高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：第三篇 第4講 定積分的概念及微積分基本定理

1、抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考第第4講定積分的概念與微積分基本定理講定積分的概念與微積分基本定理【2014年高考會這樣考年高考會這樣考】1考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理理2利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運動的質(zhì)點利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運動的質(zhì)點的運動路程的運動路程.抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考點梳理考點梳理(1)定積分的定義及相關(guān)概念定積分的定義及相關(guān)概念一般地，給定一個在區(qū)間一般地，給定一個在區(qū)間a，b上的函數(shù)上的函數(shù)yf(x

2、)，將，將a，b區(qū)間分成區(qū)間分成n份，分點為：份，分點為：ax0 x1x2xn1xnb.第第i個小區(qū)間為個小區(qū)間為xi1，xi，設(shè)其長度為，設(shè)其長度為xi，在這個小區(qū)間，在這個小區(qū)間上取一點上取一點i，使，使f(i)在區(qū)間在區(qū)間xi1，xi上的值最大，設(shè)上的值最大，設(shè)Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.1定積分定積分抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考在這個小區(qū)間上取一點在這個小區(qū)間上取一點i，使，使f(i)在區(qū)間在區(qū)間xi1，xi上的值上的值最小，設(shè)最小，設(shè)sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn. 抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考

3、向個考向揭秘揭秘3年高考年高考其中其中叫作叫作_，a叫作積分的下限，叫作積分的下限，b叫作叫作積分的上限，積分的上限，_叫作被積函數(shù)叫作被積函數(shù)(2)定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)積分號積分號f(x)抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考2微積分基本定理微積分基本定理(2)利用牛頓利用牛頓萊布尼茨公式求定積分的關(guān)鍵是萊布尼茨公式求定積分的關(guān)鍵是_ _，可將基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式逆向，可將基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式逆向使用使用求被求被積函數(shù)的原函數(shù)積函數(shù)的原函數(shù)抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)定積分與曲邊梯形的面積定積分與曲邊梯形的面積定

4、積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積這要結(jié)合具體圖形來定：一定就是曲邊梯形的面積這要結(jié)合具體圖形來定：3定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考一個公式一個公式由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運算數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運算兩條結(jié)論兩條結(jié)論(1)當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上

5、方時，定積分的值為正，軸上方時，定積分的值為正，當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值為負(fù)，當(dāng)軸下方時，定積分的值為負(fù)，當(dāng)位于位于x軸上方的曲邊梯形與位于軸上方的曲邊梯形與位于x軸下方的曲邊梯形面積相軸下方的曲邊梯形面積相等時，定積分的值為零等時，定積分的值為零(2)當(dāng)定積分在物理中應(yīng)用時，要知道加速度對時間積分為當(dāng)定積分在物理中應(yīng)用時，要知道加速度對時間積分為速度，速度對時間積分是路程速度，速度對時間積分是路程【助學(xué)助學(xué)微博微博】抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考三條性質(zhì)三條性質(zhì)(1)常數(shù)可提到積分號外；常數(shù)可提到積分號外；(2)和差的

6、積分等于積分的和差；和差的積分等于積分的和差；(3)積分可分段進(jìn)行積分可分段進(jìn)行抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考1下列積分的值等于下列積分的值等于1的是的是 () 答案答案C考點自測考點自測抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考A1 Be1 Ce De1答案答案C抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案D抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考4(教材習(xí)題改編教材習(xí)題改編)汽車以汽車以v(3t2)m/s作變速直線運動作變速直線運動時，在第時，在第1 s至第至第2 s間的間的

7、1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是內(nèi)經(jīng)過的路程是_抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例1】計算以下定積分計算以下定積分 審題視點審題視點 求積分關(guān)鍵是求其原函數(shù)，當(dāng)原函數(shù)較難求積分關(guān)鍵是求其原函數(shù)，當(dāng)原函數(shù)較難 求時，可考慮由其幾何意義解得求時，可考慮由其幾何意義解得考向一定積分的計算考向一定積分的計算抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3

8、個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案C抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考審題視點審題視點 畫出圖形，由圖象交點確定積分區(qū)間，由圖象畫出圖形，由圖象交點確定積分區(qū)間，由圖象中曲線間的位置關(guān)系確定被積函數(shù)，然后用積分求面積中曲線間的位置關(guān)系確定被積函數(shù)，然后用積分求面積考向二考向二利用定積分求面積利用定積分求面積【例例2】 求曲線求曲線yx2，直線，直線yx，y3x圍成的圖形的面圍成的圖形的面 積積解解在同一直角坐標(biāo)系下作出曲線在同一直角坐標(biāo)系下作出曲線yx2，直線，直線yx，y3x的圖象，所求面積為圖中陰影部分的面積的圖象，所求面積為圖

