17專題八　二次函數(shù)壓軸題類型二　面積問題

1、第二部分第二部分 攻克專題攻克專題 得高分得高分專題八二次函數(shù)壓軸題專題八二次函數(shù)壓軸題類型二面積問題類型二面積問題導(dǎo)導(dǎo)方方 法法 指指1. 面積最值問題面積最值問題背景背景作圖作圖列式列式求解求解有一條邊在坐標(biāo)有一條邊在坐標(biāo)軸上：以在坐標(biāo)軸上：以在坐標(biāo)軸上的邊為底邊軸上的邊為底邊，過頂點(diǎn)作垂線過頂點(diǎn)作垂線SABCAB|yC|根據(jù)函數(shù)增根據(jù)函數(shù)增減性求最值減性求最值12導(dǎo)導(dǎo)方方 法法 指指背景背景作圖作圖列式列式求解求解沒有邊在坐標(biāo)沒有邊在坐標(biāo)軸上：過動(dòng)點(diǎn)軸上：過動(dòng)點(diǎn)作平行于坐標(biāo)作平行于坐標(biāo)軸的直線軸的直線SPACPP|xCxA|根據(jù)函數(shù)根據(jù)函數(shù)增減性求增減性求最值最值12背景背景作圖作圖列式

2、列式求解求解當(dāng)四邊形有兩邊當(dāng)四邊形有兩邊在坐標(biāo)軸上在坐標(biāo)軸上，過過動(dòng)點(diǎn)作坐標(biāo)軸的動(dòng)點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線或連接動(dòng)點(diǎn)垂線或連接動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)與原點(diǎn)S四邊形四邊形COBPS梯形梯形EOBPSCEPS四邊形四邊形COBPSPCOSPOB根據(jù)函根據(jù)函數(shù)增減數(shù)增減性求最性求最值值導(dǎo)導(dǎo)方方 法法 指指背景背景作圖作圖列式列式求解求解當(dāng)四邊形有兩邊當(dāng)四邊形有兩邊在坐標(biāo)軸上在坐標(biāo)軸上，過過動(dòng)點(diǎn)作坐標(biāo)軸的動(dòng)點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線或連接動(dòng)點(diǎn)垂線或連接動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)與原點(diǎn)S四邊形四邊形COBPS梯形梯形EOBPSCEPS四邊形四邊形COBPSPCOSPOB根據(jù)函根據(jù)函數(shù)增減數(shù)增減性求最性求最值值導(dǎo)導(dǎo)方方 法法 指指導(dǎo)導(dǎo)方方 法法 指指

3、2. 面積倍數(shù)關(guān)系面積倍數(shù)關(guān)系背景背景問題問題如圖如圖，平面直角坐標(biāo)系中平面直角坐標(biāo)系中，拋物線拋物線l交交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)A、B，與與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)點(diǎn)C在在x軸下方的圖象上軸下方的圖象上，AC交交y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)M在拋物線上求一點(diǎn)在拋物線上求一點(diǎn)P，使得使得SACPSACBACB導(dǎo)導(dǎo)方方 法法 指指作圖作圖求法求法將將AC平移至直線平移至直線a和和b的位置的位置，a、b交交y軸于軸于E、F，過過M作作MGa于于G，MHb于于H，由由MGMH可知可知MEMF，于是于是a、b與與l的交點(diǎn)均為點(diǎn)的交點(diǎn)均為點(diǎn)P求直線求直線AC解析式解析式，再求直線再求直線a的解析式的解析式，由由MEMF確定確

4、定直線直線b的解析式的解析式，再再分別求直線分別求直線a、b與與l的交點(diǎn)坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)導(dǎo)導(dǎo)方方 法法 指指2. 面積倍數(shù)關(guān)系面積倍數(shù)關(guān)系背景背景問題問題如圖如圖，平面直角坐標(biāo)系中平面直角坐標(biāo)系中，拋物線拋物線l交交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)A、B，與與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)點(diǎn)C在在x軸下方的圖象上軸下方的圖象上，AC交交y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)M在拋物線上求一點(diǎn)在拋物線上求一點(diǎn)P，使得使得SACPSBCP導(dǎo)導(dǎo)方方 法法 指指作圖作圖求法求法過點(diǎn)過點(diǎn)C作作AB平行線與平行線與l的交點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)即為點(diǎn)P；取；取AB中點(diǎn)中點(diǎn)E，直線直線CE與與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)P由由AEBE可證可證AGEBHE，于是高于是高

5、AGBH導(dǎo)導(dǎo)方方 法法 指指2. 面積倍數(shù)關(guān)系面積倍數(shù)關(guān)系背景背景問題問題如圖如圖，平面直角坐標(biāo)系中平面直角坐標(biāo)系中，拋物線拋物線l交交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)A、B，與與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)點(diǎn)C在在x軸下方的圖象上軸下方的圖象上，AC交交y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)M在拋物線上求一點(diǎn)在拋物線上求一點(diǎn)P，使得使得SACPk(k為定值為定值，k0)導(dǎo)導(dǎo)方方 法法 指指作圖作圖求法求法計(jì)算出計(jì)算出AC的長(zhǎng)度及的長(zhǎng)度及AC邊的高邊的高h(yuǎn)，將將AC向上或向下平移得到向上或向下平移得到與與AC相距相距h個(gè)單位的直線個(gè)單位的直線，此此直線與直線與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)P由由AC邊上的高邊上的高h(yuǎn)及及AOMMGE，可求可求

