第四講行程問題教師版

1、 戴氏教育集團 戴氏精品堂學(xué)校 成龍總校 學(xué)員姓名： 年 級：五年級奧數(shù) 來自學(xué)校： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 教 師：唐 高 國 第 4 次課課 題行程問題授課時間：6 月 1 日備課時間：5月 15 日教學(xué)目標利用多種技巧與方法來求解行程問題重點、難點熟練運用畫圖和比例求解行程問題考點及考試要求奧數(shù)考試中必考的應(yīng)用部分的題目教學(xué)內(nèi)容內(nèi)容概述 運動路線或路況復(fù)雜，與周期性或數(shù)論知識相關(guān)聯(lián)，需進行優(yōu)化設(shè)計等具有相當難度的行程問題工作效率發(fā)生改變，要完成的項目及參加工作的對象較多的工程問題 典型問題 1。如圖21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小張和小王在上坡時步行速度是每小時4千米，平路

2、時步行速度是每小時5千米，下坡時步行速度是每小時6千米小張和小王分別從A和D同時出發(fā)，1小時后兩人在E點相遇已知E在BC上，并且E至C的距離是B至C距離的當小王到達A后9分鐘，小張到達D那么A至D全程長是多少千米? 【分析與解】 BE是BC的，CE是BC的，說明DC這段下坡，比AB這段下坡所用的時間多，也就是DC這一段，比AB這一段長，因此可以在DC上取一段DF和AB一樣長，如下圖： 另外，再在圖上畫出一點G，使EG和EC一樣長，這樣就表示出，小王從F到C.小張從B到G 小王走完全程比小張走完全程少用9分鐘，這時因為小張走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他們兩人的其余行程走下坡、平路、上坡

3、各走一樣多) 因此，小王從F至C，走下坡所用時間是9=18(分鐘) 因此得出小張從B至G也是用18分鐘，走GE或CE都用6分鐘走B至C全程(平路)要30分鐘 從A至曰下坡所用時間是60-18-6=36(分鐘)； 從D至C下坡所用時間是60-6=54(分鐘)； A至D全程長是(36+54)+30=11.5千米 2如圖2l-2，A，B兩點把一個周長為l米的圓周等分成兩部分藍精靈從B點出發(fā)在這個圓周上沿逆時針方向做跳躍運動，它每跳一步的步長是米，如果它跳到A點，就會經(jīng)過特別通道AB滑向曰點，并從B點繼續(xù)起跳，當它經(jīng)過一次特別通道，圓的半徑就擴大一倍已知藍精靈跳了1000次，那么跳完后圓周長等于多少米

4、? 【分析與解】 4=即藍精靈跳4次到A點圓半徑擴大一倍即乘以2后，跳8次到A點 圓半徑乘以4后，跳16次到A點 依次類推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A點1000次跳完后圓周長是1=128米 3已知貓跑5步的路程與狗跑3步的路程相同；貓跑7步的路程與兔跑5步的路程相同而貓跑3步的時間與狗跑5步的時間相同；貓跑5步的時間與兔跑7步的時間相同，貓、狗、兔沿著周長為300米的圓形跑道，同時同向同地出發(fā)問當它們出發(fā)后第一次相遇時各跑了多少路程? 【分析與解】 方法一：由題意，貓與狗的速度之比為9:25，貓與兔的速度之比為25:49 設(shè)單位時間內(nèi)貓跑1

5、米，則狗跑米，兔跑米 狗追上貓一圈需300(-1)= 單位時間， 兔追上貓一圈需300(-1)= 單位時間 貓、狗、兔再次相遇的時間，應(yīng)既是的整數(shù)倍，又是的整數(shù)倍. 與的最小公倍數(shù)等于兩個分數(shù)中，分子的最小公倍數(shù)除以分母的最大公約數(shù),即=8437.5 上式表明，經(jīng)過8437.5個單位時間，貓、狗、兔第一次相遇此時，貓跑了8437.5米，狗跑了8437.5=23437.5米，兔跑了8437.5=165375米方法二：有貓跑35步的路程與狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而貓跑15步的時間與狗跑25步的時間，兔跑21步的時間相同所以貓、狗、兔的速度比為，它們的最大公約數(shù)為. 即設(shè)貓的速度為，那

