剛體力學學習

1、例例6-3 質量為質量為m的空間站的空間站 沿半徑為沿半徑為 r的圓周繞月運動的圓周繞月運動.在圓軌道在圓軌道P點向前發(fā)射一質量點向前發(fā)射一質量m1的物體以使空間站在月球表面登陸。的物體以使空間站在月球表面登陸。求求m1的發(fā)射速度的發(fā)射速度v1(已知月球質量已知月球質量mm半徑半徑Rm)月球月球p空間站發(fā)射空間站發(fā)射m1的物體的物體,軌道切線方向動量守恒軌道切線方向動量守恒01 11202mmvmvmm vmmvmrr空而G空間站在空間站在新橢圓軌道，對月球中心點角動量守恒新橢圓軌道，對月球中心點角動量守恒11Rmmm v rmm v R空空間站在空間站在新橢圓軌道，機械能守恒新橢圓軌道，機械

2、能守恒1122111122mmRmmm mmm mmm vGmm vGrR空212MmEmvGr例例6-2 人造衛(wèi)星繞地球作圓周運動，受空氣摩擦阻力，衛(wèi)星人造衛(wèi)星繞地球作圓周運動，受空氣摩擦阻力，衛(wèi)星速度和軌道半徑如何變化？速度和軌道半徑如何變化？22MvmGmrr衛(wèi)星受空氣摩擦阻力，阻力的元功衛(wèi)星受空氣摩擦阻力，阻力的元功2212000fMmAdEmvGrMmmvdvGdrmvdvrdvdr 22MM2vGvdvGdrrr 質點系動量質點系動量y方向分量守恒方向分量守恒012ymvmvmv 011111011cossin2cossin3xyyxyxLmvkmrvmLijv iv jmLvmL

3、vkvvv xBryA1v1v2v繩伸直時，質點繩伸直時，質點A對固定點對固定點B角動量守恒角動量守恒11211111121231sin22xxyyvvvvvvvvvvvv4 4一圓錐擺的擺線長為一圓錐擺的擺線長為 L，擺錘的質量為，擺錘的質量為 m ，圓錐的半頂，圓錐的半頂角為角為。試求當擺錘從圖中位置。試求當擺錘從圖中位置 A 沿圓周勻速運動到位置沿圓周勻速運動到位置 B 的過程中張力的沖量。的過程中張力的沖量。解：設繩中張力為解：設繩中張力為 ，擺錘的運動周期為，擺錘的運動周期為 。FT對擺錘應用牛頓第二定律：對擺錘應用牛頓第二定律：其中，其中，sinRl 又知：又知：02 Rv Tco

4、sFmg豎直方向：豎直方向：20sinvFmR水平方向：水平方向：4從從 到到 位置應用對擺錘應用動量定理：位置應用對擺錘應用動量定理：AB00()mgFmvmvIIii即即 022FTmgmvkIi解得：解得：g2 sincoscosFlmmlgIik57.1 剛體運動的描述剛體運動的描述 第七章第七章 剛體力學剛體力學 7.1.2 剛體繞固定軸的轉動剛體繞固定軸的轉動 7.1.1 剛體的平動剛體的平動 7.1.3 角速度矢量角速度矢量 7.1.4 剛體的平面運動剛體的平面運動 剛體剛體是受力時不改變形狀和體積的物體是受力時不改變形狀和體積的物體. 是理是理 想模型想模型.特點特點(1)是一

5、個質點組（剛體可以看成由許多質點是一個質點組（剛體可以看成由許多質點 組成，每一個質點叫做剛體的一個質元組成，每一個質點叫做剛體的一個質元.）(2)組內任意兩點間的距離保持不變組內任意兩點間的距離保持不變.第七章第七章 剛體力學剛體力學 7.1.1 剛體的平動剛體的平動 Ojririjr平動平動剛體運動時剛體運動時,剛體內任一直線恒保持平行的剛體內任一直線恒保持平行的 運動運動.7.1 剛體運動的描述剛體運動的描述 動畫演示動畫演示trtrijdddd ijvv ijaa 2222ddddtrtrij ,的的矢矢量量指指向向質質元元表表示示質質元元圖圖中中jirijijijrrr 為為恒恒矢矢

