(完整版)數(shù)量關系公式

1、數(shù)量關系常用公式總結： 1.行程問題 基礎公式：路程二速度*時間 一、 相遇追及型 追及問題：追及距離二（大速度-小速度）X追及時間 相遇問題：相遇距離二（大速度+小速度）X相遇時間 背離問題：背離距離二（大速度+小速度）X背離時間 二、 環(huán)形運動型 反向運動：第 N 次相遇路程和為 N 個周長， 環(huán)形周長=（大速度+小速度）X相遇時間 同向運動：第 N 次相遇路程差為 N 個周長， 環(huán)形周長=（大速度-小速度）X相遇時間 三、 流水行船型 順流路程=（船速+水速）X順流時間 逆流路程=（船速-水速）X逆流時間 靜水速度二（順水速度+逆水速度）寧 2 水流速度二（順水速度-逆水速度）寧 2 四

2、、 扶梯上下型 扶梯總長二人走的階數(shù)X 1 （ V 梯V 人），順行用加法，逆行用 減法 【例 I】自動扶梯以勻速自下向上行駛.甲毎秒鐘向上奩 1 級梯，乙每秒鐘向上走2級 悌，結果甲刃穆到達梯頂.乙20秒到達梯頂誄扶様共有拿少級？ 乩 40 B. 60 解析：設扶梯為 s 級，速度為 v, 廣 S=3OX 1X (1+V - 1)解得 e=1 五、隊伍行進型 隊頭-隊尾：隊伍長度=(人速+隊伍速度)X時間 隊尾T隊頭：隊伍長度=(人速-隊伍速度)X時間 M3 2012-M) 一支 609 的從伍 W.隊尾的通訊員愛與最 St 面的連長 帳系，他用 3分鐘跑步追上了連長 I 又在從伍怵息的時間

3、氏同樣的速侵跑回了肌尾，用了 2| 分24 B,如隊伍和通訊員均勻連前進，則通訊員在看軍時從最前面跑步回務隊崔需要多故 時剛( )| 幾射秒 K 1 井神 C I 4H 秒 0 2 分鐘 解析：假設通訊員和隊伍的速度分別為 V 和 U,所求時間為 t,則: 丙 00 二(v-u ) X 3 解得 何=250 600 二 v X (2+24 - 60) u=50 一製船從人地 f 脫劉 H也需嚶 5天.而該冊從 B地行駛到 A 地則需要？人IJ5i 殳船誣、水流速度不變井具備澡流笊件，那么嗚從 A地漂流劍 R 地需 要()天| A.40 B. 35 C 12 D. 2 解析：根據(jù)公式：漂流所需時

4、間=2 T 逆 T 順寧(T 逆-T 順)=2X 7X 5+( 7-5) =35 (天)，選擇 B 2. 排列組合問題 排列：與順序有關，用 A 組合：與順序無關，用 C 排列公式：Anm 二 n! /(n-m) ! =nx (n-1) x (n-2) x x (n-m+1)(簡 單記憶就是從 n 開始，連續(xù)乘以 m 個數(shù)) 組合公式： Cnm= n! /(n-m) ! m! = nx (n-1) x (n-2) x x (n-m+1)/m x (m-1) x (m-2) x (m-3) x x 1 一、 相鄰問題-捆綁法 6 人排成一隊，ab 要排在一起： A22*A55 (先排 ab，再捆

5、在一起與 剩下的 4 人一起排隊) 二、 不相鄰-插空法 6 人排隊，ab 不排在一起：A44*A52 (先排 除了 ab 之外的 4 人，4 人排好后有 5 個空位，再選擇其中 2 個排 ab 兩人) 三、 圍成一圈 6 人圍成一圈：A55 (選定 6 人中其中一人標定位置，其余 5 人按順 序排隊) 四、 幾對夫妻排隊 4 對夫妻排隊：A88 (相當于 8 人排隊) 五、 夫妻要排一起 4 對夫妻排隊，并且夫妻要排在一起： ( A22*A22*A22*A22) *A44( 先 把每對夫妻排好，再將每隊夫妻捆綁在一起排隊 ) 六、 夫妻坐在一起圓桌吃飯 4 對 夫 妻 坐 在 圓 桌上 吃

6、飯 ， 并 且 每 隊 夫 妻 要 坐 在 一 起 ： ( A22*A22*A22*A22) *A33) 七、 錯位排列型 N 個封信和 N 個信封，每一封信都不裝在自己的信封里，可能的種 數(shù)為 Dn,貝卩 D1=0, D2=1, D3=2,D4=9,D5=44 八、分配插板 O將 8 個蘋果， 分給 3 個小朋友， 每人至少一個， 共有多少種分法？ 答： C72。（8 個蘋果排成一排，除兩頭外共有 7 個空檔，選擇 2 個 空檔插入） O將 8 個蘋果， 分給 3 個小朋友， 每人至少 2 個， 共有多少種分法？ 答： C42。（8 個蘋果先給每個小朋友分 1 個，剩下 5 個蘋果排隊， 除