6、么狗的速度為 ，則兔的速度為 于是狗每跑300(625-225)= 單位時追上貓； 兔每跑300(441-225)= 單位時追上貓 而，所以貓、狗、兔跑了單位時，三者相遇 有貓跑了225=8437.5米，狗跑了625=23437.5米，兔跑了441=16537.5米 評注：方法一、方法二中的相遇時間一個是8437.5單位，一個是單位，可是答案卻是一樣的，為什么呢? 在方法二中，如果按下面解答會得到不同答案，又是為什么?哪個方法有問題呢?自己試著解決，并在今后的學(xué)習中避免這種錯誤 于是狗每跑300(625-225) 625=米追上貓； 兔每跑300(441-225)441=米追上貓；而， 4一條

7、環(huán)形道路，周長為2千米甲、乙、丙3人從同一點同時出發(fā)，每人環(huán)行2周現(xiàn)有自行車2輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行出發(fā)，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎已知甲步行的速度是每小時5千米，乙和丙步行的速度是每小時4千米，3人騎車的速度都是每小時20千米請你設(shè)計一種走法，使3個人2輛車同時到達終點那么環(huán)行2周最少要用多少分鐘? 【分析與解】 如果甲、乙、丙均始終騎車，則甲、乙、丙同時到達，單位“1”的路程只需時間；乙、丙情況類似，所以先只考慮甲、乙，現(xiàn)在甲、乙因為步行較騎車行走單位“1”路程，耽擱的時間比為： 而他們需同時出發(fā)，同時到達，所以耽擱的時間應(yīng)相等于是步行的距離比應(yīng)為耽擱時間的倒數(shù)比，即

8、為4:3；因為丙的情形與乙一樣，所以甲、乙、丙三者步行距離比為4:3:3 因為有3人，2輛自行車，所以，始終有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于環(huán)形道路的周長 于是，甲步行的距離為2=0.8千米；則騎車的距離為22-0.8=3.2千米； 所以甲需要時間為()60=19.2分鐘 環(huán)形兩周的最短時間為19.2分鐘 參考方案如下：甲先步行0.8千米，再騎車3.2千米； 乙先騎車2.8千米，再步行0.6千米，再騎車0.6千米(丙留下的自行車) ； 丙先騎車3.4千米，再步行0.6千米5甲、乙兩項工程分別由一、二隊來完成在晴天，一隊完成甲工程需要12天.二隊完成乙工程需要15天；在雨天，一隊的工作效率要

9、下降40，二隊的工作效率要下降10結(jié)果兩隊同時完成這兩項工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天? 【分析與解】 晴天時，一隊、二隊的工作效率分別為和，一隊比二隊的工作效率高-=；雨天時，一隊、二隊的工作效率分別為(1-40%)=和(1-10%)=,這時二隊的工作效率比一隊高-=.由:=5:3知，要兩個隊同時完工，必須是3個晴天，5個雨天，而此時完成了工程的3+5=，所以，整個施工期間共有6 個晴天,10個雨天. 6畫展9時開門，但早有人來排隊等候入場從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多如果開3個入場口，9時9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9時5分就沒有人排隊那么第一個觀眾到達的

10、時間是8時幾分? 【分析與解】 由題意可得兩個等式，如下： (開門前排隊人數(shù))+(9分鐘內(nèi)到的人數(shù))=3(每個入口每分鐘進的人數(shù))9 (開門前排隊人數(shù))+(5分鐘內(nèi)到的人數(shù))=5(每個入口每分鐘進的1人數(shù))5 -得:4分鐘內(nèi)到的人數(shù)=2(每個人口每分鐘進的人數(shù))從而有:每個入口每分鐘進的人數(shù)=2(每分鐘進的人數(shù))代入得，開門前排隊人數(shù)=252-5=45分鐘內(nèi)到的人數(shù)因此第一個人是8點15(=60-45)分到達的 7甲、乙、丙3名搬運工同時分別在3個條件和工作量完全相同的倉庫工作，搬完貨物甲用10小時，乙用12小時，丙用15小時第二天3人又到兩個較大的倉庫搬運貨物，這兩個倉庫的工作量也相同甲在A