6、量量由由平平動動定定義義ijr取參考點取參考點O 結論：結論：剛體平動時剛體平動時,其上各點具有相同的速度、加速其上各點具有相同的速度、加速度及相同的軌跡度及相同的軌跡.可用一個質點的運動代替剛體的運可用一個質點的運動代替剛體的運動動.Ojririjrtrtrijdddd ijvv ijaa 2222ddddtrtrij ,的的矢矢量量指指向向質質元元表表示示質質元元圖圖中中jirijijijrrr 為為恒恒矢矢量量由由平平動動定定義義ijr取參考點取參考點O 結論：結論：剛體平動時剛體平動時,其上各點具有相同的速度、加速其上各點具有相同的速度、加速度及相同的軌跡度及相同的軌跡.可用一個質點的

7、運動代替剛體的運可用一個質點的運動代替剛體的運動動.Ojririjr轉動：轉動：剛體運動時剛體運動時,其上各質元其上各質元都繞同一直線作圓周運動都繞同一直線作圓周運動.這種這種運動稱運動稱轉動轉動.該直線稱為轉軸該直線稱為轉軸.若若轉軸不動，稱轉軸不動，稱定軸轉動定軸轉動.7.1.2剛體繞固定軸的轉動剛體繞固定軸的轉動 OO(1)剛體上各點都在垂直于固定軸的平面內剛體上各點都在垂直于固定軸的平面內(轉動平面轉動平面)做圓周運動做圓周運動.其圓心都在一條固定不動的直線其圓心都在一條固定不動的直線(轉軸轉軸)上上. (2)剛體上各點到轉軸的垂直線在同樣的時間內所轉過剛體上各點到轉軸的垂直線在同樣的

8、時間內所轉過的角度都相同的角度都相同.因而因而用角量描述剛體的運動用角量描述剛體的運動.1.定軸轉動特征定軸轉動特征 xO p 稱稱角位置或角坐標角位置或角坐標.規(guī)定逆時針轉向規(guī)定逆時針轉向 為正為正.2. 定軸轉動的描述定軸轉動的描述 (1) 角坐標角坐標 剛體定軸轉動剛體定軸轉動的運動學方程的運動學方程 (2) 角位移角位移 為為 t時間內剛體所轉過的角度時間內剛體所轉過的角度. = (t) xOp(3) 角速度角速度 tttddlim0 在定軸轉動中在定軸轉動中,轉向只可能有兩轉向只可能有兩個方向個方向.取逆時針轉動取逆時針轉動 0，順順時針轉動時針轉動 0.rad/s30602nn 每

9、分轉每分轉n轉轉 角速度角速度 xO P(t)P(t+ t ) + (4) 角加速度角加速度 tttddlim0 可正可負可正可負, 當當 與與 同號時同號時,轉動加快轉動加快,異號時減慢異號時減慢. 角加速度角加速度2021tt 勻變速轉動勻變速轉動 =常量常量 ）（02022 t 0與質點勻變速直線運動公式相對應與質點勻變速直線運動公式相對應.tt d)(d tt d)(d ttt00d)( ttt00d)( (5)剛體定軸轉動運動方程剛體定軸轉動運動方程勻速轉動勻速轉動 =常量常量 t 0(6) 角量與線量的關系角量與線量的關系線量線量質點做圓周運動的位移質點做圓周運動的位移r、速度、速

10、度v、加速度、加速度a 角量角量描述剛體轉動整體運動的描述剛體轉動整體運動的rs rrva22n ra t rv 注注: r 的原點必須在轉軸上的原點必須在轉軸上. 弧長弧長 線速度線速度 切向加速度切向加速度 法向加速度法向加速度 ，r sOtexy角量與線量的矢量關系式為角量與線量的矢量關系式為 rv rta ddt )(nra )(ddntrrtaaa OP rrv rta ddt )(nra 7.1.3角速度矢量角速度矢量 O 角速度是矢量，其方向沿轉角速度是矢量，其方向沿轉軸且與剛體轉動方向成右手螺旋軸且與剛體轉動方向成右手螺旋系統(tǒng)系統(tǒng). 若剛體同時參與兩個軸的轉動，若剛體同時參與兩