6、得得ME的長(zhǎng)的長(zhǎng)，于是便可求于是便可求得平移后的直線解析式得平移后的直線解析式及與及與l的交點(diǎn)坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)導(dǎo)導(dǎo)方方 法法 指指計(jì)算出計(jì)算出kSABC的值以后的值以后，將將問題轉(zhuǎn)化為上述問題中的面問題轉(zhuǎn)化為上述問題中的面積定值問題積定值問題求法求法問題問題在拋物線上求多在拋物線上求多一點(diǎn)一點(diǎn)P，使得，使得 (k為定值且為定值且k0)ACPABCSkS 例例2如圖，已知拋物線如圖，已知拋物線yx2bxc與與x軸交于軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C，拋物線的，拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)P，與直線，與直線BC交于點(diǎn)交于點(diǎn)M，連，連接接PB、P

7、C.(1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；(2)在第一象限內(nèi)的拋物線上是在第一象限內(nèi)的拋物線上是例例2題圖題圖典例精講否存在點(diǎn)否存在點(diǎn)D，使得，使得BCD的面積最大？若存在，求出的面積最大？若存在，求出點(diǎn)點(diǎn)D的坐標(biāo)及的坐標(biāo)及BCD面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；明理由；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)拋物線上是否存在點(diǎn)Q(不與不與P重合重合)，使得，使得QMB與與PMB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由存在，請(qǐng)說明理由(1)【自主作答自主作答】(1)解：由題意可知點(diǎn)解：由題意可知點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)，點(diǎn)B(3

8、，0)是拋物線與是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，軸的兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線的解析式為拋物線的解析式為y(x1)(x3)x22x3；練練熱熱 身身 小小習(xí)習(xí)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(t，_)，點(diǎn)，點(diǎn)C的坐的坐標(biāo)為標(biāo)為(0，_)，已知點(diǎn)，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3，0)，則則OB_；點(diǎn)；點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_，點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_，PM_2t22t333(1，4)(1，2)(2)【思維教練思維教練】要求要求BCD面積的最大值，觀察發(fā)現(xiàn)，面積的最大值，觀察發(fā)現(xiàn)，SBCD不容易利用底不容易利用底高求出過點(diǎn)高求出過點(diǎn)D作作x軸的垂線交軸的垂線交BC于于H，將，將BCD分成兩部分，利用分成兩部分，利用SBCD

9、SCDHSBDH，其中將，其中將DH作為底邊，由于高的和為定值，即作為底邊，由于高的和為定值，即求線段求線段DH的最大值的最大值【自主作答自主作答】(2)解：存在設(shè)解：存在設(shè)D(t，t 22t3)，如解圖，過點(diǎn)，如解圖，過點(diǎn)D作作DHx軸交軸交BC于點(diǎn)于點(diǎn)H，連接，連接CD，BD.B(3，0)，C(0，3)，直線直線BC的解析式為的解析式為yx3，H(t，t3)，SBCD DH(xBxC) (t 22t3t3)31212 ，當(dāng)當(dāng)t時(shí)，即時(shí)，即D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 時(shí)時(shí)，SBCD有最大值，有最大值，且最大面積為且最大面積為 ；22393327=()22228ttt3023 1524（ ， ）278

10、例例2題解圖題解圖(3)【思維教練思維教練】首先確定頂點(diǎn)首先確定頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)同的坐標(biāo)，然后根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，再結(jié)合平行線之間底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，再結(jié)合平行線之間的距離處處相等來求解即可的距離處處相等來求解即可【自主作答自主作答】(3)解：存在解：存在由由(1)得得P(1，4)，過點(diǎn)，過點(diǎn)P且與且與BC平行的直線與拋物線的平行的直線與拋物線的交點(diǎn)，即為所求交點(diǎn)，即為所求Q點(diǎn)點(diǎn)直線直線BC的解析式為的解析式為yx3，PM2， 過點(diǎn)過點(diǎn)P且與且與BC平行的直線平行的直線 為為yx32x5，例例2題解圖題解圖1l聯(lián)立聯(lián)立 解得解得 (舍去舍去) ， (2，3)，M

11、(1，2)，設(shè)設(shè)PM與與x軸交于軸交于E點(diǎn)，點(diǎn)，PMEM2，過點(diǎn)過點(diǎn)E且與且與BC平行的直線平行的直線 為為yx32x1，122221,34xxyy2523yxyxx 1Q2l1Q2523yxyxx 1Q2l2523yxyxx 1Q1Q2l1Q1Q2l1Q2523yxyxx 2l1Q122221,34xxyy2523yxyxx 2l1Q2523yxyxx 122221,34xxyy2523yxyxx 1Q122221,34xxyy2523yxyxx 2l1Q122221,34xxyy2523yxyxx 從而過點(diǎn)從而過點(diǎn)E且與且與BC平行的直線平行的直線l2與拋物線的交點(diǎn)也為所求與拋物線的交點(diǎn)也為所求Q點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立聯(lián)立 ， 解得解得 2123yxyxx 113172,1172xy 223172,1172xy 23317117317117(,),(,),2222QQ2123yxyxx 23317117317117(,),(,),2222QQ1131