沖激信號δ(t)的三種定義與相關性質的簡單討論

1、沖激信號(t)的三種定義與相關性質的簡單討論 信息院1132班 樊列龍 學號：0909113224沖激信號(t)的三種定義與相關性質的簡單討論 信息科學與工程學院1132班 樊列龍 學號：0909113224有一些物理現(xiàn)象，如理學中的爆炸、沖擊、碰撞，電學中的放電、閃電雷擊等，它們都有共同特點： 持續(xù)時間短. 取值極大. 沖擊函數(shù)（或沖擊信號）就是對這些物理現(xiàn)象的科學抽象與描述。通常用(t)表示沖激信號，它是一個具有有限面積的窄而高的尖峰信號，它也可以被稱作函數(shù)或狄拉克（Dirac）函數(shù)，在信號領域中占有非常重要的地位. 由于沖激函數(shù)的特殊性，現(xiàn)給出其兩種不嚴格的定義如下：定義一：用脈沖函數(shù)極

2、限定義沖激信號. 如圖1-1(a)的矩形脈沖，寬為，高為，其面積為A.當A=1稱之為單位沖激信號. 現(xiàn)保持脈沖面積不變，逐漸減小，則脈沖的幅度逐漸增大，當時，矩形脈沖的極限成為單位沖激函數(shù)，即： （1-1）沖擊信號的波形就如1-1(b)所示.(t)只表示在t=0點有“沖激”，在t=0點以外的各處函數(shù)值均為0，其沖激強度（沖激面積）為1，若為A則表示一個沖擊強度為E倍單位值得函數(shù)，描述為A=E(t)，圖形表示時，在箭頭旁邊注上E。(a)逐漸減小的脈沖函數(shù)(b)沖激信號 圖1-1 也可以用抽樣函數(shù)的極限來定義(t)。有 （1-2）對式（1-2）作如下說明： Sa(t)是抽樣信號，表達式為 （1-3

3、）圖 1-2其波形如圖1-2所示，Sa(t)1/t,1/t隨t的增大而減小，sint是周期振蕩的，因而Sa(t)呈衰減振蕩；并且是一個偶函數(shù)，當t=,2,，sint=0，從而Sa(t)=0，是其點 把原點兩側兩個第一個零點之間的曲線部分稱為“主瓣”，其余的衰減部分稱為“旁瓣”。時，并且有： 因其是偶函數(shù)有 （1-4）由式（1-4）知 （1-5） 圖 1-3式（1-5）表明，曲線下的面積為1，且k越大，函數(shù)的振幅越大，振蕩頻率越高，離開原點時，振幅衰減越快，當k時，即得到?jīng)_激函數(shù)，波形表示如圖1-3. 實際上，脈沖函數(shù)的選取并不限于矩形脈沖與抽樣函數(shù)，其他如三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖等地極限，也可

4、以變?yōu)闆_激函數(shù)，作為沖激函數(shù)的定義。相應可以表示為： 三角形脈沖： （1-6）雙邊指數(shù)脈沖： （1-7）鐘形脈沖： （1-8）這些脈沖波變?yōu)橄鄳臎_激函數(shù)，如圖1-4(a)、(b)、(c). （a）三角脈沖（b）指數(shù)脈沖（c）鐘形脈沖圖 1-4定義二：狄拉克(Dirac)定義.狄拉克給出沖激函數(shù)的定義式為 （2-1）這一定義與上述的脈沖極限的定義式一致的，因此把函數(shù)稱為狄拉克函數(shù)?，F(xiàn)給出函數(shù)三個有用的特性：性質一：展縮特性.沖擊函數(shù)是一個高而窄的峰，時間縮放會改變其面積。由于(t)的面積為1，時間壓縮的沖激信號(at)的面積為，由于沖激信號(at)仍在t=0處發(fā)生，所以它可以被看做一個未壓縮的

5、沖激，即有。由于時間位移不會影響面積的大小，所以有 （2-2）式（2-2）可以用定積分中的變量代換法加以證明。特別的當時，式（2-2）變?yōu)?(2-3)從式（2-3）可以看出，(t)是一個偶信號。性質二：抽樣特性（篩選性）. 用沖激函數(shù)乘以任意連續(xù)信號，就可以得到一個沖激函數(shù)，它的強度等于在處的值。即篩選出了。從而有 （2-4）類似有 （2-5）式（2-4）和式（2-5）表明：當連續(xù)時間函數(shù)與單位沖激信號或相乘，并在時間內(nèi)積分，可以得到在處的函數(shù)值。性質三：位移特性. 性質一和性質二表明乘積的面積等于，也就是說移除了在處的值。 （2-6）值得指出的是，沖激信號與階躍信號的關系： （2-7） （2

6、-8）的狄拉克定義也可以表示為 （2-6）上式與式（2-1）一樣都表示，處，是一個間斷點，但作為數(shù)學抽象式，式（2-1）中采用的約束條件，已經(jīng)概括了間斷點得鄰域內(nèi)的積分，反映出時的趨勢，因此采用（2-1）的描述更合適。另一方面，狄拉克-函數(shù)的定義在數(shù)學上也是不嚴格的。如函數(shù)也滿足式（2-1） 其中: 為沖激偶信號，但并不是單位沖激信號。為了給出奇異函數(shù)的嚴格定義，我們先引入分配函數(shù)的概念。概念引出（1950年，L. Schwartz）電壓v(t) 表示方法： 分析說明： 讀數(shù)并不是直接待測物理量本身，而是待測函數(shù)v(t)與測試儀表特性h(t)二者綜合結果 電壓v(t)的存在和性質借助h(t)來體現(xiàn)（測量系統(tǒng)是檢測電壓v(t)特性的手段），故稱h(t)為檢試函數(shù)。下面給出分配函數(shù)定義：定義三：用分配函數(shù)定義.指定給的值為.通過上面所給出的幾種定義和性質，我們可以總結推導關于的一些基本運算特性。（1） 相加: (3-1)（2） 相乘: (3-2)（3）反褶: （3-3）證明參見性質一.（4）尺度: （3-4）（5）時移: （3-5）證明參見性質二.（6）卷積:（3-6） 僅對i)進行如下證明：（7）復合函數(shù)： （3-7）證明：用泰勒級數(shù)展開，忽略高次項。復合函數(shù)形式的 可化簡為位于處的一系列沖激函數(shù)的疊加，強度為。參考文獻：1 樊尚春，周浩敏.