11、倉庫，乙在B倉庫，丙先幫甲后幫乙，結(jié)果干了16小時后同時搬運完畢問丙在A倉庫做了多長時間? 【分析與解】 設(shè)第一天的每個倉庫的工作量為“1”， 那么甲、乙、丙的合作工作效率為=，第二天，甲、乙、丙始終在同時工作，所以第二天兩個倉庫的工作總量為16=4，即第二天的每個倉庫的工作總量為42=2于是甲工作了16小時只完成了16=的工程量，剩下的2-=的工程量由丙幫助完成，則丙需工作=6(小時).丙在A倉庫做了6小時 第22講 復(fù)雜工程問題內(nèi)容概述本講主要講解需運用比和比例及分段解決的較復(fù)雜問題，還有一些需借助程來求解的問題經(jīng)典問題1.甲、乙兩個工程隊修路，最終按工作量分配8400元工資按兩隊原計劃的

12、工作效率，乙隊應(yīng)獲5040元實際從第5天開始，甲隊的工作效率提高了1倍，這樣甲隊最終可比原計劃多獲得960元那么兩隊原計劃完成修路任務(wù)要多少天? 【分析與解】 開始時甲隊拿到84005040=3360元，甲乙的工資比等于甲乙的工效比，即為3360：50402：3； 甲提高工效后，甲乙的工資及工效比為 (3360+960)：(5040960)=18：17； 設(shè)甲開始的工效為“2”，那么乙的工效為“3”，設(shè)甲在提高工效后還需天完成任務(wù) 有(24+4)：(34+3)=18：17，化簡為216+54=136+68，解得 于是共有工程量為所以原計劃60(2+3)12天完成 2. 規(guī)定兩人輪流做一個工程，

13、要求第一個人先做1個小時,第二個人接著做一個小時，然后再由第一個人做1個小時，然后又由第二個人做1個小時，如此反復(fù)，做完為止如果甲、乙輪流做一個工程需要98小時，而乙、甲輪流做同樣的程只需要96小時，那乙單獨做這個工程需要多少小時? 【分析與解】即甲工作2小時，相當與乙1小時所以，乙單獨工作需小時 3甲、乙、丙三人完成一件工作，原計劃按甲、乙、丙順序每人輪流工作一天，正好整數(shù)天完成，若按乙、丙、甲的順序每人輪流工作一天，則比原計劃多用天；若按丙、甲、乙的順序每人輪流工作一天，則比原計劃多用天已知甲單獨完成這件工作需1075天問：甲、乙、丙一起做這件工作，完成工作要用多少天? 【分析與解】 我們

14、以甲、乙、丙各工作一天為一個周期，即3天一個周期 通過上一題的類似分析，我們知道第一種情況下一定不是完整周期內(nèi)完成； 但是在這題中，就有兩種可能，第一種可能是完整周期+1天，第二種可能是完整周期+2天 驗證第一種可能不成立(詳細過程略) 再看第二種可能：即丙工作1天，甲只需要工作天代入第3種情況知： 即甲工作1天，乙需要工作天 因為甲單獨做需1075天，所以工作效率為于是乙工作效率為丙工作效率為 于是，一個周期內(nèi)他們完成的工程量為 則需個完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成 所以第二種可能是正確的 于是，采用第二種可能算出的數(shù)據(jù)：一個周期內(nèi)他們完成的工程量： 需要天 而甲、乙、丙合作一