11、個軸的轉動，則合成角速度按平行四邊形法則進則合成角速度按平行四邊形法則進行合成行合成.O 2 1 AAA注：注：角速度總是與無限小角位移角速度總是與無限小角位移相聯(lián)系相聯(lián)系,無限小角位移是矢量無限小角位移是矢量,所以所以角速度也是矢量角速度也是矢量.而有限角位移不而有限角位移不是矢量是矢量.角速度和角加速度在直角坐標系的正交分解式為角速度和角加速度在直角坐標系的正交分解式為 k j i zyx k j i zyx txxdd 其中其中 tyydd tzzdd 剛體作定軸轉動，令轉軸與剛體作定軸轉動，令轉軸與 z 軸重合，軸重合， 有有k z k z 0 yx 7.1.4剛體的平面運動剛體的平面

12、運動 剛體的平面運動剛體的平面運動剛體內所有的點都平行于某一平剛體內所有的點都平行于某一平面而運動面而運動. 如車輪滾動等如車輪滾動等.動畫演示動畫演示1.剛體的平面運動特點：剛體的平面運動特點： (1)每一質元軌跡都是一條平面曲線，質心始終落在每一質元軌跡都是一條平面曲線，質心始終落在 一個平面上一個平面上.(3)剛體內垂直于固定平面的直線上的各點，運動狀剛體內垂直于固定平面的直線上的各點，運動狀況都相同況都相同.(2)轉軸總是保持平行，并與固定平面垂直轉軸總是保持平行，并與固定平面垂直.(4)可用與固定平面平行的平面在剛體內截出一平面可用與固定平面平行的平面在剛體內截出一平面圖形來代表剛體

13、圖形來代表剛體.2. 平面運動的方程平面運動的方程 剛體平面運動剛體平面運動 = B點平動點平動 + 繞繞B點軸轉動點軸轉動 建立坐標系建立坐標系Oxyz，使平面圖形在，使平面圖形在Oxyz面內面內, z軸軸與屏幕垂直與屏幕垂直. 在平面上任取一點在平面上任取一點B，稱為基點，以基點，稱為基點，以基點B為原為原點建各坐標軸平行于點建各坐標軸平行于Oxyz的動坐標系的動坐標系Bx y z .BBrBBr AAA A122 jtyitxtrBBB)()()( )(t Oxyx y 點的位矢點的位矢點相對點相對是是BAr 3. 平面運動的剛體上任意一點的速度平面運動的剛體上任意一點的速度 平面上平面

14、上A點相對于點相對于Oxyz系的位置矢量系的位置矢量 rrrB vvtrtrtrvBB dddddd剛體繞過基點的角速度剛體繞過基點的角速度 rv rvvB 4.無滑滾動無滑滾動(純滾動純滾動)條件條件 (1)有滑動滾動和無滑動滾動有滑動滾動和無滑動滾動 有滑滾動有滑滾動接觸面之間有相對滑動的滾動接觸面之間有相對滑動的滾動(摩擦力不夠大摩擦力不夠大). 無滑滾動無滑滾動接觸面之間無相對滑動的滾動接觸面之間無相對滑動的滾動(摩擦力足夠摩擦力足夠 大大) 也稱純滾動也稱純滾動. 無滑滾動條件無滑滾動條件: rvzcy razcy rvvc 當邊緣上一點當邊緣上一點P與支承面接觸的瞬時，與支承面接觸

15、的瞬時，0 v證證 以圓柱體中心軸線上一點以圓柱體中心軸線上一點C為基點為基點,則邊緣上一點則邊緣上一點 rvzcy 0 rvc AxyOCr cvvr cvvr cvP實際上實際上,當柱體繞中心轉動當柱體繞中心轉動,其中心軸前進的距離其中心軸前進的距離 ryc rvc rac rryC2 r微分微分 7.2 剛體的動量和質心運動定理剛體的動量和質心運動定理7.2.1 剛體的質心剛體的質心 7.2.2 剛體的動量和質心運動定理剛體的動量和質心運動定理7.2 剛體的動量和質心運動定理剛體的動量和質心運動定理7.2.1 剛體的質心剛體的質心 在在O-xyz坐標中，質點系的質心坐標為坐標中，質點系的