7、去兩頭外共有 4個空檔，選擇 2 個空檔插入） 3. 牛吃草問題 核心公式：y=（N-x）*T y 代表草量，N 代表牛的數(shù)量,x 代表草長的 速度，T代表吃完草需要的時間 表格法解牛吃草問題 例：一片草地（草勻速生長），240 只羊可以吃 6 天，200 只羊可以吃 10 天，則這片草可供 190 只羊吃多少天？ 190 50 12 N3 N3-x T3 200 60 10 2000 N1 N1-x T1 N1*T1 240 100 6 1440 N2 N2-x T2 N2*T2 140 4 560 x= 右兩項之商 T1-T2 N1*T1-N2*T2 y= (N3-x) *T3 = (N1

8、-x) *T1= (N2-x) * T2 注：題目中有牛有羊時，可將其全部轉換成?；蜓颍蝗绻輬雒娣e有 區(qū)別，如 M 頭牛吃 W 畝草時，N 可用 M/W 帶入，N 代表單位面積上的 牛數(shù)。 4. 鐘表冋題 基本常識：時針每分鐘走 0.5。，分鐘每分鐘走 6; 24h 內，時針和分鐘重合 22 次，垂直 44 次； 鐘表上每兩格之間為 30 鐘表問題追及公式：T=To+（ 1/11）To,其中 T 為追及時間，To 為靜 態(tài)時間，及假設時針不動，分針和時針達到條件要求時的虛擬時間。 例：時針和分針在 7 點多少分重合？ 假設時針不動，分鐘需要走 35 分鐘才能與時針重合（7 點時分鐘和 時間間

9、間隔 35 分鐘的空格），所以 To 為 35 分鐘，帶入公式， T=35+35/11 5. 余數(shù)同于問題 氽數(shù)呈本恒等式披除敕=除龜商+余數(shù)余數(shù)除數(shù)廣 核心口訣：余同取余，和同加和， 差同減差，公倍數(shù)作周期。 （1） 余同： 一個數(shù)除以4余1,除以5余1,除以6余1,則取1, 表示為60n+1。（ 60 為 4,5,6 的最小公倍數(shù)，可取 60 的任意整 倍數(shù)） （2）和同：一個數(shù)除以 4 余 3,除以 5 余 2,除以 6 余 1,則取乙 表示為 60n+7。 (3) 差同：一個數(shù)除以 4 余 1,除以 5 余 2,除以 6 余 3,則取 3, 表示為 60n-3。 注：n 的取值范圍為整

10、數(shù)，可為負值，也可以取 0。 6. 容斥原理 兩集合標準型核心公式： 滿足條件I的個數(shù)+滿足條件II的個數(shù)-兩者都滿足的個數(shù)= 總個數(shù)-兩者都不滿足的個數(shù) 三集合標準型核心公式： AU BU C | = | A | + | B | + | C | - | An B | - | An C - Bn C + An Bn C W=x+y+z A+B+C= xX 1+y X 2+zX 3 A 其中滿足三個條件的元素數(shù)量分別為 A、B、C,而至少滿足三個 條件之一的元素總量為 W滿足一個條件的元素數(shù)量為 x，滿足 兩個條件的元素數(shù)量為y，滿足三個條件的元素數(shù)量為 y。 三集合整體重復型核心公式: 例：一

11、個班級共有55個學生，暑假參加特長培訓班，35人參加 書法，28人參加美術，31人參加舞蹈，其中以上三種培訓班都 參加的有6人，則有多少人只參加一種培訓班？ 22 解答：W=55 z=6，A=35, B=28, C=31,代入公式 _ 55=x+y+6 解得 x=22 35+28+31= x X 1+y X 2+6 X 3 y=27 7. 幾何問題模塊 周長計算公式： 正方形周長=4a;長方形周長=2(a+b);圓周長=2 n R;扇形 周長=2 n RX( n/360 ) 面積計算公式： 正方形面積=a2 ;菱形面積=對角線乘積的一半；長方形面積 =ab;圓面積=n R2;扇形面積=n R2

12、X( n/360 );三角形 面積=1/2ah=1/2absinC ;平行四邊形 =ah ;梯形面積 =1/2 (a+b) h;正方體表面積=6a2;長方體表面積=2ab+2ac+2bc ; 球表面積=4n R2=n D2 體積計算公式： 正方體體積=a2;長方體體積=ab;球體積=3/4 n R2;棱柱體 積=sh ;圓柱體積=sh= n R2h ;棱錐體積=1/3sh ;圓錐體積 = 1/3sh=1/3 n R2h 勾股定理：a2+b2=c2 幾何特性： 等比放縮 一個幾何圖形，其尺寸變?yōu)樵瓉淼?m 倍，貝 y： 1. 所有對應角度不發(fā)生改變 2. 所有對應長度變?yōu)樵瓉淼?m 倍 3. 所

