中學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)

1、提供全套，各專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì) 分類號(hào) 論文編號(hào)6 本本 科科 生生 畢畢 業(yè)業(yè) 論論 文文 中學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)中學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng) 姓 名： 院 系： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 年級(jí)專業(yè)： 2010 級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師： 2014 年 2 月 誠信承諾書 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研 究所取得的成果.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或 集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果.對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體， 均已在文中以明確方式標(biāo)明.本人完全意識(shí)到本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān). 作者簽名： 日 期： 關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的聲明 本人完全了解

2、興義民族師范學(xué)院有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué) 院保留或向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱 和借閱；本人授權(quán)興義民族師范學(xué)院可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入 有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或其它復(fù)制手段保存論文和匯編本 學(xué)位論文. (保密論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定) 作者簽名： 導(dǎo)師簽名： 日 期： 目 錄 摘要 .I ABSTRACT.II 第一章 緒論.1 1.1 什么是空間想象能力.1 第二章 空間想象能力的培養(yǎng).2 2.1 認(rèn)識(shí)平面和立體幾何圖形.2 2.2 繪制立體圖形、自制幾何體.3 2.4 例題講解及練習(xí).7 第三章 空間想象能力在高考中

3、的應(yīng)用.9 3.1 高考習(xí)題檢測(cè).9 3.2 空間想象能力在高考中的重要性.11 第四章 結(jié)論.13 參考文獻(xiàn).14 致謝.15 摘要 從培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力所存在的問題和重難點(diǎn)入手，有針對(duì)性地培養(yǎng) 學(xué)生的空間想象能力做出解答，主要得出了以下幾點(diǎn)：貫徹直觀性原則, 使學(xué) 生由模糊的、感性的認(rèn)識(shí)上升到抽象的數(shù)學(xué)圖形；結(jié)合思維訓(xùn)練, 進(jìn)一步培養(yǎng) 學(xué)生的空間想象能力；觀察比較， 培養(yǎng)學(xué)生空間觀念，通過對(duì)比能使學(xué)生對(duì)空 間有更好的理解.經(jīng)過對(duì)學(xué)生的空間想象能力的培養(yǎng)，讓其在解決立體幾何問題 中得心應(yīng)手，能夠幫助學(xué)生提高邏輯思維能力，使學(xué)生在高考中取得較好的成 績(jī). 關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：中學(xué)生空間想象能力

4、 立體幾何 觀察比較 抽象 Abstract From cultivating the students ability of space imagination and difficult point of the problem existing in targeted to develop the students ability of space imagination to make solutions, mainly concluded the following: to implement visual principle, so that the students from f

5、uzzy, perceptual knowledge rise to abstract mathematical patterns; Combined with thinking training, and further develop the students ability of space imagination; Observation, comparison, cultivate students space concept, through the contrast can make the students to have a better understanding of t

6、he space. Through the cultivation of the students ability of space imagination, let the handy in solving the problem of solid geometry, can help students improve logical thinking ability, make students to get good marks in the college entrance examination. Keywords: middle school students space imag

7、ination ability Solid geometry Look for abstract 第一章 緒論 1.1 什么是空間想象能力4 所謂空間想象能力就是人們對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象 思維的能力。這種能力的特點(diǎn)是：在頭腦中構(gòu)成研究對(duì)象的空間形狀和簡(jiǎn)明的 結(jié)構(gòu)，并能將對(duì)事物所進(jìn)行的一些操作，在頭腦中進(jìn)行相應(yīng)的思考。 空間想象能力是大腦通過觀察、觸摸，以及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)得到的一種能思考物 體形狀、位置的能力。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，空間想象能力是形成客觀事物的大小、 形狀、位置關(guān)系的表象以及對(duì)其進(jìn)行加工、改造、創(chuàng)新的能力，是順利有效地 處理幾何圖形，探明其關(guān)系特征所需要的一種特殊的數(shù)學(xué)能力

