第三章量子力學(xué)中的算符12

1、l算符算符l厄米算符的本征函數(shù)厄米算符的本征函數(shù)l動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符l電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)l基本對(duì)易關(guān)系基本對(duì)易關(guān)系重點(diǎn)：厄米算符平均值角動(dòng)量算符對(duì)易關(guān)系算符算符算符是指作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)算符是指作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào) vuf f就是一個(gè)算符就是一個(gè)算符 如果量子力學(xué)中的力學(xué)量f在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示式f(r,p)中將動(dòng)量p換為動(dòng)量算符得出 ),() , (iffr rp pr r名稱名稱力學(xué)量力學(xué)量operator算符坐標(biāo)坐標(biāo)動(dòng)量動(dòng)量勢(shì)能勢(shì)能動(dòng)能動(dòng)能總能量總能量角動(dòng)量角動(dòng)量

2、經(jīng)常遇到的力學(xué)量所對(duì)應(yīng)的算符rrrp ip )(ru)()(rurumpt222222mmpt)(rute)(ruthprl)(irprl簡(jiǎn)并簡(jiǎn)并degeneration 當(dāng)算符的某一本征值n的本征函數(shù)不止一個(gè)，而是 f 個(gè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)n1、 n2、 nf，則稱該本征值 f 度簡(jiǎn)并。 ninnia), 2 , 1(fi 若一個(gè)算符作用在波函數(shù)上得出一個(gè)常數(shù)乘以該波函數(shù) ，如，則稱此方程為該算符的本征方程，稱此常數(shù)fn為算符f的第n個(gè)本征值，波函數(shù)為fn相應(yīng)的本征波函數(shù)nnnff線性算符線性算符 linear operator 設(shè)設(shè)u u1 1、 u u2 2為任意函數(shù)，為任意函數(shù)，c c1

3、1、c c2 2是任意兩個(gè)復(fù)常數(shù)，如果是任意兩個(gè)復(fù)常數(shù)，如果22112211)(uacuacucuca則稱則稱 為為線性算符線性算符 x、d/dx是線性算符，而開(kāi)方運(yùn)算不是線性算符 量子力學(xué)中用來(lái)表示力學(xué)量的算符，都是線性算符 是態(tài)疊加原理的要求設(shè)設(shè)11a22a根據(jù)態(tài)的疊加原理根據(jù)態(tài)的疊加原理也就是假設(shè)說(shuō)也就是假設(shè)說(shuō) 是二度簡(jiǎn)并的是二度簡(jiǎn)并的2211cc也是算符也是算符的本征態(tài)，應(yīng)有的本征態(tài)，應(yīng)有a當(dāng)當(dāng)為線性算符時(shí)為線性算符時(shí))(2211ccaa)(2211cc1 厄米算符厄米算符 設(shè)u、 v為兩個(gè)任意函數(shù)，如果算符滿足dvaudvua)()()()(r rr rr rr r則稱為厄米算符量子

4、力學(xué)中代表力學(xué)量的算符必須是線性厄米算符量子力學(xué)中代表力學(xué)量的算符必須是線性厄米算符 量子力學(xué)的又一基本概念 厄米算符在任意狀態(tài)下的平均值必須是實(shí)數(shù) 力學(xué)量觀測(cè)值必須是實(shí)數(shù)，要求算符的本征值是實(shí)數(shù) 線性厄米算符的作用就是把態(tài)空間中的一個(gè)元素變成另一個(gè) 元素 線性厄米算符的本征函數(shù)構(gòu)成一個(gè)正交歸一的函數(shù)系（1） 厄米算符本征函數(shù)的正交歸一性(orthonormality)( 0)( 1)()(nmnmdmnnmr rr r（2） 完備性(completeness)設(shè)1 、2、 、n，是某一線性厄米算符的本征函數(shù)系，任何與n滿足同樣邊界條件且在同樣區(qū)間定義的波函數(shù),都可以按n展開(kāi)，即厄米算符的本征