16、質心坐標為 iiicmxmx iiicmymy iiicmzmz對質量連續(xù)分布的剛體對質量連續(xù)分布的剛體, VVcmmxxdd VVcmmyydd VVcmmzzdd剛體是特殊質點系，上述各式同樣適用于剛體剛體是特殊質點系，上述各式同樣適用于剛體. VVcVVxxdd 引入體密度引入體密度 VVcVVyydd VVcVVzzdd 均質物體均質物體 VVxxVc dVVyyVc dVVzzVc d例題例題1求質量均勻，半徑為求質量均勻，半徑為R的半球的質心位置的半球的質心位置.解解 設半球的密度為設半球的密度為 ，將半球分割成許多厚為，將半球分割成許多厚為dx的圓的圓片，任取其一片，任取其一xx

17、RxyVd)(dd222 R83 3/2d)(3022RxxRxR 33323421RRV VVxxVc d由對稱性得由對稱性得 0 cczyxROyzyxxd例題例題2 在半徑為在半徑為R的均質等厚大圓板的一側挖掉半徑為的均質等厚大圓板的一側挖掉半徑為R/2的小圓板的小圓板,大小圓板相切大小圓板相切,如圖所示如圖所示.求余下部分的質心求余下部分的質心.xyO解解 由對稱性，由對稱性，yc= 0 余下部分余下部分0 cx2141Rm 2/1Rxc 2243Rm 2222432410RxRRRc 62Rxc 2Rm 設平板面密度為設平板面密度為 ,大圓板大圓板小圓板小圓板7.2.2 剛體的動量和

18、質心運動定理剛體的動量和質心運動定理剛體動量剛體動量 cvmp 質心運動定律質心運動定律cciamtvmF dd質心加速度質心加速度剛體的總質量剛體的總質量剛體所受的外力矢量和剛體所受的外力矢量和例題例題3一圓盤形均質飛輪質量為一圓盤形均質飛輪質量為m=5.0kg，半徑為，半徑為r=0.15m,轉速為轉速為n=400r/min.飛輪作勻速轉動飛輪作勻速轉動.飛輪質心飛輪質心距轉軸距轉軸d=0.001m，求飛輪作用于軸承的壓力，求飛輪作用于軸承的壓力.計入飛輪計入飛輪質量但不考慮飛輪重量（這意味著僅計算由于飛輪的轉質量但不考慮飛輪重量（這意味著僅計算由于飛輪的轉動使軸承受到的壓力，不考慮飛輪所受

19、重力對該壓力的動使軸承受到的壓力，不考慮飛輪所受重力對該壓力的影響）影響）.rad/s 9 .41rad/s301416. 340030 n 解解 根據(jù)質心運動定理根據(jù)質心運動定理N 8 . 8N001. 09 .410 . 522 dmF 7.3 剛體定軸轉動的角動量剛體定軸轉動的角動量轉動慣量轉動慣量7.3.1 剛體定軸轉動對軸上一點的角動量剛體定軸轉動對軸上一點的角動量7.3.2 剛體對一定轉軸的轉動慣量剛體對一定轉軸的轉動慣量7.3.3 剛體定軸轉動的角動量定理和轉動定理剛體定軸轉動的角動量定理和轉動定理7.3.4 剛體的重心剛體的重心7.3.5 典型例子典型例子7.3 剛體定軸轉動的

20、角動量剛體定軸轉動的角動量轉動慣量轉動慣量7.3.1 剛體定軸轉動對軸上一點的角動量剛體定軸轉動對軸上一點的角動量1.轉軸為對稱軸轉軸為對稱軸 zm1m2Or1r2 2r1r L1L2L如圖如圖,對對O點點 k 1111vmrL 2222vmrL 1111vmrL 2222vmrL 因因m1= m2= m kLL coscos222111vmrvmrL 22mr rrr 21rvv 21故總角動量故總角動量 2.轉軸為非對稱軸轉軸為非對稱軸 zm1m2O 2 12r 1r L1L2Lk 如圖如圖, 對對O點同樣有點同樣有 1111vmrL 2222vmrL 1111vmrL 2222vmrL