9、中陰影部分的面積抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考 求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟(1)畫出圖形，確定圖形的范圍，通過解方程組求出交點的畫出圖形，確定圖形的范圍，通過解方程組求出交點的橫坐標(biāo)定出積分的上、下限；橫坐標(biāo)定出積分的上、下限；(2)確定被積函數(shù)，特別要確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置；注意分清被積函數(shù)的上、下位置；(3)寫出平面圖形面積的寫出平面圖形面積的定積分的表達(dá)式；定積分的表達(dá)式；(4)運用微積分基本定理計算定積分，求運

10、用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積出平面圖形的面積抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【訓(xùn)練訓(xùn)練2】 (2013寧波五校聯(lián)考寧波五校聯(lián)考)由曲線由曲線y2x2，直線，直線y4x2，直線，直線x1圍成的封閉圖形的面積為圍成的封閉圖形的面積為_抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考審題視點審題視點 從題圖上可以看出物體在從題圖上可以看出物體在0t1時做加速運時做加速運動，動，1t3時做勻速運動，時做勻速運動，3t6時也做加速運動，但時也做加速運動，但加速度不同，也

11、就是說加速度不同，也就是說0t6時，時，v(t)為一個分段函數(shù)，為一個分段函數(shù)，故應(yīng)分三段求積分才能求出曲邊梯形的面積故應(yīng)分三段求積分才能求出曲邊梯形的面積考向三定積分的應(yīng)用考向三定積分的應(yīng)用抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解解a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.設(shè)設(shè)t s后的速度為后的速度為v，則，則v200.4t.令令v0，即，即200.4t0，得，得t50.設(shè)列車由開始制動到停止所走過的路程為設(shè)列車由開始制動

12、到停止所走過的路程為s，【訓(xùn)練訓(xùn)練3】 列車以列車以72 km/h的速度行駛，當(dāng)制動時列車獲得的速度行駛，當(dāng)制動時列車獲得加速度加速度a0.4 m/s2，則列車應(yīng)在進(jìn)站前多長時間，以，則列車應(yīng)在進(jìn)站前多長時間，以及離車站多遠(yuǎn)處開始制動？及離車站多遠(yuǎn)處開始制動？抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【命題研究命題研究】 定積分及其應(yīng)用是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，近定積分及其應(yīng)用是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，近三年在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，一般考查定積分的計算及三年在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，一般考查定積分的計算及其在幾何上的應(yīng)用，主要以填空題或選擇題的形式出其在幾何上的應(yīng)用，主要以填空題或選擇題的形

13、式出現(xiàn)，難度較易現(xiàn)，難度較易熱點突破熱點突破88定積分模型方法示例定積分模型方法示例抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考一、求分段函數(shù)一、求分段函數(shù)(帶絕對值的函數(shù)帶絕對值的函數(shù))的積分的積分(1)分段函數(shù)在區(qū)間分段函數(shù)在區(qū)間a，b上的定積分可分成幾段定積分的上的定積分可分成幾段定積分的和的形式和的形式(2)分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式是確定的，一般分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式是確定的，一般按照原函數(shù)分段的情況分，無需分得過細(xì)按照原函數(shù)分段的情況分，無需分得過細(xì)抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考教你審題教你審題 求分段函

14、數(shù)解析式，根據(jù)定積分的幾何意義求求分段函數(shù)解析式，根據(jù)定積分的幾何意義求圖形面積圖形面積抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考反思反思 被積函數(shù)實際上就是曲邊梯形上邊界的函數(shù)減去下被積函數(shù)實際上就是曲邊梯形上邊界的函數(shù)減去下邊界函數(shù)，當(dāng)某一邊界是不同函數(shù)的圖象時要分段去求邊界函數(shù)，當(dāng)某一邊界是不同函數(shù)的圖象時要分段去求抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若若f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間為偶函數(shù)，且在區(qū)間a，a上連續(xù)，則上連續(xù)，則二、求奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分二、求奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分抓住抓住3個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【真題探究真題探究2】 (2012湖北湖北)已已知二次函數(shù)知二次函數(shù)yf(x)的圖象如的圖象如圖所示，則它與圖所示，則它與x軸所圍圖形軸所圍圖形的面積為的面積為 ()教你審題教你審題 根據(jù)圖形求二次函數(shù)根