5、函數(shù)厄米算符的本征函數(shù)(本征態(tài)本征態(tài))具有正交、完備性具有正交、完備性1)()()(nnntcr rt t, ,r rdcnn若在每個(gè)r處，此無(wú)窮級(jí)數(shù)都收斂到(r,t)，則稱n是完備的(1)力學(xué)量處于本征態(tài)時(shí)設(shè)厄米算符的本征函數(shù)分別為1 、2、 、n，所屬的本征值為， 1、 2、 n，當(dāng)體系處于n時(shí)，力學(xué)量a有確定的值 n，nnna（2）當(dāng)體系處于）當(dāng)體系處于的非本征態(tài)的非本征態(tài) 時(shí)，力學(xué)量時(shí)，力學(xué)量a為何值？為何值？在非本征態(tài)中測(cè)量力學(xué)量的值為一平均值，當(dāng)體系處于算符的非本征態(tài)時(shí)，測(cè)量力學(xué)量a所得為平均值，如果已經(jīng)歸一化，力學(xué)量的平均值為daa)()(r rr rddaa)()()()(r

6、rr rr rr r如果如果 尚未歸一化，力學(xué)量的平均值為尚未歸一化，力學(xué)量的平均值為122221nccc利用歸一化條件利用歸一化條件1)()(nnnacar rr r用 *左乘上式并對(duì)全空間積分左乘上式并對(duì)全空間積分dcacdannnmmm)()()()(11r rr rnnccca2222121111*dccdnnnmmm根據(jù)本征函數(shù)的完全性根據(jù)本征函數(shù)的完全性1)()(nnncr rr r力學(xué)量的平均值為：所以為在n態(tài)中，a取n的幾率2nc)()(21)(31xxx狀態(tài)時(shí)，粒子的能量？狀態(tài)時(shí)，粒子的能量？)()(21)(31xhxhxh)()(213311xexeexxe)()(2131

7、也就是說(shuō)，此時(shí)粒子不處于本征態(tài)。也就是說(shuō)，此時(shí)粒子不處于本征態(tài)。 在此狀態(tài)下，測(cè)量粒子的能量在此狀態(tài)下，測(cè)量粒子的能量由于波函數(shù)是歸一化的由于波函數(shù)是歸一化的)(2131eeemamama25)292(21222222), 0( , 0)0( ,sin/2)(axxaxaxnaxn本征函數(shù)為：解：例例：設(shè)粒子在一維無(wú)限勢(shì)阱：設(shè)粒子在一維無(wú)限勢(shì)阱(0,a)中運(yùn)動(dòng)，如果描述粒子狀態(tài)的中運(yùn)動(dòng)，如果描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)為波函數(shù)為3 軌道角動(dòng)量算符的本征值和本征函數(shù)(1) 軌道角動(dòng)量算符定義p pr rl lzyxzyxpppzyxeeeyzxp zp yl )(yzzyizxypxpzlxyzpypx

8、l2222zyxllll若位勢(shì)與坐標(biāo)的方向無(wú)關(guān)，即，則稱此位勢(shì)為 中心力場(chǎng) 粒子若在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，角動(dòng)量是表征體系轉(zhuǎn)動(dòng)性質(zhì)的 重要物理量 為區(qū)別自旋角動(dòng)量，將其稱之為軌道角動(dòng)量)()(rvrv(2) 本征問(wèn)題本征問(wèn)題 ),(1),(,2,2 mlmlyllyl spherical-harmonics, 3 , 2 , 1 , 0 llm , 3, 2, 1, 0l 稱為稱為角量子數(shù)角量子數(shù)，表征角動(dòng)量的大小，表征角動(dòng)量的大小a的本征方程本征函數(shù)),(lmym稱為稱為磁量子數(shù)磁量子數(shù)),(),(sin1)(sinsin122222lmlmyy2l 本征值為22) 1(lll球諧函數(shù)，不僅應(yīng)當(dāng)在

9、全空間有限，而且是一個(gè)單值函數(shù)例如：例如：l=2時(shí)時(shí)),(6),(, 22, 22mmyylm可以取可以取-2,-1,0,1,2;五個(gè)值五個(gè)值),(6),(2, 222, 22yyl),(6),(1, 221, 22yyl),(6),(0 , 220 , 22yyl),(6),(1 , 221 , 22yyl),(6),(2 , 222 , 22yyl),(),(lmlmzymyl本征值本征值mlz本征函數(shù)本征函數(shù)),(lmyb lz的本征值和本征函數(shù)lz表示體系的軌道角動(dòng)量在表示體系的軌道角動(dòng)量在z軸方向的投影軸方向的投影一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)2l+1個(gè)本征函數(shù)，本征值是個(gè)本征函數(shù)，本

