cosA,根據(jù)A （0,）uj求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可得gsin A+sin B = 2sin C ,利用sin B =sin（A+C卜兩角和差正弦公式可得關(guān)于sin C和cosC的方程，結(jié)合同角三角函 數(shù)關(guān)系解方程可求得結(jié)果即：sin2B +sin2C -sin2A =sin BsinC由正弦定理可得：b2+c2

20、-a2=bcX(0“)(2) WFa +b =2c ,由正弦定理得：/2 sin A+sin B =2sin C又sinB =sin( A +C ) = si n AcosC + cos A si nCA= 3呼哼co中心2sinC整理可得：3sinC-循二Jco2/sin2C +cos2C =1/. (3sirC-VQ = 0 4 sf0 )(2)法二：辰+b=2c,由正弦定理得：72 sin A +sin B =2sin C又sinB =sin( A +C ) = si n AcosC+cos A si nCA=(1)(sin B -sinC ) =sin B 2sin Bsin C +s

21、in C2= sin A一sin BsinC因?yàn)閟in B =2sinC - J2sin A =2sinCV620所以sinC cos A2bceord完美格式3eord完美格式z整理可得：3sinC_ = JcoQ ,即3sin C_ JScosC =2j5sin C點(diǎn)睛本題考査利用正弦定理、余弦定理解三角形的問(wèn)題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角 函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.18.（1）見解析；（2）.5解析】附析】（D利用三角形中位線和ADBC可證得ME/ND， 證得四邊形MNDE為平行四邊 形， 進(jìn)而證得MN/DE，

22、根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形ABCD對(duì)角 線交點(diǎn)為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)取AB中點(diǎn)F ,可證得DF丄平面AMA,，得到平面AMA,的法向駅or -再通過(guò)向吊法求得平面MAN的法向彊瞎，利用向慣夾角公 式求得兩個(gè)法向吊夾角的余弦值，進(jìn)而可求得所求二面角的正弦值 cosC +-si nC =2si nC2由Ce(0,),C-le(_|,l),小n所以Cbn nTI=rc=4+6eord完美格式IY-W1(1)連接ME , B,Ceord完美格式VM,E分別為BB,. BC屮點(diǎn).ME為亞|BC的中位線ME/RC且ME=、B|C又N為AD中點(diǎn)，且AD/B|C /. ND/B|C

23、且ND =*BC ME/ND四邊形MNDE為平行四邊形.MN / /DE ,又MN /3，則y =1, z = -1二X =(V3,1,-)n -MN =x -y =02 21二面角A-MA -N的正弦值為:西5本題考査線面平行關(guān)系的證明、空間向駅法求解二面角的問(wèn)題求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂克關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過(guò)求解法向隆夾角的余弦值來(lái)得到二面角的正弦 值，屬于常規(guī)題型19.( 1) 12x -8y -7 = 0；( 2)3酗析析】設(shè)直線I：y證x+m, A（xbyi）, B（X2,y2）；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得xi+x2=1；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理可構(gòu)造關(guān)于m

24、的方程，解方程求2得結(jié)果；（2）設(shè)克線I：x +t；聯(lián)立直線方程與拋物線方程 ，得到韋達(dá)定理的形 式；利用AP =3PB可得yi =-3y2,結(jié)合韋達(dá)定理可求得yiy2；根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得結(jié). cos =歸廣扁羋.- sin=eord完美格式本題考査拋物線的兒何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題,涉及到平面向橫、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用.關(guān)鍵尼能夠通過(guò)直線與拋物線方程的聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理構(gòu)造等駅關(guān)系.20. (1)見解析；(2)見解析果.【羊解1(1)設(shè)直線I方程為：y = |x +m , A（x1,y1）, B（x2,y2）由拋物線焦半徑公式可知:|AF| +|BF| =Xi +x2+*=45 X, +

25、 x2=- 2聯(lián)立3 y =-x +my 2得:y2=3x9x2+（12m-12）x+4m2=02o則（計(jì)-12 ） -144m 012m一12 5 Xi +X2 - -=-,解得:37直線I的方程為：y=X 281m 0 yi+y2= 2, y也=一3T AP =3PB y = -3y2eord完美格式昭析析】eord完美格式使得gr(xo)=o,進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在-1,1上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；(2)由 的結(jié)論可知X = 0為f(X)在(-1,0】上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)X嗓,并寸，首先可判斷出在(O,Xo)上無(wú)零點(diǎn)，再利用零點(diǎn)存在定理得到f (X#E(xo,；上的單調(diào)性，出存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)

26、XW(7t,+oC),可證得f(x)0 9仞“噸+再二命十。!f，U，使得gr(xo )=0BP9(x)ff.(-1,XQ)上單調(diào)遞増；在(XQ,|J上單調(diào)遞減(1)求得導(dǎo)函數(shù)后,可判斷岀導(dǎo)函數(shù)在F扌)上單調(diào)遞減，根知存在定理可判斷岀3X0噸)可知f (x )0,不存在零點(diǎn)；當(dāng)xw呂楓j時(shí)，利月零點(diǎn)存在定理和f (X)單調(diào)性可判斷當(dāng)x(-i,xo)時(shí)，ga)o；x7T寸，ggvoeord完美格式則X =xo為g(xy唯一的極大值點(diǎn)即：f(X)ft區(qū)間(,扌上存在唯一的極大值點(diǎn)Xo.(2)由(1)知：f (X)= COSX一丄，X(_1,4OO)X +1當(dāng)xe(1,0】時(shí)，由 可知L(x)在(_1,0上單調(diào)遞增/. fr(x)o /. f (x )ft(O,Xo)上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)f (0) =