12-1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)ppt課件

1、1無窮級數(shù) 無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)表示函數(shù)研究性質(zhì)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)付氏級數(shù)付氏級數(shù)第第12 12章章2常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 *四、柯西審斂原理四、柯西審斂原理 第一節(jié)第一節(jié) 第12章 3教學(xué)目的與要求： 理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念；理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念；掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件；掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件；掌握掌

2、握幾何級數(shù)幾何級數(shù)( (等比級數(shù))的收斂性的收斂性重點(diǎn)：重點(diǎn)： 無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念 幾何級數(shù)幾何級數(shù)( (等比級數(shù))的收斂性的收斂性 4一、問題的提出一、問題的提出 引例引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正),2, 1,0(23nn邊形, 這個(gè)和逼近于圓的面積 A .0a1a2ana設(shè) a0 表示,時(shí)n即naaaaA210內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積, 則圓內(nèi)接正邊形面積為n235引例2.小球從 1 米高處自由落下, 每次跳起的高度減少一半, 問小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)? 說明道理.由自由落體運(yùn)動(dòng)方程2g21

3、ts 知g2st 則小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g1263. 2( s )設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時(shí)間, 6二、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念二、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 定義：給定一個(gè)數(shù)列,321nuuuu將各項(xiàng)依,1nnu即1nnunuuuu321稱上式為無窮級數(shù)，其中第 n 項(xiàng)nu叫做級數(shù)的一般項(xiàng),次相加, 簡記為部分和數(shù)列部分和數(shù)列 niinnuuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 72. 2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散: :如如果果ns沒沒有有極極限限, ,則則稱稱無無窮窮級級數(shù)數(shù)

4、 1nnu發(fā)發(fā)散散. .8即即 常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )當(dāng)級數(shù)收斂時(shí), 稱差值nnssr 為級數(shù)的余項(xiàng)余項(xiàng).余項(xiàng)余項(xiàng)nnssr 21nnuu 1iinu)0lim( nnr無窮級數(shù)收斂性舉例：無窮級數(shù)收斂性舉例：KochKoch雪花雪花. .做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形了面積

5、有限而周長無限的圖形“KochKoch雪花雪花”9觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面積為面積為周長為周長為依次類推依次類推;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設(shè)三角形設(shè)三角形播放播放10, 2 , 1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn , 3 , 2 n周長為周長為面積為面積為)94(31)94(31)94(31311221 nA第第 次分叉：次分叉：n11于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A結(jié)論

6、：雪花的周長是無界的，而面積有界結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界雪花的面積存在極限（收斂）雪花的面積存在極限（收斂）12解解時(shí)時(shí)如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan 13,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqasnn 1lim,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)如果如果1 q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn14例例 2 2 判判別別無無窮窮級級數(shù)數(shù) 11232nnn的的收收斂斂性性

7、. . 解解nnnu 1232,3441 n已知級數(shù)為等比級數(shù)，已知級數(shù)為等比級數(shù)，,34 q公比公比, 1| q.原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散15例例 3 3 判別無窮級數(shù)判別無窮級數(shù) )12()12(1531311nn 的收斂性的收斂性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn16技巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求和)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和和為為級級數(shù)數(shù)收收斂斂17 例4.判別級數(shù)2211lnnn的斂散性 .解解:

8、211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原級數(shù)收斂 , 其和為.2ln18解解 173 . 2 7531017101710173 . 2 03100110173 . 2nn等比級數(shù)等比級數(shù)1001 q公公比比10011110173 . 23 .4951147 19三、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)三、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì) 1 1 如果級數(shù)如果級數(shù) 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnku亦

9、收斂亦收斂. .性質(zhì)性質(zhì) 2 2 設(shè)兩收斂級數(shù)設(shè)兩收斂級數(shù) 1nnus, , 1nnv, ,則級數(shù)則級數(shù) 1)(nnnvu收斂收斂, ,其和為其和為 s. .結(jié)論結(jié)論: : 級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .結(jié)論結(jié)論: : 收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. .20說明說明:(2) 若兩級數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則)(1nnnvu 必發(fā)散 . 但若二級數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .

10、(用反證法可證)21例例 5 5 求求級級數(shù)數(shù) 121)1(5nnnn的的和和. . 解解 121)1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn nknkkg11115令令),111(5 n22, 5)111(lim5lim ngnnn,211是是等等比比級級數(shù)數(shù) nn，首首項(xiàng)項(xiàng)是是公公比比21, 121 qnnnnh lim211. 61521)1(51 nnnn故故, 121121 23性性質(zhì)質(zhì) 3 3 若若級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1knnu也也收收斂斂)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .證明證明 nkkkuuu21nkkknuuu 2

11、1,kknss knknnnnss limlimlim 則則.kss 類似地可以證明在級數(shù)前面加上（或去掉）有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散類似地可以證明在級數(shù)前面加上（或去掉）有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散性性.24性質(zhì)性質(zhì) 4 4 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和于原來的和. .證明證明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 則則,52s ,93s ,nms 25注意注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂. )11()11(例例如如 1111推論推論 如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散如果加括弧后所成的級