13、有對應面積變?yōu)樵瓉淼?m2 倍 4. 所有對應體積變?yōu)樵瓉淼?m3 倍 幾何最值 1. 平面圖形中，若周長一定，越接近于圓，面積越大。 2. 平面圖形中，若面積一定，越接近于圓，周長越小。 3. 立體圖形中，若表面積一定，越接近于球，體積越大 4. 立體圖形中，若體積一定，越接近于球，表面積越小 三角形三邊關系 兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 幾何邊端： 植樹型 1.單邊線型植樹公式：棵數(shù) =總長*間隔+1 ; 總長=（棵數(shù)-1 ）x間隔 2.單邊環(huán)形植樹公式：棵數(shù) =總長*間隔； 總長二棵數(shù)x間隔 3. 單邊樓間植樹公式： 棵數(shù) =總長+間隔-1 ; 總長= =（棵數(shù)+1）x間隔

14、4. 雙邊植樹問題公式： 響應單邊植樹問題所需棵數(shù)的 2 倍 方陣型（ N 為每邊人數(shù)） 三角形方陣： 總人數(shù) =3N-3 四邊形方陣： 總人數(shù) =4N-4 五邊形方陣： 總人數(shù) =5N-5 六邊形方陣： 總人數(shù) =6N-6 M 排 N 列實心方陣： 總人數(shù)=MX N,外圍人數(shù)=2M+2N-4 N 排 N 列實心方陣：總人數(shù)=NX N,外圍人數(shù)=4N-4 規(guī)律總結： 1. 無論是方陣還是長方陣，相鄰兩圈的人數(shù)都滿 足：外圈比內圈多 8 人。 2. 在方陣中，總人數(shù)=N2=（外圈人數(shù)+ 4+1）2 8. 其他一些常用公式： 1. 前 n 個奇數(shù)之和為 n2; 2. 等差數(shù)列公式：和 =（首項+末

15、項）X項數(shù)+ 2=平均數(shù) （中位數(shù)）x項數(shù)；項數(shù) =（末項-首項）+公差+1 3. 等比數(shù)列公式： an=a1X qn-1 ; sn=a1X （q n-1/q-1） 4. 三位數(shù)的頁碼公式： 頁碼=（數(shù)字+111） + 3-仁 數(shù)字+ 3+36 （數(shù)字代表用了多少個數(shù)字， 如 115，用了 2 個 1 和 1 個 5 ， 共 3 個數(shù)字） 5. 四位數(shù)頁碼公式：頁碼 =（數(shù)字+1111）+ 4-1 6. 如果所有的年不是閏年， 那么 N 年之后星期幾相當于 N 天 之后星期幾 7. 空瓶換酒型，講 M 個空瓶換 N 瓶酒轉化為（M-N）個空瓶換 N 個（無瓶）酒 例：超市規(guī)定每 3 個空汽水瓶

16、可換一瓶汽水，小李有 11 個 空汽水瓶，最多可以換幾瓶汽水？ 解析：3 空瓶=1 瓶汽水=1 空瓶+1 汽水，可得 2 空瓶=1 汽水， 11 + 2=5.5，所以最多可換 5 瓶汽水。 李委明老師懶人專供部分： 1. ABCAC 相對效率問題 例：小王和小劉一起手工制作一種工藝品，每個工藝品由甲 部件和乙部件組成，小王每天可制作 150 個甲部件，或者制 作 75 個乙部件， 小劉每天可制作 60 個甲部件， 或者制作 24 個乙部件?，F(xiàn)兩人一起制作工藝品，10 天時間最多可制造多 少件工藝品？ A. 660 B.675 C.700 D.900 解析：先列表 甲 乙 小王 150 C 75

17、 A 小劉 60 B 24 將表中的數(shù)字十字相乘并比較大小即： C150X 24 60 I X 75=150 X 30,顯 然 60X 75 150X 24,將相乘最大的兩個數(shù)，把大數(shù)設為 A, 小數(shù)設為 B, A 所在同一行(左邊或右邊)所在的數(shù)設為 C, 則得公式 A(B+C)/(A+C)，代入可得 75X 210-225=70,再乘 以天數(shù)10,得出 700，即為答案。 2. 九宮格 以下九宮格每行、每列以及兩條對角線的和相同，為 w a b c d e? f g h i 關于九宮格的結論： 正中間那個數(shù)為和的 1/3，即 e=1/3 X w d,e,f 成等差數(shù)列，b,e,h,成等差數(shù)列，即 2e=d+f=b+h,由此可知 兩對腰之和相等 頂點處數(shù)字為遠處兩腰的平均數(shù)，即 i=(d+b)/2 3. 分數(shù)求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù) 分數(shù)的最小公倍數(shù)二分子的最小公倍數(shù)/分母的最大公約數(shù) 分數(shù)的最大公約數(shù)二分子的最大公約數(shù)/分母的最小公倍數(shù) 4. 對角面切長方體，大邊則大，小邊則小。(大小包括周長和面積) 螞蟻走路，一點走到另一對點，切割長的棱則路線短，切割短的 棱則長。(這個較抽象，可取觀看李委明老師的講課視頻理解) 5. 容斥原理擴展 二多型：參與兩種的至多有多少 例：一個班級有 30 ( M 名學生，12