2021新高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第三部分專題二2.4.1函數(shù)的單調(diào)性極值點(diǎn)極值最值課件

1、2.4.12.4.1函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、極值、最值函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、極值、最值第三部分第三部分內(nèi)容索引必備必備知識(shí)知識(shí) 精要精要梳理梳理關(guān)鍵關(guān)鍵能力能力 學(xué)學(xué)案突破案突破必備必備知識(shí)知識(shí) 精要精要梳理梳理1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(1)若f(x)0在(a,b)內(nèi)恒成立,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增;(2)若f(x)0,右側(cè)f(x)0,則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值;若在x0附近左側(cè)f(x)0,則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值.(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處

2、取得.(3)若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的最小值.4.兩個(gè)常用結(jié)論(1)ln xx-1;(2)exx+1.5.構(gòu)造輔助函數(shù)的四種方法(1)移項(xiàng)法:不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)0,討論函數(shù)f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x的單調(diào)性. 解 f(x)的定義域是(0,+). 單調(diào)遞增. (2)當(dāng)a1時(shí),g(x)是二次函數(shù),首先討論f(x)=0是否有實(shí)根,方程g(x)=0對(duì)應(yīng)的=4(a-1)(3a-1).由x1與x2的表達(dá)式知x10

3、,可得0 xx2,所以f(x)在(0,x1)和(x2,+)上單調(diào)遞增;由f(x)0,可得x1x1時(shí),有x1+x20且x1x20,此時(shí)x200,可得0 xx1,所以f(x)在(0,x1)上單調(diào)遞增;由f(x)x1,所以f(x)在(x1,+)上單調(diào)遞減.解題心得對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論,常見的分類討論點(diǎn)按討論的先后順序有以下三個(gè):分類討論點(diǎn)1:求導(dǎo)后,考慮f(x)=0是否有實(shí)根,從而引起分類討論;分類討論點(diǎn)2:求導(dǎo)后,f(x)=0=有實(shí)根,但不清楚f(x)=0的實(shí)根是否落在定義域內(nèi),從而引起分類討論;分類討論點(diǎn)3:求導(dǎo)后,f(x)=0=有實(shí)根,f(x)=0的實(shí)根也落在定義域內(nèi),但不清楚這些實(shí)

4、根的大小關(guān)系,從而引起分類討論.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(2020全國(guó),文21)已知函數(shù)f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)2x+c,求c的取值范圍;解 設(shè)h(x)=f(x)-2x-c,則h(x)=2ln x-2x+1-c,其定義域?yàn)?0,+),h(x)= -2.(1)當(dāng)0 x0;當(dāng)x1時(shí),h(x)0.所以h(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+)單調(diào)遞減.從而當(dāng)x=1時(shí),h(x)取得最大值,最大值為h(1)=-1-c.故當(dāng)且僅當(dāng)-1-c0,即c-1時(shí),f(x)2x+c.所以c的取值范圍為-1,+).熱點(diǎn)二熱點(diǎn)二討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)

5、+a(x2-x),其中ar.討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.當(dāng)x(x1,x2)時(shí),g(x)0,則f(x)0,則f(x)0,f(x)單調(diào)遞增, 由g(-1)=10,可得x10,則f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,x(x2,+)時(shí),g(x)0,則f(x)0,f(x)單調(diào)遞減,因此,當(dāng)a 時(shí),判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性;(2)當(dāng)b0時(shí),求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).解 (1)函數(shù)f(x)=x2+bln(x+1)的定義域?yàn)?-1,+), 為確定兩個(gè)根是否都在定義域(-1,+)內(nèi)需要對(duì)參數(shù)b分類討論. 由f(x)0,可得xx2,由f(x)0,可得-1xx2,所以f(x)在(-1,x2)上單調(diào)遞減

6、,在(x2,+)上單調(diào)遞增,熱點(diǎn)三熱點(diǎn)三求函數(shù)的極值、最值求函數(shù)的極值、最值【例4】已知函數(shù)f(x)=ln x-kx+k(kr),求f(x)在1,2上的最小值. 于是f(x)在1,2上的最小值為f(1)=0或f(2)=ln 2-k.()當(dāng)0ln 2-k,即0kln 2時(shí),f(x)min=f(1)=0.()當(dāng)0ln 2-k,即kln 2時(shí),f(x)min=f(2)=ln 2-k.綜上所述,當(dāng)k0,若ln a|x|對(duì)x(-1,1)恒成立,求a的最大值. 方法一(分離參數(shù)法)當(dāng)t=0時(shí),不等式恒成立,定理1:若函數(shù)f(x)和g(x)滿足條件:(1)f(x)和g(x)在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且g(

7、x)0.定理2:若函數(shù)f(x)和g(x)滿足條件:(1)f(x)和g(x)在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且g(x)0.在定理1和定理2中,將分子、分母分別求導(dǎo)再求極限的方法稱為洛比達(dá)法則.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】(2020廣東茂名一模,理20)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-mx+n,曲線y=f(x)在點(diǎn)(ln 2,f(ln 2)處的切線方程為x-y-2ln 2=0.(1)求m,n的值;(2)當(dāng)x0時(shí),若k為整數(shù),且x+1(k-x)f(x)+x+1,求k的最大值.令h(x)=ex-x-2,x0,h(x)=ex-10.函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+)單調(diào)遞增.而h(1)0,所以h(x)在(0,+)存在唯一的零點(diǎn),故g(x)在(0,+)存在唯一的零點(diǎn),設(shè)此零點(diǎn)為,