12、數(shù)發(fā)散, ,則原來級則原來級數(shù)也發(fā)散數(shù)也發(fā)散. . 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散26例6.判斷級數(shù)的斂散性判斷級數(shù)的斂散性:141141131131121121解解: 考慮加括號后的級數(shù))()()(1411411311311211211111nnan12nnna2發(fā)散 ,從而原級數(shù)發(fā)散 .nn12127四、收斂的必要條件四、收斂的必要條件級級數(shù)數(shù)收收斂斂. 0lim nnu證明證明 1nnus,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趨趨于于零零它它的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)無無限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),nun級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件: :28注意注意1.1.如果級數(shù)

13、的一般項(xiàng)不趨于零如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零, ,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 發(fā)散發(fā)散2.2.必要條件不充分必要條件不充分. .?, 0lim但級數(shù)是否收斂但級數(shù)是否收斂有有 nnu n131211例例如如調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)29討論討論nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和為為假假設(shè)設(shè)調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)收收斂斂)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散)(210 n便便有有.這是不可能的這是不可能的30 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8項(xiàng)4項(xiàng)2項(xiàng)2項(xiàng) 項(xiàng)m221每

14、每項(xiàng)項(xiàng)均均大大于于21)1(1 mm項(xiàng)項(xiàng)大大于于即即前前.級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散由性質(zhì)由性質(zhì)4 4推論推論, ,調(diào)和級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)發(fā)散. .31例5. 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性, 若收斂求其和若收斂求其和:;!) 1 (1nnnnne解解: (1) 令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 則nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故euuunn11從而,0limnnu這說明級數(shù)(1) 發(fā)散.111)1 ()1 (nnnne11) 1(! ) 1(nnnnennnne!32123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn

15、)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121進(jìn)行拆項(xiàng)相消進(jìn)行拆項(xiàng)相消,41limnnS這說明原級數(shù)收斂 ,.41)2)(1(1nnn其和為)2)(1(121121nn(2) 331212)3(nnn32252321nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132這說明原級數(shù)收斂, 其和為 3 ., 3limnnS故(3) 34的充要條件是:*五、柯西審斂原理

16、 定理定理.收斂級數(shù)1nnu, 0,ZNpnnnuuu21時(shí)，當(dāng)Nn ,Zp對任意有證證: 設(shè)所給級數(shù)部分和數(shù)列為),2, 1(nSn因?yàn)閚pnpnnnSSuuu21所以, 利用數(shù)列 ),2, 1(nSn的柯西審斂原理(第一章第六節(jié)) 即得本定理的結(jié)論 .35例7. .112的斂散性nnpnnnuuu21解解: ,Zp對任意有利用柯西審斂原理判別級數(shù) 222)(1)2(1) 1(1pnnn)(1(1)2)(1(1) 1(1pnpnnnnn)111()2111()111(pnpnnnnnpnn11n136, 0，取1N當(dāng) nN 時(shí),Zp對任意都有nuuupnnn121由柯西審斂原理可知, 級數(shù)

17、.112收斂nn37六、小結(jié)六、小結(jié)1 1. .由由定定義義, ,若若ssn, ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;2.2.當(dāng)當(dāng)0lim nnu, ,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散; ;3 3. .按按基基本本性性質(zhì)質(zhì). .常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本概念常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本概念基本審斂法基本審斂法38思考題思考題 設(shè)設(shè) 1nnb與與 1nnc都都收收斂斂，且且nnncab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1nna收收斂斂？39思考題解答思考題解答能由柯西審斂原理即知能由柯西審斂原理即知40一一、 填填空空題題: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,則則 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _

18、_ _ _ _ _；2 2、 若若nnnna! , ,則則 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 若若級級數(shù)數(shù)為為 642422xxxx則則 na_ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 若若級級數(shù)數(shù)為為 97535432aaaa則則 na_ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、 若若級級數(shù)數(shù)為為 615413211 則則當(dāng)當(dāng) n_ _ _ _ _ _時(shí)時(shí) na_ _ _ _ _ _；當(dāng)當(dāng) n_ _ _ _ _ _ _時(shí)時(shí) na_ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 等等比比級級數(shù)數(shù) 0nnaq, ,當(dāng)當(dāng)

19、_ _ _ _ _ _時(shí)時(shí)收收斂斂；當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散 . .練習(xí)題練習(xí)題41三、由定義判別級數(shù)三、由定義判別級數(shù) )12)(12(1751531311nn的收斂性的收斂性. .四、判別下列級數(shù)的收斂性四、判別下列級數(shù)的收斂性: :1 1、 n31916131；2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn；3 3、 nn101212014110121 . .五、利用柯西收斂原理判別級數(shù)五、利用柯西收斂原理判別級數(shù) 61514131211的斂散性的斂散性 . .42練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ； 4 4、12)1(11 nann； 5 5、kkkk21,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1 qq. .三、收斂三、收斂. . 四、四、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收