21、21LLL 總角動量與轉軸成總角動量與轉軸成 角角. 剛體繞對稱軸轉動時，剛體上任一點的角動量剛體繞對稱軸轉動時，剛體上任一點的角動量與角速度方向相同與角速度方向相同.一般情況，剛體定軸轉動對軸上一般情況，剛體定軸轉動對軸上一點的角動量并不一定沿角速度的方向，而是與之一點的角動量并不一定沿角速度的方向，而是與之成一定夾角成一定夾角.7.3.2 剛體對一定轉軸的轉動慣量剛體對一定轉軸的轉動慣量iiiivmrL 質點系對點的角動量質點系對點的角動量 設剛體繞設剛體繞Oz 軸轉動，剛體角動量在軸轉動，剛體角動量在 z 軸的投影軸的投影 iizzLL iiirm )(2ziizrv 2iizrmI剛體

22、對剛體對 z 軸轉動慣量軸轉動慣量 剛體對剛體對 z 軸角動量軸角動量 zzzIL 轉動慣量是轉動慣性的量度轉動慣量是轉動慣性的量度. 22ML mkg 單單位位：1.轉動慣量轉動慣量 質量連續(xù)質量連續(xù)分布的剛體分布的剛體 VmSmlmmrJddddddd2 體體面面線線其中其中 、 、 分別為質量的線密度、面密度和體分別為質量的線密度、面密度和體密度密度.轉軸的位置轉軸的位置; 質量分布質量分布. 總質量；總質量；轉動慣量的決定因素：轉動慣量的決定因素：(1) 轉軸過中心與桿垂直轉軸過中心與桿垂直 取質元：取質元： xlmmdd d d2222 llxlmxmrJ(2) 轉軸過棒一端與棒垂直

23、轉軸過棒一端與棒垂直 31d d2022lmxlmxmrJl 例例1: 1: 勻質細桿的勻質細桿的 J 。 OxxOxdmxdxdmxd 1212lm J例例1求均質圓盤求均質圓盤(m,R)過圓心且與板面垂直的轉軸的過圓心且與板面垂直的轉軸的轉動慣量轉動慣量 .解解242121mRhR xyzrdr盤由許多環(huán)組成盤由許多環(huán)組成 mrIdd2 mrId2 rhrrd22 Rrrh03d2 2.幾種典型形狀剛體的轉動慣量幾種典型形狀剛體的轉動慣量 圓筒圓筒 )(212221RRmI 圓環(huán)圓環(huán)I=mR2 RmO O 圓柱圓柱 221mRI LRR2R12121mlI 細圓棒細圓棒lR圓球圓球 252

24、mRI 球殼球殼 R232mRI 3. 回轉半徑回轉半徑 任何轉動慣量均有任何轉動慣量均有 I = mk2 k稱為回轉半徑稱為回轉半徑 Rk52 圓球圓球Rk21 圓柱圓柱質量相同的剛體，質量相同的剛體，I ，k (1)平行軸定理平行軸定理 ABCdxmi i i i iiCmI2 對對C A軸平行軸平行C 軸（質心軸）軸（質心軸）對對AiiAmI2 由圖由圖 iiiidd cos2222 iiAmI2 )cos2(22iiiiddm dmdmmiiiiii2cos22 iiiiixmm cos故：故： 2mdIIcA 平行軸定理平行軸定理 0 cmx4.反映轉動慣量性質的定理反映轉動慣量性質

25、的定理 (2)垂直軸定理（正交軸定理）垂直軸定理（正交軸定理）mi ixyz yixiOzxyIII(3)可疊加原理可疊加原理 若一個復雜形狀的物體是由許多簡單形體組成，若一個復雜形狀的物體是由許多簡單形體組成，則這個復雜物體的對某軸的轉動慣量等于各簡單形則這個復雜物體的對某軸的轉動慣量等于各簡單形體對同一轉軸的轉動慣量之疊加體對同一轉軸的轉動慣量之疊加.LR例例 質量為質量為m半徑為半徑為R長為長為l的實圓柱體對中心直徑的實圓柱體對中心直徑的轉動慣量的轉動慣量取取x-x+dx處質量處質量dm的薄盤的薄盤2222222222222211241+x411+xdx+x4411412xzzlzlmm

