高三二輪立體幾何大題訓(xùn)練

1、立體幾何大題1.如圖1，等腰梯形ABCD中，BCAD，CEAD，AD3BC3，CE1.求CDE沿CE折起得到四棱錐FABCE(如圖2)，G是AF的中點.(1)求證：BG平面ECE；(2)當(dāng)平面FCE平面ABCE時，求三棱錐FBEG的體積.(1)證明如圖，取EF的中點M，連接GM、MC，則GM AE.等腰梯形ABCD中，BC1，AD3，BC AE.GMBC，四邊形BCMG是平行四邊形，BGCM.又CM平面FCE，BG平面FCE，BG平面FCE.(2)解平面FCE平面ABCE，平面FCE平面ABCECE，EF平面FCE，F(xiàn)ECE，F(xiàn)E平面ABCE.又VFBEGVBGEFVBAEFVFABE， SA

2、BE211，VFBEG11.2. 如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，平面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60.(1)證明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值.(1)證明由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解過D作DGEF，垂足為G，由(1)知DG平面ABEF.以G為坐標原點，的方向為x軸正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系Gxyz.由(1)知DFE為二面角DAFE的平面角，故DFE60，則|DF|2，|DG|，可得A(1，4，0)

3、，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，).由已知，ABEF，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF為二面角CBEF的平面角，CEF60，從而可得C(2，0，).所以(1，0，)，(0，4，0)，(3，4，)，(4，0，0).設(shè)n(x，y，z)是平面BCE的法向量，則即所以可取n(3，0，).設(shè)m是平面ABCD的法向量，則同理可取m(0，4)，則cosn，m.故二面角EBCA的余弦值為.3.如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，

4、N為PC的中點.(1)證明MN平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.(1)證明由已知得AMAD2.取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綉AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解取BC的中點E，連接AE.由ABAC得AEBC，從而AEAD，AE.以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz.由題意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，(0，2，4)，.設(shè)n(x，y，z)為平面PMN的法向量，則即可取n(0，

5、2，1).于是cosn，.設(shè)AN與平面PMN所成的角為，則sin，直線AN與平面PMN所成的角的正弦值為.4.如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點.(1)求證：GF平面ADE；(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.法一(1)證明如圖，取AE的中點H，連接HG，HD，又G是BE的中點，所以GHAB，且GHAB.又F是CD的中點，所以DFCD.由四邊形ABCD是矩形得，ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GFDH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以

6、GF平面ADE.法二(1)證明如圖，取AB中點M，連接MG，MF.又G是BE的中點，可知GMAE.又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點得MFAD.又AD平面ADE，MF平面ADE.所以MF平面ADE.又因為GMMFM，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF平面ADE.因為GF平面GMF，所以GF平面ADE.(2)解如圖，在平面BEC內(nèi)，過B點作BQEC.因為BECE，所以BQBE.又因為AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ.以B為原點，分別以，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則A(0，0，2)，B(

7、0，0，0)，E(2，0，0)，F(xiàn)(2，2，1).因為AB平面BEC，所以(0，0，2)為平面BEC的法向量.設(shè)n(x，y，z)為平面AEF的法向量.又(2，0，2)，(2，2，1)，由得取z2，得n(2，1，2).從而cosn，所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為.5. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，Q為AD的中點，PAPD2，BCAD1，CD.(1)求證：平面PQB平面PAD；(2)在棱PC上是否存在一點M，使二面角MBQC為30，若存在，確定M的位置；若不存在，請說明理由.(1)證明ADBC，BCAD，Q為A

8、D的中點，BCDQ且BCDQ，四邊形BCDQ為平行四邊形，CDBQ.ADC90，AQB90，即QBAD，PAPD，PQAD，PQBQQ，PQ，BQ平面PBQ，AD平面PBQ，AD平面PAD，平面PQB平面PAD.(2)解當(dāng)M是棱PC上靠近點C的四等分點時，有二面角MBQC為30，理由如下：由(1)知PQAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PQ平面ABCD.以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸建立空間直角坐標系，則平面BQC的一個法向量n(0，0，1)，Q(0，0，0)，P(0，0，)，B(0，0)，C(1，0).設(shè)滿足條件的點M(x，y，z)存在，則(x，y，

9、z)，(1x，y，z)，令t，其中t0，在平面MBQ中，(0，0)，平面MBQ的一個法向量m(，0，t)，二面角MBQC為30，cos 30，解得t3.所以滿足條件的點M存在，M是棱PC的靠近點C的四等分點.6. 如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求證：PD平面PAB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由.(1)證明平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD.又ABAD，AB平面ABCD.AB平面PAD.PD平面PA

10、D.ABPD.又PAPD，PAABA.PD平面PAB.(2)解取AD中點O，連接CO，PO，PAPD，POAD.又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，CO平面ABCD，POCO，ACCD，COAD.以O(shè)為原點建立如圖所示空間直角坐標系.易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，1，0)，C(2，0，0).則(1，1，1)，(0，1，1)，(2，0，1).(2，1，0).設(shè)n(x0，y0，1)為平面PDC的一個法向量.由得解得即n.設(shè)PB與平面PCD的夾角為.則sin |cosn，|.(3)解設(shè)M是棱PA上一點，則存在0，1使得，因此點M(0，1，)，(1，)，因為B

11、M平面PCD，所以BM平面PCD，當(dāng)且僅當(dāng)n0，即(1，)0，解得，所以在棱PA上存在點M使得BM平面PCD，此時.7.(2015山東卷)如圖，在三棱臺DEFABC中，AB2DE，G，H分別為AC，BC的中點.(1)求證：BD平面FGH；(2)若CF平面ABC，ABBC，CFDE, BAC45 ，求平面FGH與平面ACFD所成的角(銳角)的大小.(1)證明法一連接DG，CD，設(shè)CDGFO，連接OH，在三棱臺DEFABC中，AB2DE，G為AC的中點，可得DFGC，DFGC，所以四邊形DFCG為平行四邊形.則O為CD的中點，又H為BC的中點，所以O(shè)HBD，又OH平面FGH，BD平面FGH，所以B

12、D平面FGH.法二在三棱臺DEFABC中，由BC2EF，H為BC的中點，可得BHEF，BHEF，所以四邊形BHFE為平行四邊形，可得BEHF.在ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因為BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)解設(shè)AB2，則CF1.在三棱臺DEFABC中，G為AC的中點，由DFACGC，可得四邊形DGCF為平行四邊形，因此DGFC，又FC平面ABC，所以DG平面ABC.在ABC中，由ABBC，BAC45，G是AC中點.所以ABBC，GBGC，因此GB，GC，GD兩兩垂直.以G為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

13、Gxyz.所以G(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，0)，D(0，0，1).可得H，F(xiàn)(0，1)，故，(0，1).設(shè)n(x，y，z)是平面FGH的一個法向量，則由可得可得平面FGH的一個法向量n(1，1，).因為是平面ACFD的一個法向量，(，0，0).所以cos，n.所以平面FGH與平面ACFD所成角(銳角)的大小為60.8.(2016浙江卷)如圖，在三棱臺ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求證：BF平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值.(1)證明延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖所示.因為平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又因為EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BFCK，且CKACC，所以BF平面ACFD.(2)解如圖，延長AD，BE，CF相交于一點K，則BCK為等邊三角形.取BC的中點O，連接KO，則KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC