信息光學(xué)計(jì)算

1、1.采用采用單位振幅的單色平面波垂直照明具有下述透過(guò)率函數(shù)的單位振幅的單色平面波垂直照明具有下述透過(guò)率函數(shù)的孔徑孔徑:求求菲涅耳衍射圖樣菲涅耳衍射圖樣在孔徑在孔徑軸上的強(qiáng)度軸上的強(qiáng)度分布。分布。220000,t x ycircxy解：(1)設(shè)入射光場(chǎng)為U0(x0，y0)，由題意，知 U0(x0，y0)=1。圓形孔徑的透射率函數(shù)為：t(x0，y0)=。則孔徑平面透射光場(chǎng)分布為： U(x0，y0)= t(x0，y0)=。由菲涅耳衍射公式可得衍射光場(chǎng)為：令：x=y=0時(shí)，得到衍射圖樣在軸上的復(fù)振幅為：將積分換用極坐標(biāo)系作運(yùn)算，得軸上復(fù)振幅分布為：則孔徑軸上強(qiáng)度分布為：由上式可知，圓孔菲涅耳衍射圖樣其

2、中心光強(qiáng)沿孔徑軸是明暗交替變換的，而且：當(dāng) ，即 時(shí)，I(0,0)=0,為極小值；當(dāng) ，即 時(shí)， I(0,0)=4,為極小值。222200002222000022200002222200001,1,kkkixyixyix xy yikzzzzkkkixyixyix xy yikzzzzUx yeeUxyeedx dyi zeecircxyeedx dyi z220022200000,0kikzixyzeUcirc xy edx dyi z2212200/4/4/4/410,0 |12sin4kkiriikzikzzzZikzikzikzikzikzikzUederdreeizkeeeeieez

3、 2220,0 |0,0 |4sin4sin42ZZkIUzz1,2,3,.2nnz12zn10,1,2,3,.22nnz121zn2.余弦余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過(guò)率為型振幅光柵的復(fù)振幅透過(guò)率為：t(x)=a+bcos(2x/d)，式中，式中，d 為光柵的周期，為光柵的周期，a b 0。觀察平面與光柵相距。觀察平面與光柵相距z。當(dāng)。當(dāng)z分別取下述值時(shí)，分別取下述值時(shí)，確定單色確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。式中式中：zT=2d2/為為泰伯距離泰伯距離。（。（1）z= zT=2d2/（2）z=zT/2 =d2/解：光柵與相距

4、為z 的觀察平面上的光場(chǎng)分布，這是一個(gè)典型的菲涅耳衍射的問(wèn)題。可以在頻域來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題。當(dāng)單色平面波垂直照明光柵時(shí)，光柵透射光場(chǎng)為：U(x0)=At(x0)=Aa+bcos(2x0/d)，式中： A 為平面波振幅。該透射光場(chǎng)對(duì)應(yīng)的空間頻譜為： ，根據(jù)菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)式：可得到觀察平面上的光場(chǎng)的頻譜為：下面分兩種情況進(jìn)行討論： (1)： 當(dāng)z= zT=2d2/時(shí)，e e- -iziz/d/d2 2=1=1，則有：對(duì)上式作傅里葉逆變換，可得到觀察平面上的光場(chǎng)復(fù)振幅分布為：強(qiáng)度分布為：從上式可以看出，強(qiáng)度分布與光柵透射場(chǎng)分布相同。(2)當(dāng)z=zT/2 =d2/時(shí)， e e- -iziz/d/d2

5、 2=-1=-1，則有：對(duì)上式作傅里葉逆變換，可得到觀察平面上的光場(chǎng)復(fù)振幅分布為：強(qiáng)度分布為：強(qiáng)度分布與光柵透射場(chǎng)分布相比，像產(chǎn)生相移。 1122bbFA add 2izikzHee 22/11221122izikzikzik z dbbGHFHA aeeddbbAeaedd 1122ikzbbGAeadd cos 2/ikzU xA abx de 22cos 2/I xAabx d 1122ikzbbGAeadd cos 2/ikzU xA a bx de 22cos 2/I xA a bx d3.3.環(huán)形環(huán)形孔徑的外徑為孔徑的外徑為2a2a，內(nèi)徑為，內(nèi)徑為2a 2a (0 (0 1a。光柵