8、。 中學(xué)數(shù)學(xué)中的空間想象能力主要是指，學(xué)生對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀 察、分析、抽象思考和創(chuàng)新的能力。它是新課標(biāo)賦予立體幾何課程教學(xué)的主要 目的。在教學(xué)上，力求做到使學(xué)生能將空間物體形態(tài)抽象為空間幾何圖形，能 從給定的立體圖形想象出實(shí)體形狀以及幾何元素在空間的實(shí)際位置關(guān)系，并能 用語言符號(hào)或式子表達(dá)出來且能正確解題。中學(xué)階段在平時(shí)的教學(xué)中要求空間 概念“逐級(jí)”形成；掌握空間形式的基本表達(dá)方法；按不同階段的知識(shí)要求發(fā) 展空間想象力。 第二章 空間想象能力的培養(yǎng) 2.12.1 認(rèn)識(shí)平面和立體幾何圖形 首先讓學(xué)生明白什么是平面幾何圖形，它是由什么構(gòu)成的。顯然圖形是由 點(diǎn)和直線所構(gòu)成的，在同一個(gè)平面上

9、不同的直線相交于不同的點(diǎn)構(gòu)成不同的平 面幾何圖形10。 立體幾何圖形是什么，它由什么構(gòu)成？ 我們所生活的空間是三維空間，而平面幾何圖形是一個(gè)二維空間，點(diǎn)、直 線屬于一維空間。而平面幾何圖形是由點(diǎn)和直線構(gòu)成的。從中學(xué)教材我們知道 點(diǎn)動(dòng)成線，先動(dòng)成面，面動(dòng)成體。也就是立體幾何圖形是由平面幾何圖形所構(gòu) 成的。下面我們對(duì)這些圖形進(jìn)行認(rèn)識(shí) （1）一維空間。 A A B BA A a b 點(diǎn)是空間基本圖形，線由無窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成。 （2）二維空間和三維空間。 （長(zhǎng)方形） （正方形） （三角形） （圓） （正方體） （圓柱） 如果說一維空間是基礎(chǔ)空間，那么多維空間就由一維空間運(yùn)動(dòng)而成。 通過對(duì)平面幾何圖形和空間

10、立體圖形的認(rèn)識(shí)，將繪制出立體幾何圖形和自 制立體幾何體，進(jìn)一步加深對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí)從而提升空間想象能力。 2.2 繪制立體圖形、自制幾何體 愛因斯坦說過: 興趣是最好的老師. 因此,在初次接觸這樣的知識(shí)前，讓學(xué) 生學(xué)會(huì)在平面紙上繪出一些簡(jiǎn)單立體幾何圖形，并根據(jù)這些圖形自制出幾何體， 既讓學(xué)生感知這些圖形的魅力，又能加深學(xué)生對(duì)幾何體的認(rèn)識(shí)，并提高他們?cè)?幾何體方面的興趣，認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)這些知識(shí)的重要性和必要性. 這樣,能充分調(diào)動(dòng) 學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性, 為進(jìn)一步學(xué)習(xí)這方面的知識(shí)打下良好的基礎(chǔ). （1）教會(huì)學(xué)生畫出以下幾何圖形，并讓他們自己動(dòng)手，繪出更多生活中的 幾何體。 要繪制好一個(gè)幾何體，基本功很重

11、要。首先是點(diǎn)的繪制，根據(jù)給定的位置， 準(zhǔn)確地繪出相應(yīng)的圖像；對(duì)于線來說，一定要畫直，這樣有助于直觀地認(rèn)識(shí)圖 像，不要作成彎曲的；點(diǎn)和線的構(gòu)造，就會(huì)形成角度，在沒有量角器等情況下， 要學(xué)會(huì)對(duì)角度進(jìn)行估計(jì)，越準(zhǔn)確越好。 在以上圖形都學(xué)會(huì)后，就要對(duì)平面進(jìn)行作圖，如長(zhǎng)方形、圓、四邊形、三 角形等的構(gòu)造，根據(jù)要求和需要能夠準(zhǔn)確地做出平面圖形，這樣在以后解題中 有很大幫助。 特別提醒，在剛開始作圖時(shí)，必須要有尺子、圓規(guī)、鉛筆、量角器、橡皮 擦等作圖工具，切記平手就將其畫出來。作圖需要規(guī)范化，這樣有助于培養(yǎng)中 學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，在圖形上產(chǎn)生美感，從而提升中學(xué)生學(xué)習(xí)空間圖形的興 趣，體會(huì)一種數(shù)學(xué)美和圖形美。

