南京大學(xué)高等代數(shù)期末考試題及答案復(fù)習(xí)進(jìn)程

1、學(xué)習(xí)好資料南京大學(xué)高等代數(shù) 2013 年期末考試試卷及答案（ A 卷）一、填空題（每小題 3分，共 15 分）1、線性空間 P x 的兩個(gè)子空間的交 L 1 x L 1 x2、設(shè)1,2,.,n與 1,2 ,.,n 是n維線性空間 V 的兩個(gè)基，由1,2 ,.,n到 1 ,2 ,.,n 的過渡矩陣是 C，列向量 X是 V中向量 在基 1, 2,., n下的坐標(biāo)，則 在基 1 , 2 ,., n 下 的坐標(biāo)是3、設(shè) A、B是 n維線性空間 V 的某一線性變換在不同基下的矩陣， 則 A 與 B 的關(guān)系是24、設(shè) 3階方陣 A的 3個(gè)行列式因子分別為： 1, , 2 1 ,則其特征矩陣 E A 的標(biāo)準(zhǔn)

2、形是5、線性方程組 AX B 的最小二乘解所滿足的線性方程組是：二、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 15分）1、（）復(fù)數(shù)域 C 作為實(shí)數(shù)域 R 上的線性空間可與下列哪一個(gè)線性空間同構(gòu)：（A）數(shù)域 P 上所有二級(jí)對(duì)角矩陣作成的線性空間；（B）數(shù)域 P 上所有二級(jí)對(duì)稱矩陣作成的線性空間；（C）數(shù)域 P 上所有二級(jí)反對(duì)稱矩陣作成的線性空間；（D）復(fù)數(shù)域 C 作為復(fù)數(shù)域 C 上的線性空間。2、（）設(shè) 是非零線性空間 V 的線性變換，則下列命題正確的是：更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料（A）的核是零子空間的充要條件是 是滿射；（B）的核是 V 的充要條件是 是滿射；（C）的值域是零子空間的充要條件是 是滿射；（D

3、）的值域是 V 的充要條件是 是滿射。3、（） 矩陣 A 可逆的充要條件是：A A 0; B A 是一個(gè)非零常數(shù)；C A 是滿秩的； D A 是方陣。4、（）設(shè)實(shí)二次型 f X AX （ A 為對(duì)稱陣）經(jīng)正交變換后化為：1y12 2y22 . nyn2 ， 則其中的 1, 2,. n是：A 1; B 全是正數(shù)； C 是 A 的所有特征值； D 不確定。5、（）設(shè) 3階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 有三重特征根“ 2”，則 A 的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是：200200200A020;B120;C120002002012D 以上各情形皆有可能。三、是非題（每小題 2分，共 10 分）（請(qǐng)?jiān)谀阏J(rèn)為對(duì)的小題對(duì)應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打 “”

4、，否則打 “ ”）1、（）設(shè) V1，V2均是 n 維線性空間 V 的子空間，且V1 V2 0則 V V1 V2 。2、（）n 維線性空間的某一線性變換在由特征向量作成的基下的矩陣是一對(duì)角矩陣。3、（）同階方陣 A與 B 相似的充要條件是 E A與 E B等價(jià)。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料4、（）n 維歐氏空間的正交變換在任一基下的矩陣都是正交矩陣。5、（）歐氏空間的內(nèi)積是一對(duì)稱的雙線性函數(shù)。四、解答題（每小題 10分，共 30 分）1、在線性空間 P 4 中，定義線性變換：4 A a, b,c, da, b,a c,b d a, b,c,d P4（ 1）求該線性變換 在自然基： 1 1,0,0,0

5、, 2 0,1,0,03 0,0,1,0 , 4 0,0,0,1 下的矩陣 A；（ 2）求矩陣 A 的所有特征值和特征向量。2、（1）求線性空間 P x 3 中從基 I : 1, x 1 , x 1 到基2II : 1, x 1 , x 1 的過渡矩陣；2）求線性空間 P x 3中向量 f x 1 2x 3x2 在基更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料2I : 1, x 1 , x 1 下的坐標(biāo)3、在 R2 中，a1,a2 ,b1,b2 ，規(guī)定二元函數(shù)：,a1b1 a1b2 a2b1 4a2b2（ 1） 證明：這是 R2 的一個(gè)內(nèi)積。（2） 求 R2 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料五、證明題（每小