6、透過(guò)率可以表示為一維卷積形式：采用單位振幅的單色平面波垂直照射衍光柵，則透射光場(chǎng)等于光柵的復(fù)振幅透過(guò)率: U(x0,y0)=t(x0,y0)，其對(duì)應(yīng)的傅里葉變換式為：把上式代入夫瑯禾費(fèi)衍射公式，得到夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的復(fù)振幅分布為：0000001,*xxxyt x yrectcombrectrectaddLL 200000 0221,*sin* sinsinsin* sinsinsinsinnnxxxyF U xFrectcombrectrectac a comb dLc Lc LaddLLaamnaLamncLc Lc Lcc Ldddddd sinc L222220 0,22,zsinsin

7、sinzkixyikzzxyzzkixyikzzne eUF U xiaL e eamxnycc Lc Lidddzx,y強(qiáng)度分布為：上式就是光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。當(dāng)單縫衍射的零點(diǎn)位置與某些衍射級(jí)重合時(shí)，這些衍射級(jí)就會(huì)消失。(1)若夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中缺少偶數(shù)級(jí)(見(jiàn)左下圖)，則要求：2n/d=n/a(n=1,2,.)，即d=2a(2)若夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中第三級(jí)極小(見(jiàn)右下圖)，則要求3/d=1/a ，即d=3a2222sinsinsinnaLamxnLyIccLczddddzx,y5.5.在在透明玻璃板上有大量透明玻璃板上有大量(N)(N)無(wú)無(wú)規(guī)則分布的不透明小圓規(guī)則分布的不透明小圓顆粒顆粒,

8、 ,它們它們的半徑都是的半徑都是a a 。采用單采用單位位振幅的單色平面波垂直振幅的單色平面波垂直照明照明, ,求求相距為相距為z z 的觀察平面上的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的的觀察平面上的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。強(qiáng)度分布。解：有N 個(gè)無(wú)規(guī)則分布的不透明圓顆粒的透明玻璃板與這些不透明圓顆粒位置有N 個(gè)透明圓孔的不透明玻璃板是互補(bǔ)屏。因此，可通過(guò)求解N 個(gè)無(wú)規(guī)則透明圓孔的不透明玻璃板的衍射圖樣強(qiáng)度分布間接求解。有N 個(gè)無(wú)規(guī)則透明圓孔的不透明玻璃的復(fù)振幅透過(guò)率函數(shù)可以表示為：式中xn,yn是各個(gè)小圓孔的中心位置。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，玻璃板透射的光場(chǎng)分布為：U(x0，y0)=t(x0，y0

9、)=.對(duì)上式作傅里葉變換，有：22222221220 0,2212+y,z+ynnkixyzkxxyyixyikziNzzzikzxyzzna xJze eUF U xiae eeixx,y將上式代入夫瑯禾費(fèi)衍射公式，則得到觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的復(fù)振幅分布為：22N000001*nnnxytcircxxyya0 x ,y，2222N0000001,+y22122122112+y2+ynnnnnnxynxrzzzzxxyyiNNixyzznnxyF UB circFxxyyaaxJzJaaea zex x ,y，強(qiáng)度分布為：222222222112222221,1(ij)2+y2+y,+y

10、+y2cos 2cos 22sin 2nnxxyyiNzznNjjiiiii ja xa xa Ja JzzI x yU x yeNxxxxyyxxyyxxyyzzzzzz,1(ij)2222122,1(ij)sin 22+y2cos 2+yNjji jNijiji jxxyyzza xa JzxxxxyyyyNxzz 因?yàn)镹 個(gè)孔徑無(wú)規(guī)則排列，所以有：,1(ij)2 cos 20Nijiji jxxxxyyyyzz這樣，強(qiáng)度分布最終簡(jiǎn)化為：22221222+ y,+ yaxN aJzIxyx所以， N 個(gè)無(wú)規(guī)則分布的小孔，其衍射圖樣簡(jiǎn)單的就是單個(gè)小孔衍射強(qiáng)度的N 倍。N 個(gè)無(wú)規(guī)則分布的不透明