12、 立體幾何圖形的繪制需要體現(xiàn)出它的立體感。它的畫法主要有斜二測(cè)畫法、 根據(jù)側(cè)視圖作圖、用虛線代替想象的空間。如：正方體的畫法，用斜二測(cè)畫法 大體做出其形狀，正方體由六個(gè)面組成但由于視覺的角度我們只能直觀地看到 三個(gè)面，在作圖時(shí)看不到的面要有虛線體現(xiàn)出來，這樣有更強(qiáng)的立體感。其它 的立體圖形以是如此。 正方體： 三棱錐： 我們可以看到這樣繪制的立體圖形很有立體感，如果我們不畫出虛線的部 分是否還是具有這么強(qiáng)的立體感勒？ 簡(jiǎn)單介紹一下斜二測(cè)畫法步驟9： （1）在已知圖形中，取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn) O，畫直觀xy 圖是，把他們畫成對(duì)應(yīng)的和軸，兩軸交于點(diǎn)，且使得，它們 x y 0 45x o

13、 y 確的平面表示水平面； （2）已知圖形中，平行于軸和軸的線段，在直觀圖中，分別畫成平行xy 于軸和軸的線段； x y （3）已知圖形中，平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行x 于軸的線段長(zhǎng)度，變?yōu)樵瓉淼囊话?。y 小結(jié)：橫同，豎半，平行性不變，90 變?yōu)?45 我們可以清楚地看到這樣畫出的立體圖形就沒有空間感，所以同學(xué)們?cè)诶L 制立體幾何圖形時(shí)要把看不見的地方用虛線畫出。 正方體： 三棱錐： 練習(xí) 1：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)所學(xué)到的知識(shí)，畫出你們平時(shí)所見過的空間立體圖 形，看誰畫得又漂亮又多。 （2）一般幾何體的制作。 如：正方體的制作，由于正方體由六個(gè)面組成，首先我們?cè)诩埳袭嫵隽鶄€(gè) 相接的正

14、方形，之后用剪刀將所畫的圖形剪切下來然后進(jìn)行折疊最后做成一個(gè) 正方體。 如： 經(jīng)過學(xué)生自己動(dòng)手操作，進(jìn)行折紙、畫圖訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)由圖形到事物的過度 得 到其正方體. 練習(xí) 2：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)以上制作圖形的步驟，自己回去后制作出練習(xí) 1 自己畫出的圖形，看誰制得更美觀？ 學(xué)生通過動(dòng)手操作繪制立體幾何圖形和制作幾何體,以自己的動(dòng)手能力為基 礎(chǔ), 逐步發(fā)展空間觀念, 這樣既提高了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和創(chuàng)新能力，又提 高了學(xué)生的空間想象力，同時(shí)還能增加他們對(duì)這方面的興趣，上升為評(píng)價(jià)美的 一種價(jià)值觀，起到了事半功倍的作用. 2.3 應(yīng)用多媒體提高其空間想象能力5 由于多媒體教學(xué)直觀、 生動(dòng)、 形象, 有利于激發(fā)

15、學(xué)生的興趣, 充分調(diào)動(dòng) 學(xué)生的積極性.因此, 我們可以設(shè)計(jì)制作一些圖形課件來輔助教學(xué), 向?qū)W生展示 圖形的動(dòng)態(tài)的變化過程,如正方體的平面展開圖, 讓學(xué)生看到展開的過程和由平 面圖形折成正方體的過程, 再結(jié)合學(xué)生的動(dòng)手操作, 就能初步體驗(yàn)三維與二維 空間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.可以利用幾何畫板等軟件來完成.多媒體輔助教學(xué)過程的加入, 對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力能收到更好的效果. 數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)各種能力的核心，通過思維訓(xùn)練,教給學(xué)生一些思維方 法, 優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì), 可以從根本上提高學(xué)生的空間想象能力. 數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，邏輯思維能力和空間想象能力是數(shù)學(xué)的三大基本能力，這 三大能力要相互協(xié)調(diào)，相互配合,這三種

16、能力缺一不可，在已知三視圖畫出相應(yīng) 的立體圖時(shí)，許多學(xué)生感覺無從下手，實(shí)際上這就需要邏輯思維能力.因此，培 養(yǎng)空間想象能力，還必須結(jié)合思維訓(xùn)練一起進(jìn)行.要善于引導(dǎo)學(xué)生展開想象，并 進(jìn)行比較、歸納、總結(jié)，形成一定規(guī)律性的結(jié)論，自然也就提高了學(xué)生的空間 想象能力. 借助逆向思維訓(xùn)練, 培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力在教學(xué)中有意識(shí)地采用逆向 思維, 會(huì)起到正向思維(常規(guī)思維) 所不能達(dá)到的效果. 如教材有一題: 下面是一物體的三視圖, 試描述該物體的形狀 正視圖 左視圖 俯視圖 此題要求根據(jù)三視圖來想象出立體圖形, 難度較大, 這時(shí)可借助逆向思維, 先畫立體圖形再畫出其三視圖, 學(xué)生發(fā)現(xiàn)了所畫的三視圖與已知

