D31中值定理高等數(shù)學(xué)課件

1、D31中值定理高等數(shù)學(xué)第三章中值定理中值定理研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三節(jié))推廣推廣微分中值定理 與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 D31中值定理高等數(shù)學(xué)一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理第一節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 D31中值定理高等數(shù)學(xué)費(fèi)馬費(fèi)馬(fermat)引理引理一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理,)(0有定義在x且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf證證: 設(shè), )()

2、(, )(0000 xfxxfxxx則)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x)(xfy 費(fèi)馬 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證畢D31中值定理高等數(shù)學(xué)羅爾（羅爾（ Rolle ）定理）定理)(xfy 滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則, ,)(baxMxf因此.0)(, ),(fba在(

3、a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點(diǎn), ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:1) 定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,1,010,)(xxxxfx1yo則由費(fèi)馬引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)使2) 定理?xiàng)l件只是充分的. 本定理可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b

4、 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn),. 0)(f證明提示證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)例例1. 證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證證: 1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假設(shè)另有, 0)(

5、1xf使在以)(xf10, xx為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,之間在10, xx至少存在一點(diǎn),. 0)(f使但矛盾, 故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思維逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,)(x在 a , b 上連續(xù) , 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且證證: 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxa

6、bafbf)()()(a由羅爾定理知至少存在一點(diǎn), ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0)()()(abafbff證畢D31中值定理高等數(shù)學(xué)拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論推論: 若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿足,0)( xf則)(xf在 I 上必為常數(shù).)(xf證證: 在 I 上任取兩點(diǎn), )(,2121xxxx上用拉在,21xx日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上為常數(shù) .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令則機(jī)動(dòng)

7、 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)例例2. 證明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx證證: 設(shè),arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論可知Cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所證等式在定義域 上成立. 1, 1自證自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn): 欲證Ix時(shí),)(0Cxf只需證在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)例例3. 證明不等式證證: 設(shè), )1l

8、n()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣? )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應(yīng)有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開(kāi)區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開(kāi)區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf滿足 :)(xF0)(

9、xF)()(aFbF)(abFba0要證)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)證證: 作輔助函數(shù))()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax且, ),(ba使, 0)(即由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn).)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對(duì)嗎 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF兩個(gè) 不一定相同錯(cuò)錯(cuò)! !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

10、回 結(jié)束 上面兩式相比即得結(jié)論. D31中值定理高等數(shù)學(xué)柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:xyo弦的斜率切線斜率機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué))0() 1 (ff)0() 1 (FF例例4. 設(shè)).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在xf至少存在一點(diǎn)),1,0(使證證: 結(jié)論可變形為設(shè)則)(, )(xFxf在 0, 1 上滿足柯西中

11、值定理?xiàng)l件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff證明機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)11lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfef例例5. 試證至少存在一點(diǎn)), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 證證: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

12、 D31中值定理高等數(shù)學(xué)例例5. 試證至少存在一點(diǎn)), 1(e使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的應(yīng)用(1) 證明恒等式(2) 證明不等式(3) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論關(guān)鍵關(guān)鍵: 利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)

13、費(fèi)馬引理機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)4412 3412思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 填空題填空題1) 函數(shù)4)(xxf在區(qū)間 1, 2 上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件, 則中值._2) 設(shè)有個(gè)根 , 它們分別在區(qū)間341530)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程D31中值定理高等數(shù)學(xué)2. 設(shè),0)(Cxf且在),0(內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn), ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由結(jié)論可知, 只需證0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf驗(yàn)證)(xF在,0

14、上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)xxfxFsin)()(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)3. 若)(xf可導(dǎo), 試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有)()(xfxf的零點(diǎn). 提示提示: 設(shè),0)()(2121xxxfxf欲證:, ),(21xx使0)()(ff只要證0)()(ffee亦即0 )(xxxfe作輔助函數(shù), )()(xfexFx驗(yàn)證)(xF在,21xx上滿足羅爾定理?xiàng)l件.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)4. 思考: 在0,00,sin)(12xxxxfx,0 x),0(, )0)()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(x

15、xx111sinsin2cos當(dāng),00 x時(shí). 0cos1問(wèn)問(wèn)是否可由此得出 ?0coslim10 xx不能不能 !因?yàn)?(x是依賴于 x 的一個(gè)特殊的函數(shù).因此由上式得表示 x 從右側(cè)以任意方式趨于 0 .0 x應(yīng)用拉格朗日中值定理得上對(duì)函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué) )(111nnf作業(yè)作業(yè)P132 7, 8 , 10 , 12 , 14 , 15提示提示:xexfx)()(題15. )(nxxf)0(f 0)0(f0題14. 考慮第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)費(fèi)馬費(fèi)馬(1601 1665)法國(guó)數(shù)學(xué)家, 他是一位律師, 數(shù)學(xué)只是

16、他的業(yè)余愛(ài)好. 他興趣廣泛, 博覽群書(shū)并善于思考, 在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn). 他特別愛(ài)好數(shù)論, 他提出的費(fèi)馬大定理:,2無(wú)整數(shù)解方程時(shí)當(dāng)nnnzyxn至今尚未得到普遍的證明. 他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來(lái)的.D31中值定理高等數(shù)學(xué)拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn), 近百余年來(lái), 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作, 他是對(duì)分析數(shù)學(xué) 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.D31中值定理高等數(shù)學(xué)柯西柯西(1789 1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家, 他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫(xiě)的分析教程, 無(wú)窮小分析概論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等, 有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠(yuǎn) .對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一, 他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書(shū) 7 本 , D31中值定理高等數(shù)學(xué)備用題備用題求證存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 設(shè) 1 , 0可導(dǎo)，且,0) 1 (f在連續(xù)，) 1 ,0()(xf證證：)()(xfxxn, )