11、圓顆粒的透明玻璃板的透過(guò)率表示為1-t(x0 , y0)，其傅里葉譜為：0000,1,xyzzFtxyFtxy 根據(jù)巴比涅原理，衍射圖樣的強(qiáng)度分布除中心有一個(gè)亮點(diǎn) 外，其余部分強(qiáng)度分布應(yīng)該與上式所表達(dá)的I (x, y)相同。,xyzz6.6.一一個(gè)衍射屏具有下述圓對(duì)稱的復(fù)振幅透過(guò)率函數(shù)個(gè)衍射屏具有下述圓對(duì)稱的復(fù)振幅透過(guò)率函數(shù)( (見(jiàn)下圖見(jiàn)下圖) )(1)(1)這個(gè)屏這個(gè)屏的的作用類似于透鏡，為什么作用類似于透鏡，為什么？( (2) 2) 給出此屏的給出此屏的焦距焦距表達(dá)式表達(dá)式？( (3) 3) 這種這種屏作屏作成像元件它會(huì)受到什么性質(zhì)的限制成像元件它會(huì)受到什么性質(zhì)的限制( (特別對(duì)于多色物體

12、成像特別對(duì)于多色物體成像) )？解：(1)此衍射屏的復(fù)振幅透過(guò)率如圖所示，可把它表示為如下直角坐標(biāo)形式：式中，中括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)僅僅是使直接透射光振幅衰減，其他兩項(xiàng)指數(shù)項(xiàng)與透鏡相位變換因子： 比較，形式相同。當(dāng)用平面波垂直照射200011cos2rt rarcircl22214kixyfe2214ia xye2214ia xye22222211,2414ia xyia xyt x yexyecircl(2) 把衍射屏復(fù)振幅透過(guò)率中的復(fù)指數(shù)項(xiàng)與透鏡的相位變換因子相比較，便得相應(yīng)的焦距，即對(duì)于 項(xiàng)，令a= k/(2f1)，則有f1= k/2a= /a0，焦距為正，相當(dāng)于會(huì)聚透鏡。對(duì)于 項(xiàng)，令a=-k

13、/(2f2)，則有f2=-k/2a=-/a0，焦距為負(fù)，相當(dāng)于發(fā)散透鏡。對(duì)于1/2項(xiàng)，平行光直接透過(guò)，僅振幅衰減，相當(dāng)于一個(gè)振幅衰減片，可視為f3=。(3) 由于該衍射屏有三重焦距,當(dāng)用作成像裝置時(shí),便可以對(duì)同一物體形成三個(gè)像。例如對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)的點(diǎn)光源,將分別在屏的兩側(cè)對(duì)稱位置形成實(shí)像和虛像,而另一個(gè)像在無(wú)窮遠(yuǎn)(直接透射光)。如下圖所示。當(dāng)觀察者觀察其中一個(gè)像時(shí)，會(huì)同時(shí)看到另外的離焦像，無(wú)法分離開。若用接收屏來(lái)接收，則在任何一個(gè)像面上都會(huì)有離焦像形成的背景干擾。此外，對(duì)于多色物體來(lái)說(shuō)，嚴(yán)重的色差也是一個(gè)重要的限制，因?yàn)榻咕喽寂c波長(zhǎng)成反比。若用白光作光源，則在像面上可看到嚴(yán)重的色散現(xiàn)象。如?。簉ed

14、=690nm，blue=469nm，則有：4600.67690redblueblue這樣大的色差是無(wú)法用作成像裝置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到非常嚴(yán)重的色散現(xiàn)象。這種衍射屏實(shí)際就是同軸形式的點(diǎn)源全息圖。時(shí)，這兩項(xiàng)的作用是分別產(chǎn)生會(huì)聚球面波和發(fā)散球面波。因此在成像性質(zhì)和傅里葉變換性質(zhì)上該衍射屏都類似于透鏡。因子 表明該屏具有半徑為l 的圓形孔徑。22xyc i r cl7.7.圖圖3 3所所示相干成像系統(tǒng)中，物體的復(fù)振幅透過(guò)率示相干成像系統(tǒng)中，物體的復(fù)振幅透過(guò)率為為: :為了使像面能得到它的像，為了使像面能得到它的像，問(wèn)問(wèn)(1(1) ) 若若采用圓形光闌，其直徑應(yīng)大于多少采用圓形光闌，

