高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件第三節(jié)冪級數(shù)

1、)(. 2連連續(xù)續(xù)性性、求求導(dǎo)導(dǎo)、求求積積分分冪冪級級數(shù)數(shù)的的分分析析運運算算).()(,)(.),()(),(,00右右連連續(xù)續(xù)或或在在左左連連續(xù)續(xù)在在則則和和函函數(shù)數(shù)收收斂斂或或在在若若冪冪級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間則則和和函函數(shù)數(shù)為為的的收收斂斂半半徑徑為為設(shè)設(shè)冪冪級級數(shù)數(shù)rxrxxsrxrxxarrxsxsrxannnnnn )(1 連連續(xù)續(xù)性性、性性質(zhì)質(zhì).),()()()(,)(,),(),(,01111100有有相相同同的的收收斂斂半半徑徑與與冪冪級級數(shù)數(shù)且且有有逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)公公式式可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)則則在在和和函函數(shù)數(shù)為為的的收收斂斂半半徑徑為為設(shè)設(shè)冪冪級級數(shù)數(shù)nnn

2、nnnnnnnnnnnnnnnxaxnarrxxnaxaxaxsxsrrxsrxa )(2 可可微微性性、性性質(zhì)質(zhì).1);,(,1)()()(:,)(,),(),(,01010000000具具有有相相同同的的收收斂斂半半徑徑與與且且冪冪級級數(shù)數(shù)且且有有逐逐項項積積分分公公式式可可積積內(nèi)內(nèi)則則在在和和函函數(shù)數(shù)為為的的收收斂斂半半徑徑為為設(shè)設(shè)冪冪級級數(shù)數(shù) nnnnnnnnnnxnnxnnnxnnnxaxnarrxxnadxxadxxadxxsxsrrxsrxa)(3 可積性可積性、性質(zhì)性質(zhì).,10并并求求和和函函數(shù)數(shù)收收斂斂區(qū)區(qū)間間及及收收斂斂域域的的收收斂斂半半徑徑求求冪冪級級數(shù)數(shù) nnnx、例

3、例1解解; 1; 121lim1121lim rnnnnnn.,1)1(0收收斂斂萊萊布布尼尼茲茲級級數(shù)數(shù) nnn.,111100發(fā)發(fā)散散調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù) nnnnn).1 , 1 :1)(0 的的收收斂斂域域為為nnnxxs; 1)0( s, 0),1 , 1(: xx令令);(1111)(1010 xsxnxxnxxsnnnn ;1)(011 nnnxxs; 0)0(1 s;111)(0011xxnxxsnnnn dxxssxsx0111)()0()().1ln()1ln(1100 xxdxxxx )11(),1ln()(1 xxxs)0, 11( ;)1ln()(11)(10 xxxxx

4、sxnxxsnn)(lim)1(01xssx ; 2ln)1ln(lim01 xxx.0, 10, 11,)1ln()( xxxxxxs三、級數(shù)求和三、級數(shù)求和.3)1(1的的和和求求數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù) nnnn; 11)1()2)(1(lim;)1(:1 rnnnnxnnnnn收收斂斂半半徑徑冪冪級級數(shù)數(shù)令令);(3)1(,)1()(3111snnxnnxsnnnn 令令、例例2解解)()1()1()(11110010 xsnxdxxnndxxnndxxsnnnxnxnnx ;)1()()()(212121121 xxxxxxxnxxxsnnnnnn;)1()1(12222xxxxxx ;)1

5、 (23xx .492)1(49)1(2)(13313131 nnnns 422221)1()1(2)1(2)1()()(xxxxxxxxsxs四、函數(shù)的冪級數(shù)展開四、函數(shù)的冪級數(shù)展開泰泰勒勒級級數(shù)數(shù)的的概概念念. 1 .)(!)(.)(!)(.)(!2)()()(:)()(,)(000002000000nnnnnxxnxfxxnxfxxxfxxxfxftaylorxfxxf 級級數(shù)數(shù)為為的的泰泰勒勒函函數(shù)數(shù)具具有有任任意意階階可可導(dǎo)導(dǎo)的的附附近近在在假假設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù).!)0(.!)0(.! 2)0()0()0(:)()(0)()(2nnnnnxnfxnfxfxffmaclaurinxf 級數(shù)