15、天完成的工程量正好是甲、乙、丙輪流做一天一個周期內(nèi)的工程量于是，甲、乙、丙合作這件工程需天 4如圖，有一個正方體水箱，在某一個側(cè)面相同高度的地方有三個大小相同的出水孔用一個進水管給空水箱灌水，若三個出水孔全關(guān)閉，則需要用1個小時將水箱灌滿；若打開一個出水孔，則需要用1小時5分鐘將水箱灌滿；若打開兩個出水孔，則需要用72分鐘將水箱灌滿那么，若三個出水孔全打開，則需要用多少分鐘才能將水箱灌滿? 【分析與解】 方法一：設(shè)打開一個出水孔時，灌滿出水孔以上的部分需要時間為，則不打開出水孔和打開兩個出水孔灌滿水孔以上部分所需時間為 有工作效率之間的關(guān)系： 通分為化簡為解得所以，不打開出水孔需分鐘灌滿水孔以

16、上的水，而灌滿出水孔以下的水為分鐘 視水孔以上的水箱水量為單位“l(fā)”，有一個出水孔的工作效率為： 那么打開三個出水孔的工作效率為 所以，打開三個出水孔灌滿整個水箱所需的時間為分鐘 方法二：在打開一個出水孔時，從小孔流出的水量相當于進水管分鐘的進水量；在打開兩個出水孔時，從小孔流出的水量相當于進水管分鐘的進水量而且注意到，后者出水孔出水的時間比前者多分鐘. 因此兩個出水孔7分鐘的排水量相當于進水管分鐘的進水量因此進水管1分鐘的進水量相當于一個出水孔7分鐘的排水量 那么在打開一個出水孔的時候，小孔排水分鐘，也就是說，進水，進水分鐘后，水面達到小孔高度 因此打開三個出水孔的時候，灌滿水箱需要分鐘第2

17、3講 運用比例求解行程問題內(nèi)容概述 本講主要講解如何利用比例求解行程問題，而行程問題中的三個量：速度、時間、路程在某些時候存在比例關(guān)系典型問題 1甲、乙、丙三輛汽車各以一定的速度從4地開往B地若乙比丙晚出發(fā)10分鐘，則乙出發(fā)后40分鐘追上丙；若甲比乙又晚出發(fā)20分鐘，則甲出發(fā)后1小時40分鐘追上丙；那么甲出發(fā)后追上乙所需要的時間為多少分鐘? 【分析與解】 我們知道開始時，乙走了40分鐘與丙走了40+10=50分鐘的路程相等，所以速度比為乙：丙=5：4；甲走了100分鐘，丙走了100+20+lO=130分鐘所走的路程相等，所以速度比為：甲：丙=13：10 于是甲：乙：丙=26：25：20 于是，

18、乙比甲先走20分鐘，路程相當于2025=500，速度差相當于26-25=l； 于是，追擊時間為5001=500分鐘 2. 客車和貨車分別從甲、乙兩地出發(fā)相向而行如果兩車出發(fā)的時間都是6：00，那么它們在11：00相遇；如果客車和貨車分別于7：00和8：00出發(fā)，那么它們在12：40相遇現(xiàn)在，客車和貨車出發(fā)的時間分別是10：00和8：00，則何時它們相遇?(本題中所述的時間均為同一天，采用24小時制計法) 【分析與解】 第一次，客、貨各走了5小時；第二次，客、貨各走了5小時40分，4小時40分，但是兩次客、貨所走的路程和不變；于是有300客+300貨=340客+280貨；40客=20貨，所以客、貨兩車的速度比為1：2：將全程看成“1”，則客、貨車速度和為15=；所以客車速度為； 貨車的速度為；貨車先出發(fā)2小時，于是行走了；于是剩下的路程為；還需要的時間為小時，還需要3小時40分鐘，在10：00后計時，所以相遇時間為13點40分 3在久遠的古代，有一個智者叫做芝諾，他曾經(jīng)說過：兔子永遠追不上10米外的烏龜他這樣解釋：當兔子跑到10米處(即烏龜原來