10、征值是2l+1度簡(jiǎn)并的度簡(jiǎn)并的(3)討論l算符的本征值是量子化的，只能取斷續(xù)值l除了的基態(tài)外，算符的所有本征值都是簡(jiǎn)并的，且簡(jiǎn)并度為 ),(1),(,2,2 mlmlyllyl ),(),(lmlmzymyl, 3 , 2 , 1 , 0 llm , 3, 2, 1, 00l2l12 lfzll2與例題若粒子處于狀態(tài)),(31),(31),(35),(312021yyy求：分別測(cè)量的可能取值與相應(yīng)的取值概率zll2與解：首先判斷波函數(shù)是否是歸一化的狀態(tài)其次計(jì)算各種條件下各力學(xué)量的可能取值和取值概率222) 1(llll的本征值為：算符llmlmclll222) 1(w）（mllzz的本征值為：

11、算符在態(tài)下，相應(yīng)的取值概率公式為31c12w23122）（l32cc6w22022122）（l91c0w220z ）（l98ccw231221z ）（l4 類(lèi)氫原子的波函數(shù)和能量本征值類(lèi)氫原子的波函數(shù)和能量本征值(1) 分離變量法求解定態(tài)方程，可以得到滿足波函數(shù)條件的解設(shè)設(shè) ),()(),(lmnlnlmyrrr在球坐標(biāo)下，薛定諤方程變?yōu)樵谇蜃鴺?biāo)下，薛定諤方程變?yōu)閑ryryrzeryrrrmrs2222222sin1)(sinsin12),(lmy類(lèi)氫原子中的電子有三個(gè)自由度，因此要用三個(gè)量子數(shù)n,l,m來(lái)描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)rnl(r) 是徑向函數(shù)是角度部分的波函數(shù)，稱球諧函數(shù)主量子數(shù)：主量子數(shù)：

12、n角量子數(shù)：角量子數(shù)：l磁量子數(shù)：磁量子數(shù)：m能量能量角動(dòng)量角動(dòng)量角動(dòng)量在角動(dòng)量在z軸上的投影軸上的投影（2 2） 本征能量本征能量能量取下列離散值時(shí)，才有滿足波函數(shù)有限性條件的解, 3 , 2 , 1,12220222242nnaeznemzessn電子的能量只與量子數(shù)電子的能量只與量子數(shù)n n有關(guān)有關(guān), ,n稱為主稱為主量子數(shù)量子數(shù)20204mea玻爾第一軌道半徑玻爾第一軌道半徑氫原子的基態(tài)能量為若要使處于基態(tài)的氫原子電離，必須外加 13.6ev的能量 隨量子數(shù)n的增加，氫原子能級(jí)間隔越來(lái)越 小，當(dāng)n時(shí)能級(jí)接近連續(xù)分布evaees6 .132021氫原子能級(jí)圖eoe1e2),()(),(l

13、mnlnnlmyrrerh電子的能級(jí)電子的能級(jí)en只與只與主量子數(shù)主量子數(shù)n有關(guān)有關(guān)對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)n值值， l 可以取可以取 0,1,2n-1共共n個(gè)個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)l 值值， m又可以取又可以取 0, 1, 2, l共共2l+1個(gè)個(gè)l、m不同，不同，函數(shù)函數(shù)),(lmy)(rrnl的形式不同的形式不同同一能量級(jí)對(duì)應(yīng)著不同的本征函數(shù)同一能量級(jí)對(duì)應(yīng)著不同的本征函數(shù)庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子能級(jí)是簡(jiǎn)并的庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子能級(jí)是簡(jiǎn)并的簡(jiǎn)并度為簡(jiǎn)并度為電子的能級(jí)是電子的能級(jí)是n2度簡(jiǎn)并的度簡(jiǎn)并的) 12(l10nl102nlln2n例例1對(duì)能級(jí)對(duì)能級(jí)242318semze簡(jiǎn)并度是簡(jiǎn)并度是9，9個(gè)不同的波函