6、為級數(shù)為的麥克勞林的麥克勞林函數(shù)函數(shù)直直接接展展開開法法.2. 0)()!1()(lim0)(lim)(!)()(:. 0)()(,:)(,)(1000)1(000)(0 nnnnnnnnnxxnxxxfxrxxnxfxfxrxfnxfxxf 即即的泰勒公式中的余項的泰勒公式中的余項時時當當是是勒級數(shù)的充分必要條件勒級數(shù)的充分必要條件在該鄰域可以展開成泰在該鄰域可以展開成泰則則的某鄰域有任意階導(dǎo)數(shù)的某鄰域有任意階導(dǎo)數(shù)在在若函數(shù)若函數(shù)1定定理理證證明明)()(!)()(000)(xrxxkxfxfnknkk )()()(!)(000)(xrxfxxkxfnknkk . 0)(lim)()(!)(

7、lim000)( xrxfxxkxfnnknkkn.)(展展開開成成麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù)將將函函數(shù)數(shù)xexf 、例例3解解. 10 ,)!1(!1.!211)(:)(12 nxnxxxnexnxxexfexf的的麥麥克克勞勞林林公公式式為為1)!1()(0 nxnxnexr 1)!1( nxxne ;)!1(1 nxenx102lim)!1()!2(lim12 nxnxnxnnnn 11)!1(nnnx收斂收斂級數(shù)級數(shù)比值判別法比值判別法; 0)!1(lim1 nxnn)(0)( nxrn).,(!.!1.! 21102 xnxxnxxennnx.sin)(的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成將將

8、函函數(shù)數(shù)xxxf 、例例4解解);()!12()1(.! 5! 3sin)(:sin)(221253xrnxxxxxxfxxfnnn 的的麥麥克克勞勞公公式式為為;)!32()(3222 nxxrnn;)!32(2)32(sin)!32()()(3232)32(22 nnnnxnnxxnxfxr 0)!1(lim1nxnn0)!32(lim32 nxnn; 0)(22 xrn.)!12()1(.)!12()1(.! 5! 3sin0121253 nnnnnnxnxxxxx. 10),( x).,( x)1 , 1(.,!)1).(1(.!2)1(1)1(2 xxnnxxxn .)!12()1(

9、.)!12()1(.! 5! 3sin0121253 nnnnnnxnxxxxx).,(!.!1.! 21102 xnxxnxxennnx間接展開法間接展開法. 3、例例5.)0(),ln()(的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開為為將將函函數(shù)數(shù)xaxaxf 解解. 11)1()(1100 xxxxnnnnn)1ln(x dxxdxxxxnnn 000)1(11 dxxxnnn00)1(xnnnnx0101)1( . 11,1)1(10 xnxnnn. 11)1()(1100 xxxxnnnnn)1ln(ln)1(ln)ln(axaaxaxa 1)()1(ln10naxannn.)1()1(ln110ax

10、aanxannnn .1,651)(2的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開為為將將函函數(shù)數(shù) xxxxf、例例6解解)21(121)1(1131216512 xxxxxxnnnnnnxx)21()1(21)1()1(00 ;)1)(211()1(10nnnnx 1211; 111 xx).0 , 2( x、例例7.,cos)(2的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開為為將將函函數(shù)數(shù)xxxf 解解;2cos212122cos1cos)(2xxxxf ),(.)!12()1(.! 5! 3sin1253 xnxxxxxnn),(.)!2()1(.! 4! 21)(sincos242 xnxxxxxnnxx2cos2121co

11、s2 02)!2()2()1(2121nnnnx).,(;)!2(4)1(212102 xnxnnnn五、冪級數(shù)的應(yīng)用五、冪級數(shù)的應(yīng)用公式公式歐拉歐拉)(. 1eulerieexeexxixeixixixixix2sin;2cossincos 01220)!12()()!2()(!)(nnnnnixnixnixnixe 01202)!12()()!2()(nnnnnixnix)!12() 1()!2() 1(12002 nxinxnnnnnnxixsincos .10,sin410 要要求求誤誤差差不不超超過過計計算算定定積積分分dxxx近近似似計計算算方方面面的的應(yīng)應(yīng)用用.2解解)!12()1()!12()1(1sin20120 nxnxxxxnnnnnn 0102102010)!12()1()!12()1(sinnnnnnnd