6、題 10分，共 30 分）1、設(shè) P3的兩個(gè)子空間分別為：,x1,x2x3x2 x03證明：（1） P3 W1 W2 ；（2）W1 W2 不是直和更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料2、設(shè) 是數(shù)域 P上線性空間 V 的線性變換，證明 W L 1, 2,., r是 的不變子空間的兗要條件是 A i W i 1, 2 , .r ,更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料3、已知 A E 是 n 級(jí)正定矩陣，證明：（1）A 是正定矩陣；（2） A 2E 3n更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料參考答案填空題（每小題 3分，共 15 分）1、線性空間 P x 的兩個(gè)子空間的交 L 1 x L 1 x 02、設(shè) 1,2,.,n與1 ,2 ,.,n

7、是 n維線性空間 V 的兩個(gè)基，由 1,2 ,.,n到1 ,2 ,.,n 的過渡矩陣是 C，列向量 X 是 V中向量 在基 1, 2,., n下的坐標(biāo)，則 在基 1 , 2 ,., n 下的坐標(biāo)是 C X3、設(shè) A、B是 n維線性空間 V 的某一線性變換在不同基下的矩陣， 則 A 與 B 的關(guān)系是相似關(guān)系24、設(shè) 3階方陣 A的 3個(gè)行列式因子分別為： 1, , 2 1 ,則其特征矩陣 E A 的標(biāo)準(zhǔn)形是1 0 0000 0 15、線性方程組 AX B 的最小二乘解所滿足的線性方程組是：二、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 15分）2、（ A ）復(fù)數(shù)域 C 作為實(shí)數(shù)域 R 上的線性空間可與下列哪

8、一個(gè) 線性空間同構(gòu)：（A）數(shù)域 P 上所有二級(jí)對(duì)角矩陣作成的線性空間；（B）數(shù)域 P 上所有二級(jí)對(duì)稱矩陣作成的線性空間；（C）數(shù)域 P 上所有二級(jí)反對(duì)稱矩陣作成的線性空間； 更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料（D）復(fù)數(shù)域 C 作為復(fù)數(shù)域 C 上的線性空間。2、（ D ）設(shè) 是非零線性空間 V 的線性變換，則下列命題正確的是：（A）的核是零子空間的充要條件是 是滿射；（B）的核是 V 的充要條件是 是滿射；（C）的值域是零子空間的充要條件是 是滿射；（D）的值域是 V 的充要條件是 是滿射。3、（ B ） 矩陣 A 可逆的充要條件是：A A 0; B A 是一個(gè)非零常數(shù)；C A 是滿秩的； D A 是方陣。

9、4、（ C ）設(shè)實(shí)二次型 f X AX （ A 為對(duì)稱陣）經(jīng)正交變換后化為：1y12 2y22 . nyn2 ， 則其中的 1, 2,. n是：A 1; B 全是正數(shù)； C 是 A 的所有特征值； D 不確定5、（ A ）設(shè) 3階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 有三重特征根“ 2”，則 A的若當(dāng) 標(biāo)準(zhǔn)形是：200200200A020;B120;C120002002012D 以上各情形皆有可能。三、是非題（每小題 2分，共 10 分）（請(qǐng)?jiān)谀阏J(rèn)為對(duì)的小題對(duì)應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打 “”，否則打 “ ”）1、（ ）設(shè)V1，V2均是 n維線性空間 V 的子空間，且V1 V20則 V V1 V2 。2、（ ）n 維線性空間的某一

10、線性變換在由特征向量作成的基下 的矩陣是一對(duì)角矩陣。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料3、（ ）同階方陣 A 與 B 相似的充要條件是 E A與 E B 等價(jià)。4、（ ）n 維歐氏空間的正交變換在任一基下的矩陣都是正交矩陣5、（ ）歐氏空間的內(nèi)積是一對(duì)稱的雙線性函數(shù)。四、解答題（每小題 10 分，共 30 分）1、在線性空間 P 4 中，定義線性變換：0,1,0,0A a, b,c, da, b,a c,b da, b,c,dP41）求該線性變換 在自然基： 1 1,0,0,0 , 23 0,0,1,0 , 4 0,0,0,1 下的矩陣 A；2）求矩陣 A 的所有特征值和特征向量。解：（1）線性變換 在自