26、dmdvR dxdxR lldIdmRdIdmRdIdmRdmmmIdmRdmRdxllmRml由垂直軸定理又由平行軸定理7.3.3 剛體定軸轉動的角動量定理和轉動定理剛體定軸轉動的角動量定理和轉動定理zzzizIttLM dddd iizzLLzziiiIrm )(2剛體對定軸的角動量剛體對定軸的角動量 角動量定理微分形式角動量定理微分形式 0dzzzzzIItM 角動量定理積分形式角動量定理積分形式 剛體定軸轉動剛體定軸轉動 I = 常量常量zzizIM 剛體定軸轉動的轉動定理剛體定軸轉動的轉動定理說明：說明：地位相當?shù)匚幌喈斉c與amFIM )1(式式中中各各量量對對同同一一轉轉軸軸)2(

27、.00 , ,3轉轉動動第第一一定定律律恒恒量量，若若則則常常量量）（ MMI IM 注意：注意：1. 1. 隔離法分析研究對象，建立坐標系。隔離法分析研究對象，建立坐標系。2. 2. 對剛體列轉動定律方程，對質點列牛頓定律方程。對剛體列轉動定律方程，對質點列牛頓定律方程。3. 3. 列出輔助方程。列出輔助方程。七七、轉動定律的應用轉動定律的應用（重點）（重點） 力矩和轉動慣量必須對同一轉軸而言。力矩和轉動慣量必須對同一轉軸而言。 選定轉軸正方向選定轉軸正方向, , 以確定力矩、角加速度、角速度的正負。以確定力矩、角加速度、角速度的正負。 當系統(tǒng)中既有轉動物體，又有平動物體時當系統(tǒng)中既有轉動物

28、體，又有平動物體時, , 用隔離法解題。用隔離法解題。 對轉動物體用轉動定律建立方程對轉動物體用轉動定律建立方程, , 對平動物體則用牛頓定律對平動物體則用牛頓定律 建立方程。建立方程。解解: : 隔離法隔離法 列出運動方程列出運動方程 amTgm111 Ra 從以上各式解得從以上各式解得 2/21f21221f21mmmRMgmmRJmmRMgmma T2T1m1gm2gm2m1a輔助方程：輔助方程： amgmT222 f21 JMRTRT :1 m :2 m: m T1T2RmO fM m2m1aRm例例 4 4:已知已知, 1m, 2mT.a,R,m,m1張力張力加速度加速度求求定滑輪定

29、滑輪:,m2 一一、質點的運動規(guī)律和剛體定軸轉動規(guī)律的對比質點的運動規(guī)律和剛體定軸轉動規(guī)律的對比 (一一)質點運動質點運動剛體定軸轉動剛體定軸轉動速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度質量質量 m , 力力 F轉動慣量轉動慣量 J , , 力矩力矩 M力的功力的功力矩的功力矩的功動能動能轉動動能轉動動能勢能勢能轉動勢能轉動勢能trvdd tdd tvadd tdd 221mvEk 221 JEk barFAd baMA dmghEp cpmghE 質點的運動規(guī)律和剛體定軸轉動規(guī)律的對比質點的運動規(guī)律和剛體定軸轉動規(guī)律的對比(二二)質點運動質點運動剛體定軸轉動剛體定軸轉動牛頓定律牛頓定

30、律轉動定律轉動定律動量定理動量定理角動量定理角動量定理動量守恒動量守恒角動量守恒角動量守恒動能定理動能定理轉動動能定理轉動動能定理機械能守恒機械能守恒機械能守恒機械能守恒amF JM 00diiitivmvmtF const pk EE2022121mvmvA iiiiiivmvm02022121 JJA const pk EE tJJtM000d 00 JJ 7.3.4 剛體的重心剛體的重心重心重心剛體處于不同方位時剛體處于不同方位時,重力作用線都要通過的那重力作用線都要通過的那 一點一點. 如圖如圖,被懸掛剛體處于靜止被懸掛剛體處于靜止,C為重心為重心,因因C不動不動,可視為可視為轉軸轉軸