15、其直徑應(yīng)大于多少？ (2)(2)若若采用矩形光闌，各邊邊長(zhǎng)應(yīng)大于多少采用矩形光闌，各邊邊長(zhǎng)應(yīng)大于多少？解：物體的頻譜為： 其頻譜如下圖所示。物體有三個(gè)頻譜分量，在譜面上的位置分別(0,0), ( a , b ),(- a ,- b )。要使像面上得到物體的像，則必段要求這三個(gè)頻率分量都通過(guò)系統(tǒng)，即系統(tǒng)的截止頻率要都要大于這三個(gè)頻率分量中任何一個(gè)分量的頻率。(1)若采用圓形光闌，假設(shè)光闌直徑為D，系統(tǒng)的截止頻率為： 0=D/(2f)，根據(jù)上面的分析，要使像平面得到物體的像，必須要求 即要注(2)若采用矩形光闌，假設(shè)其大小為ab，則系統(tǒng)截止頻率為： 根據(jù)上面的分析，要使像平面得到物體的像，必須要求

16、即要求8.8.一一個(gè)非相干成像個(gè)非相干成像系統(tǒng)系統(tǒng), ,出瞳出瞳由兩個(gè)正方形孔構(gòu)成。如下圖所示，正方形孔的邊由兩個(gè)正方形孔構(gòu)成。如下圖所示，正方形孔的邊長(zhǎng)長(zhǎng)a=1cm,a=1cm,兩兩孔中心距孔中心距b=3cmb=3cm。若光波。若光波波長(zhǎng)波長(zhǎng)=0.5m=0.5m，出瞳與像面距離，出瞳與像面距離 d di i=10cm=10cm，求系統(tǒng)的求系統(tǒng)的OTFOTF，畫出沿畫出沿f fx x 和和f fy y 軸軸的截面圖。的截面圖。解：假定這是一個(gè)衍射受限的非相干成像系統(tǒng)。根據(jù)OTF 的幾何解釋,光學(xué)傳遞函數(shù)為：在 軸上， =0。左下圖表示中心在(0,di/2)和(0,-di/2)的兩個(gè)錯(cuò)開的光瞳。

17、重疊面積和總面積S0同時(shí)增加一倍，兩者比值保持不變。因而H(0,)與單個(gè)正方形孔情況下沿軸的OTF相同,即有H(0,)=tri(/2 0),式中:tri(/2 0=a/di=10/(1000.5)103mm-1=200mm-1。其截面圖如右下圖所示。式中:S0是光瞳面積；S( ，)是中心位于 和 的兩個(gè)平移光瞳的重疊面積。在軸上，=0，根據(jù)重疊情況的變換，可分為四個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論：(1)如左下圖所示，當(dāng)時(shí)，此時(shí)重疊區(qū)面積與總面積的比值與單個(gè)孔的情況相同，因此(2)如右下圖所示，當(dāng) ，因?yàn)閎=3，即 時(shí)，兩個(gè)孔相互錯(cuò)開，重疊面積為零，因此H(，0)=0(3)如下圖所示，當(dāng) 或即 時(shí)，只有一個(gè)孔發(fā)生

18、重疊，但總面積是兩個(gè)孔的面積，因此OTF 的大小只是第一種情況的一半，即(4)如右下圖所示，當(dāng) 時(shí)，光瞳完全錯(cuò)開,無(wú)重疊部分,即:其沿軸的光學(xué)傳遞函數(shù)截面圖如下圖所示。9.9.下下圖所示成像圖所示成像系統(tǒng)系統(tǒng), ,光闌光闌為雙為雙縫縫, ,縫縫寬為寬為a a , ,中心中心間隔為間隔為d d , ,照明照明光波長(zhǎng)光波長(zhǎng)為為。求求下述情下述情況況下系統(tǒng)的脈沖面積響應(yīng)和下系統(tǒng)的脈沖面積響應(yīng)和傳遞函數(shù)傳遞函數(shù), ,畫畫出它們的出它們的截面圖截面圖.(.(1) 1) 相干相干照明照明;(;(2) 2) 非相干照明。非相干照明。解：對(duì)于相干照明情況下，光瞳函數(shù)為： 相干傳遞函數(shù)為： 對(duì)應(yīng)的相干脈沖響應(yīng)為： 脈沖響應(yīng)和傳遞函數(shù)的截面圖如下圖所示。對(duì)非相干照明，利用上面計(jì)算的結(jié)果，非相干脈沖響應(yīng)為：則非相干傳遞函數(shù)為：脈沖響應(yīng)和傳遞函數(shù)的截面圖如下圖所示。1 10.0.制作制作一全息圖一全息圖, ,記錄時(shí)用的是氬離子激光器波長(zhǎng)為記錄時(shí)用的是氬離子