14、數(shù)個(gè)不同的波函數(shù)(9個(gè)不同的本征態(tài)個(gè)不同的本征態(tài))有相同的能量有相同的能量它們是它們是2l1, 0 m0l2, 1, 0m322321320132232,1l311310131,0m300例例2：氫原子中的電子處于：氫原子中的電子處于),(43),(41),(211321rrr狀態(tài)，求：狀態(tài)，求：(1) 歸一化的波函數(shù)歸一化的波函數(shù)(2) 能量有無(wú)確定值？如果沒(méi)有，求其可能能量有無(wú)確定值？如果沒(méi)有，求其可能值和取這些值的幾率，并求平均值？值和取這些值的幾率，并求平均值？(3) 角動(dòng)量有無(wú)確定值？如果沒(méi)有，求其可角動(dòng)量有無(wú)確定值？如果沒(méi)有，求其可能值和取這些值的幾率，并求平均值？能值和取這些值的

15、幾率，并求平均值？(4) 角動(dòng)量的角動(dòng)量的z分量有無(wú)確定值？如果有，求分量有無(wú)確定值？如果有，求其本征值其本征值da 2000211321*211321243414341da 20002211321*211211*32123212169163163161利用本征函數(shù)的正交性，得到利用本征函數(shù)的正交性，得到22851691611aa所以所以5102a歸一化的波函數(shù)為歸一化的波函數(shù)為),(103),(101),(211321rrr解解:(1) 設(shè)歸一化常數(shù)為設(shè)歸一化常數(shù)為a，利用歸一化條件，利用歸一化條件dra 20002),(1(2) ),(103),(101),(211321rrhrh),(1

16、03),(10121123213rere),(re所以此波函數(shù)不是能量的本征函數(shù)，在此態(tài)中能量無(wú)確定值，所以此波函數(shù)不是能量的本征函數(shù)，在此態(tài)中能量無(wú)確定值，能量的可能值為能量的可能值為e2和和e3，能量的平均值為，能量的平均值為23109101eee2414417sme(3) 容易證明此波函數(shù)不是角動(dòng)量平方算符的本征態(tài)容易證明此波函數(shù)不是角動(dòng)量平方算符的本征態(tài)),(103),(101),(21132122rrlrl),() 11 ( 1103),() 12(210121123212rr),(2103),(610121123212rr),(2rl角動(dòng)量平方的可能值為角動(dòng)量平方的可能值為2622

17、101101)6(22w109103)2(22wl2平均值：2225121018106),(103),(101211321rr),(103),(101211321rr),(r是其本征函數(shù)，本征值為是其本征函數(shù)，本征值為(4),(103),(101),(211321rrlrlzz作業(yè)題：作業(yè)題：1 氫原子中的電子處于氫原子中的電子處于310311210414121),(r求求: (1) 歸一化的波函數(shù)；歸一化的波函數(shù)； (2) 能量有無(wú)確定值？如沒(méi)有，求其能量的可能值和取這能量有無(wú)確定值？如沒(méi)有，求其能量的可能值和取這些值的幾率些值的幾率 (3) 角動(dòng)量平方有無(wú)確定值？如果有求其本征值角動(dòng)量平方

18、有無(wú)確定值？如果有求其本征值 (4) 角動(dòng)量的角動(dòng)量的z分量有無(wú)確定值？如果沒(méi)有？求其可能值和分量有無(wú)確定值？如果沒(méi)有？求其可能值和取這些值的幾率取這些值的幾率2 氫原子能量簡(jiǎn)并度是多少？寫(xiě)出氫原子能量簡(jiǎn)并度是多少？寫(xiě)出n2的所有可能的能量狀態(tài)的所有可能的能量狀態(tài)講義講義：p74 14任選兩道量子力學(xué)中可以進(jìn)一步通過(guò)代表不同力學(xué)量的算符間所滿足的關(guān)系，來(lái)判斷哪些力學(xué)量可以同時(shí)取確定值，哪些力學(xué)量不可以同時(shí)取確定值，引入了對(duì)易的概念uaouoa算符算符、 不對(duì)易不對(duì)易如果兩個(gè)算符、 ，先后作用到一個(gè)波函數(shù)上，作用的結(jié)果與作用的順序無(wú)關(guān)，如uaouoaaooa兩個(gè)兩個(gè)算符算符、對(duì)易對(duì)易可以同時(shí)測(cè)定可以同時(shí)測(cè)定如果兩個(gè)算符滿足amma兩個(gè)算符反對(duì)易0,oa0,oa1 算