17、的不相符, 那 么就可以在尋找錯(cuò)誤的過程中糾正思維的偏差, 因此空間想象能力得到了進(jìn)一 步的發(fā)展. 2.4 例題講解及練習(xí) 通過對(duì)空間立體幾何題目的練習(xí)加深對(duì)空想想象能力的理解，從而提高空 間想象能力。 1、在三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形最多可以有幾個(gè)（ ） A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè) 分析：在此題的解決過程中需繪制出一個(gè)三棱錐，畫一條棱垂直底面之后 連接個(gè)點(diǎn)得出三棱錐，這樣就很直觀地看出有 3 個(gè)直角。通過數(shù)形結(jié)合能更好 地解決空間幾何題目。 2、如果一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是長(zhǎng)方形，則這個(gè)幾何體可能是（ ） A 長(zhǎng)方體或圓柱 B 正方體或圓柱 C 長(zhǎng)方體或圓臺(tái) D

18、正方體或四棱錐 分析：此題主要考察對(duì)三視圖的理解，已知正視圖和側(cè)視圖都是長(zhǎng)方形， 由于長(zhǎng)方形是對(duì)應(yīng)邊相等臨邊不等故此幾何體可能是長(zhǎng)方體，除了長(zhǎng)方體圓柱 的正視圖和側(cè)視圖同樣也是長(zhǎng)方形，所以該幾何體可能是長(zhǎng)方體和圓柱。 3、當(dāng)圓錐的三視圖中的正視圖是一個(gè)圓時(shí)，側(cè)視圖與俯視圖是兩個(gè)全等的 -三角形。 分析：由于圓錐的正視圖是圓，可以想到該圓錐是倒著放置的，由此可以 推導(dǎo)出側(cè)視圖和俯視圖都是全等的等腰三角形。 練習(xí)： 1、.在棱長(zhǎng)為 1 的正方體上，分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方 形，則截去 8 個(gè)三棱錐后 ，剩下的幾何體的體積是（ ） A. B. C. D. 2 3 7 6 4 5 5

19、6 2、如圖，E、F 分別為正方體的面、面的中心，則四邊形 11A ADD 11B BCC 在該正方體的面上的射影可能是_ EBFD1 3、已知兩個(gè)幾何體的三視圖如下，試求它們的表面 積和體積。單位：CM 通過對(duì)例題的分析和對(duì)習(xí)題的練習(xí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形來表達(dá)數(shù)學(xué)語言， 通過數(shù)學(xué)語言和圖形的互相轉(zhuǎn)化最終應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決空間幾何題，對(duì)培養(yǎng)空 間想象能力起到很好的效果。 第三章 空間想象能力在高考中的應(yīng)用 3.1 高考習(xí)題檢測(cè) 1、一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ). A.22 3 B. 42 3 C. 2 3 2 3 D. 2 3 4 3 解：該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組

20、成的, 圓柱的底面半徑為 1,高為 2,體積為2,四棱錐的底面 邊長(zhǎng)為2 ，高為 3， 所以體積為 2 12 3 23 33 所以該幾何體的體積為 2 3 2 3 . 答案:C 2、在底面是直角梯形的四棱錐 SABCD 中，SAABC,90面 ABCD，SA=AB=BC=1，AD=. 2 1 （）求四棱錐 SABCD 的體積； （）求面 SCD 與面 SBA 所成的二面角的正切值. 解：（）直角梯形 ABCD 的面積是 M A B D C O M底面 4 3 1 2 5 . 01 2 1 ABADBC ， 四棱錐 SABCD 的體積是 SAV 3 1 M底面 4 3 1 3 1 4 1 （）延

21、長(zhǎng) BA、CD 相交于點(diǎn) E，連結(jié) SE，則 SE 是 所求二面角的棱 ADBC，BC = 2AD， EA = AB = SA， SESB， SA面 ABCD，得面 SEB面 EBC，EB 是交線， 又 BCEB， BC面 SEB，故 SB 是 CS 在面 SEB 上的射影， CSSE， 所以BSC 是所求二面角的平面角 22 ABSASB2，BC =1，BCSB， tgBSC 2 2 SB BC 即所求二面角的正切值為 2 2 3、如圖，半徑為 2 的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐 PABCDEF，則此正六棱 錐的 側(cè)面積是_ 答案：6 7 解：顯然正六棱錐 P-ABCDEF 的底面的外接圓是球的一

