平面向量知識點總結精華

1、必修4 平面向量知識點小結一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來表示.注意：不能說向量就是有向線段，為什么？ 提示：向量可以平移.舉例1 已知，則把向量按向量平移后得到的向量是_. 結果：2.零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，規(guī)定：零向量的方向是任意的；3.單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）；4.相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5.平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共線向量，但

2、共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?；三點共線共線.6.相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量記作.舉例2 如下列命題：（1）若，則.（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同.（3）若，則是平行四邊形.（4）若是平行四邊形，則.（5）若，則.（6）若，則.其中正確的是 . 結果：（4）（5）二、向量的表示方法1.幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；2.符號表示：用一個小寫的英文字母來表示，如，等；3.坐標表示：在平面

3、內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，叫做向量的坐標表示.結論：如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同.三、平面向量的基本定理定理 設同一平面內的一組基底向量，是該平面內任一向量，則存在唯一實數(shù)對，使.（1）定理核心：；（2）從左向右看，是對向量的分解，且表達式唯一；反之，是對向量的合成.（3）向量的正交分解：當時，就說為對向量的正交分解舉例3 （1）若，則 . 結果：.（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 ba.， b.， c.， d.，（3）已知分別是的邊，上的中線,且，,則可用向量表示為 . 結

4、果：.（4）已知中，點在邊上，且，則的值是 . 結果：0.四、實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：（1）模：；（2）方向：當時，的方向與的方向相同，當時，的方向與的方向相反，當時，注意：.五、平面向量的數(shù)量積1.兩個向量的夾角：對于非零向量，作，則把稱為向量，的夾角.當時，同向；當時，反向；當時，垂直.2.平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內積或點積），記作：，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注：數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量.舉例4 （1）中，則_. 結果：.（2）已知，與的夾角為，則 _. 結果：1.（

5、3）已知，則_. 結果：.（4）已知是兩個非零向量，且，則與的夾角為_. 結果：.3.向量在向量上的投影：，它是一個實數(shù)，但不一定大于0.舉例5 已知，且，則向量在向量上的投影為_. 結果：.4.的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積.5.向量數(shù)量積的性質：設兩個非零向量，其夾角為，則：（1）；（2）當、同向時，特別地，；是、同向的充要分條件；當、反向時，是、反向的充要分條件；當為銳角時，且、不同向，是為銳角的必要不充分條件；當為鈍角時，且、不反向；是為鈍角的必要不充分條件.（3）非零向量，夾角的計算公式：；.舉例6 （1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_. 結果：或且；（2）已

6、知的面積為，且，若，則，夾角的取值范圍是_. 結果：；（3）已知，且滿足（其中）.用表示；求的最小值，并求此時與的夾角的大小. 結果：；最小值為，.六、向量的運算1.幾何運算（1）向量加法運算法則：平行四邊形法則；三角形法則.運算形式：若，則向量叫做與的和，即；作圖：略.注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量.（2）向量的減法運算法則：三角形法則.運算形式：若，則，即由減向量的終點指向被減向量的終點.作圖：略.注：減向量與被減向量的起點相同.舉例7 （1）化簡： ； ； . 結果：；（2）若正方形的邊長為1，則 . 結果：；（3）若是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為. 結果：直角三角形；（4

7、）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為 . 結果：2；（5）若點是的外心，且，則的內角為 . 結果：.2.坐標運算：設，則（1）向量的加減法運算：，.舉例8 （1）已知點，若，則當_時，點在第一、三象限的角平分線上. 結果：；（2）已知，且，則 .結果：或；（3）已知作用在點的三個力，則合力的終點坐標是 . 結果：.（2）實數(shù)與向量的積：.（3）若，則，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.舉例9 設，且，則的坐標分別是_. 結果：.（4）平面向量數(shù)量積：.舉例10 已知向量，.（1）若，求向量、的夾角；（2）若，函數(shù)的最大值為，求的值.結果：（1）

8、；（2）或.（5）向量的模：.舉例11 已知均為單位向量，它們的夾角為，那么 . 結果：. （6）兩點間的距離：若，則.舉例12 如圖，在平面斜坐標系中，平面上任一點關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若，其中分別為與軸、軸同方向的單位向量，則點斜坐標為.（1）若點的斜坐標為，求到的距離；（2）求以為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系中的方程.結果：（1）2；（2）.七、向量的運算律1.交換律：，；2.結合律：，；3.分配律：，.舉例13 給出下列命題： ； ； ； 若，則或；若則；.其中正確的是 . 結果：.說明：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩

9、邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結合律，即，為什么？八、向量平行(共線)的充要條件.舉例14 (1)若向量，當_時，與共線且方向相同. 結果：2.（2）已知，且，則 . 結果：4.（3）設，則 _時，共線. 結果：或11.九、向量垂直的充要條件.特別地.舉例15 (1)已知，若，則 .結果：；（2）以原點和為兩個頂點作等腰直角三角形，則點的坐標是 .結果：(1,3)或（3，1）；（3）已知向量，且，則的坐標是 .結果：或.十、線段的定比分點1.定義：設點是直線上異于、的任

10、意一點，若存在一個實數(shù) ，使，則實數(shù)叫做點分有向線段所成的比，點叫做有向線段的以定比為的定比分點.2.的符號與分點的位置之間的關系（1）內分線段，即點在線段上；（2）外分線段時，點在線段的延長線上，點在線段的反向延長線上.注：若點分有向線段所成的比為，則點分有向線段所成的比為.舉例16 若點分所成的比為，則分所成的比為 . 結果：.3.線段的定比分點坐標公式：設，點分有向線段所成的比為，則定比分點坐標公式為. 特別地，當時，就得到線段的中點坐標公式說明：（1）在使用定比分點的坐標公式時，應明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標.（2）在具體計算時應根據(jù)題設條件，靈活地確定起點，分點和終

11、點，并根據(jù)這些點確定對應的定比.舉例17 （1）若，且，則點的坐標為 . 結果：；（2）已知，直線與線段交于，且，則 . 結果：或.十一、平移公式如果點按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線.說明：（1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標不變性，可別忘了?。∨e例18 （1）按向量把平移到，則按向量把點平移到點_. 結果：；（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則_. 結果：.十二、向量中一些常用的結論1.一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；2.模的性質：.（1）右邊等號成立條件：同向或中有；（2）左邊等號成立條件：反向或中有；（3）當不共線.3.三角形重心公式在中，若，則其重心的坐標為.舉例19 若的三邊的中點分別為、，則的重心的坐標為 .結果：.5.