31、.因為剛體靜止因為剛體靜止,所以諸體元重力對所以諸體元重力對C 軸合力矩為零軸合力矩為零.xzCiWyABDWCCABDW0)( ciixxWWzWziic gmWii 則重心坐標與質心坐標同，但概念不同則重心坐標與質心坐標同，但概念不同. 質心是質量質心是質量中心，其運動服從質心運動定理中心，其運動服從質心運動定理. 重心是重力合力作重心是重力合力作用線通過的那一點用線通過的那一點.WxWxiic WyWyiic 若取若取例題例題2如圖如圖(a)表示半徑為表示半徑為R的放水弧形閘門，可繞圖的放水弧形閘門，可繞圖中左方支點轉動，總質量為中左方支點轉動，總質量為m,質心在距轉軸質心在距轉軸 處，

32、處，閘門及鋼架對質點的總轉動慣量為閘門及鋼架對質點的總轉動慣量為 ,可用鋼可用鋼絲繩將弧形閘門提起放水，近似認為在開始提升時鋼絲繩將弧形閘門提起放水，近似認為在開始提升時鋼架部分處于水平，弧形部分的切向加速度為架部分處于水平，弧形部分的切向加速度為a=0.1g，g為重力加速度為重力加速度,不計摩擦不計摩擦,不計水浮力不計水浮力.297mRI R32圖圖(a) （1）求開始提升時的瞬時，鋼絲繩對弧形閘門的拉力）求開始提升時的瞬時，鋼絲繩對弧形閘門的拉力和支點對閘門鋼架的支承力和支點對閘門鋼架的支承力.（2）若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門）若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門圖圖(b)需拉力

33、是多少？需拉力是多少？TF W圖圖(b) xyONFTFW圖圖(a) 解解（1）以弧形閘門及鋼架）以弧形閘門及鋼架為隔離體，受力如圖為隔離體，受力如圖(a)所示所示. 建立直角坐標系建立直角坐標系Oxy，camWFF NT向向x及及y軸投影得軸投影得 根據(jù)轉動定理根據(jù)轉動定理xcxmaF NzmRRmgRF 2T9732 ycymaFmgF NT0 xcaRaz Razcy 32 起動時起動時根據(jù)質心運動定理根據(jù)質心運動定理 即起動瞬時繩對閘板的拉力為即起動瞬時繩對閘板的拉力為 ，質點，質點O 對閘門鋼對閘門鋼架的支承力豎直向上，大小等于架的支承力豎直向上，大小等于29mg/90.mg9067

34、TF W圖圖(b) mgFy9029N mgF9067T 0N xF(2) 用用 表示提升平板形閘門所用的拉力，對閘門應表示提升平板形閘門所用的拉力，對閘門應用牛頓第二定律，得：用牛頓第二定律，得：TF mgF1011T 比較上面結果，可見提升弧形閘門比較上面結果，可見提升弧形閘門所用的拉力較小所用的拉力較小.mamgF T例題例題3如圖表示一種用實驗方法測量轉動慣量的裝置。如圖表示一種用實驗方法測量轉動慣量的裝置。待測剛體裝在轉動架上，線的一端繞在轉動架的輪軸上，待測剛體裝在轉動架上，線的一端繞在轉動架的輪軸上，線與線軸垂直，輪軸的軸體半徑為線與線軸垂直，輪軸的軸體半徑為r，線的另一端通過定

35、，線的另一端通過定滑輪懸掛質量為滑輪懸掛質量為m的重物，已知轉動架慣量為的重物，已知轉動架慣量為I0 ，并測得，并測得m自靜止開始下落自靜止開始下落 h 高度的時間為高度的時間為 t ,求待測物體的轉動求待測物體的轉動慣量慣量I，不計兩軸承處的摩擦，不計滑輪和線的質量，線，不計兩軸承處的摩擦，不計滑輪和線的質量，線的長度不變的長度不變.hII0rm解解分別以質點分別以質點 m 和轉動系統(tǒng)和轉動系統(tǒng) I+I0 作為研究對象，作為研究對象，受力分析如圖受力分析如圖.xyONF1TF2TFWmaFmg 2T )(01TIIrF 2T1TFF ra 221gth 022)12(IhgtmrI dddd

36、zizzzzLMIItt角動量定理微分形式角動量定理微分形式 0dzzzzzzzM td III角動量定理積分形式角動量定理積分形式 例例P236 7-8o1o22111110111222222022211110122222011221212FRdtIIImRFR dtIIIm RIIRRIIRR7.4剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理 7.4.1力矩的功力矩的功 7.4.2 剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理 7.4.3 剛體的重力勢能剛體的重力勢能 ddrFdsFA對有限角位移對有限角位移 dd00 zMrFA作用于剛體的外力的功，可用外作用于剛體的外力的功，可用外力對