11、然基下的矩陣是 A10100101001000015 分）42）因?yàn)?E A 1所以矩陣 A 的所有特征值是 1 2 3解齊次線性方程組 E A X 0得矩陣 A 的所有特征向量：k1 0,0,1,0k2 0,0,0,1 ，其中 k1, k2不全為零。 （5 分）2、（1）求線性空間 P x 3 中從基 I : 1, x 1 , x 1 2到基2II : 1, x 1 , x 1 的過渡矩陣；2）求線性空間 P x 3中向量 f x 1 2x 3x2 在基更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料2I : 1, x 1 , x 1 下的坐標(biāo)。22解：1）因?yàn)?1, x 1 , x 11,x, x1, x 1 ,

12、x 1 2 0即所求的過渡矩陣為 2）因?yàn)?1,x, x21, x 1 , x 1 0更多精品文檔225 分）1, x 1 , x 11,x, x2所以1111111221, x 1 , x 1 1, x 1 , x 101201200100111111101201200100121, x 1 , x 1學(xué)習(xí)好資料122故 f x 1 2x 3x2 1,x, x2231 1 1 1221, x 1 , x 101222 4 x 1 3 x 100132 所以 f x 在基 I : 1, x 1 , x 1 2下的坐標(biāo)是： 4（5 分）33、在 R2 中，a1,a2 ,b1,b2 ，規(guī)定二元函數(shù)

13、：,a1b1 a1b2 a2b1 4a2b2（3） 證明：這是 R2 的一個(gè)內(nèi)積。（ 4） 求 R2 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。（1）證明： ,a1b1 a1b2 a2b1 4a2b241 bb14 b21a1,a21 2 111因?yàn)?是正定矩陣，5 分）14所以這個(gè)二元函數(shù)是 R2 的一個(gè)內(nèi)積。2）解：考察自然基 1 1,0 , 2 0,111它的度量矩陣正是14令： 1 1 1,0 ,更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料2 , 12, 12 2 2 1 1 2 2 1 111 1 1,111 再令： 1 1 1, 2 2 再令： 1 1 1 1 2 2 2 則 1, 2是 R2的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。11,1,15

14、分）1, 11, 12）解法二：考察自然基 1 1,0 , 2 0,1它的度量矩陣正是1114令：11400 r2 r1 1 0 1 0 r21 c2 c1 0 3 1 1 c21313101, 2 的度量矩陣是 E，131311即： 2 1 3 1,1從而是 R2 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。共 30 分）五、證明題（每小題 10 分，2、設(shè) P3的兩個(gè)子空間分別為：W1x1,x2,x3x1x2x3 0,W2,x1 ,x2x3x1x2x03證明：（1） P3 W1 W2；（2）W1 W2 不是直和。證明：（1）W1 的一個(gè)基是： 1 1,1,0 , 2 1,0,1W2 的一個(gè)基是： 1 1,1,0 ,

15、 2 1,0,1更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料因?yàn)?W1 W2 L 1, 2, 1, 2其中 1, 2, 1是W1 W2 的生成元的一個(gè)極大無關(guān)組從而是 W1 W2 的一個(gè)基，所以 dim W1 W2 3 P3 W1 W2（5 分）（ 2）因 dimW1 2, dimW2 2, dim W1 W2 3 即 dim W1 W2 dim W1 dimW 所以W1 W2 不是直和。（5分）（ 2）之證法二：因?yàn)?W1 W2 L 0, 1,1 0所以W1 W2 不是直和。2、設(shè) 是數(shù)域 P上線性空間 V 的線性變換，證明W L 1, 2,., r 是 的不變子空間的兗要條件是 A i W i 1, 2 , .r ,證明：（充分性）設(shè)有 A i W i 1,2,., rk1 1 k 2 2 . kr r WAk1A 1 k2A 2 . kr A r WW L 1, 2 ,., r 是 的不變子空間。（5 分）（必要性）設(shè) W L 1, 2,., r 是 的不變子空間，由 i W, i 1,2,.,rA i W, i 1,2,.,r （5