22、個(gè)大圓，于是可求得底 面邊長(zhǎng)為 2，又正六棱錐 P-ABCDEF 的高依題意可得為 2，依此可求得6 7 4、如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為 2 的正方形， OAABCD 底底，2OA ，M為OA的中點(diǎn)6 （）求四棱錐OABCD的體積； （）求異面直線 OB 與 MD 所成角的大小 解：解：（1）由已知可求得，正方形ABCD的面積4S ，所以，四棱錐 ABCDO 的體積 3 8 24 3 1 V 。 (2) 設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E，連接ME， 則EMD為異面直線 OC 與MD所成的角(或補(bǔ)角) E M D C B A O 由已知，可得5, 3,2MDEMDE， 222 )5()

23、3()2( DEM為直角三角形 3 2 tan EM DE EMD 3 23 arctanEMD所以，異面直線 OC 與 MD 所成角的大小 3 23 arctan 3.2 空間想象能力在高考中的重要性 1.根據(jù)空間幾何形體和根據(jù)表述幾何形體的數(shù)學(xué)語言、符號(hào)，在大腦中展 現(xiàn)出相應(yīng)的空間幾何圖形，并能正確想象其直觀圖13 2.能根據(jù)直觀圖，在大腦中展現(xiàn)出直觀圖表現(xiàn)的的幾何形體及其組成部分 的形狀、位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系12 3.能對(duì)頭腦中已有的空間幾何形體進(jìn)行分解、組合，產(chǎn)生新的空間幾何形 體，并正確分析其位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系. 4.通過這種訓(xùn)練以達(dá)到對(duì)空間想象能力的訓(xùn)練，從而提高學(xué)生的空間想象 能力

24、，以達(dá)到快捷解決高考中各種各樣的空間幾何題，讓學(xué)生的高考分?jǐn)?shù)得到 較高的提升，直接影響學(xué)生的高考命運(yùn)10。 5.空間幾何體的想象，有助于人的大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建立，形成比較完善的 邏輯思維能力，對(duì)于其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，也有很大幫助。 6.達(dá)到“圖形穿腸過，解題心中留”。 第四章 結(jié)論 空間想象能力的培養(yǎng)，對(duì)于人的思維有非常重要的作用，文章對(duì)什么是空 間想象能力，怎樣建立空間想象能力進(jìn)行總闡述。針對(duì)中學(xué)生，如何一步一個(gè) 腳印地建立自己的空間想象思維模式，及具體做法和步驟進(jìn)行總概括，需要建 立嚴(yán)格的作圖習(xí)慣，擁有強(qiáng)大作圖基本功，對(duì)一維空間進(jìn)行描述和強(qiáng)調(diào)，知其 運(yùn)動(dòng)后，可以形成平面。在平面的基礎(chǔ)上，經(jīng)過想象

25、和一定的方法技巧，可以 作出立體幾何圖形，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手動(dòng)腦能力，以實(shí)際生活中所見所聞為基礎(chǔ)， 增強(qiáng)他們的創(chuàng)新意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)和圖形之美，提升他們的幾何興趣，再通過例 題講解和習(xí)題練習(xí)，不但使其貼近生活，又不脫離課本，用多媒體現(xiàn)代教育技 術(shù)和理念，增強(qiáng)知識(shí)的新穎性，使學(xué)生對(duì)于這方面的知識(shí)不再感覺枯燥無味。 在此基礎(chǔ)上，把重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到關(guān)于學(xué)生的切身利益中來高考。高考制度 如何，這不需要多加評(píng)論，但它畢竟是我國選拔人才的一種方式，在沒有找到 更好的方法解決之前，這項(xiàng)制度將會(huì)繼續(xù)延續(xù)，這是每個(gè)中學(xué)生都需要面對(duì)的， 所以將其高考分?jǐn)?shù)往上提升，似乎成了每個(gè)中學(xué)生及老師都必須要做的事情之 一。 空間想象能力的培養(yǎng)，對(duì)于提高高考分?jǐn)?shù)有非常重要的幫助，因?yàn)樗粌H 只是數(shù)學(xué)方面的，而且這種思