37、轉軸的力矩力對轉軸的力矩 所做的功來計算所做的功來計算.力矩的功率：力矩的功率：zzzMtMtAP dddd7.4.1力矩的功力矩的功 剛體中剛體中P點在力點在力 的作用下位移的作用下位移 則則力元功力元功 FrdFOzrF F dzFPr 7.4.2 剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理 當剛體繞定軸轉動時當剛體繞定軸轉動時,其動能為所有質點作圓其動能為所有質點作圓周運動動能的總和周運動動能的總和.2k21 zIE 2kk21iiivmEE 2221 iirm 22)(21 iirm2k21iiivmE 任意質元的動能為：任意質元的動能為：1. 定軸轉動剛體的動能定軸轉動剛體的動能

38、剛體的動能剛體的動能 2. 定軸轉動剛體的動能定理定軸轉動剛體的動能定理 2022121 zziIIAA 外外外外 zzIM d0iziMA外外外外 ddd tIz 0d zI 作用于剛體的外力對固定軸的力矩所做的功等作用于剛體的外力對固定軸的力矩所做的功等于剛體繞定軸轉動動能的改變量于剛體繞定軸轉動動能的改變量. dzI不變質點系不變質點系,內力做功之和為零內力做功之和為零7.4.3 剛體的重力勢能剛體的重力勢能 cmgyE p 剛體的重力勢能與質量集中在質心上的一個質點剛體的重力勢能與質量集中在質心上的一個質點的重力勢能相同的重力勢能相同. iigymEpgymii)( mgymmii)(

39、 剛體的重力勢能剛體的重力勢能 例題例題1裝置如圖所示，均質圓柱體質量為裝置如圖所示，均質圓柱體質量為m1，半徑為，半徑為R，重錘質量為重錘質量為m2 ，最初靜止，后將重錘釋放下落并帶動，最初靜止，后將重錘釋放下落并帶動柱體旋轉，求重錘下落柱體旋轉，求重錘下落 h 高度時的速率高度時的速率v，不計阻力，不計阻力，不計繩的質量及伸長不計繩的質量及伸長.1m2mhR解解 方法方法1. 利用質點和剛體轉利用質點和剛體轉動的動能定理求解動的動能定理求解.22T221vmhFghm 2212T4121 RmIRF 由質點動能定理由質點動能定理 由剛體動能定理由剛體動能定理 約束關系約束關系 Rv hR

40、聯(lián)立得聯(lián)立得 21222mmghmv 方法方法2. 利用質點系動能定理求解利用質點系動能定理求解 將轉動柱體、下落物體視作質點系將轉動柱體、下落物體視作質點系 由質點系動能定理由質點系動能定理 221222222)21(21212121 RmvmIvmghm 約束關系約束關系 Rv hR 聯(lián)立得聯(lián)立得 21222mmghmv 例題例題2均質桿的質量為均質桿的質量為m，長為，長為l,一端為光滑的支點一端為光滑的支點.最最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動，如圖所示初處于水平位置，釋放后桿向下擺動，如圖所示.（1）求桿在圖示的豎直位置時，其下端點的線速度）求桿在圖示的豎直位置時，其下端點的線速度v；

41、（2）求桿在圖示的豎直位置時，桿對支點的作用力）求桿在圖示的豎直位置時，桿對支點的作用力.ONFnete解解(1)由機械能守恒得由機械能守恒得221 Imghc lhc21 231mlI 聯(lián)立得聯(lián)立得 glv3 CEp=0W(2)根據(jù)質心運動定理根據(jù)質心運動定理 camWF NNttt000ccFmaMa分量式分量式 ccrvmmgF2Nn 例：質量為例：質量為M ，長長 l 的勻質細桿一端懸掛于光滑的的勻質細桿一端懸掛于光滑的O點點，質量為質量為 m 的子彈以水平速度的子彈以水平速度 v 從從 A 點射入桿并陷入其中點射入桿并陷入其中，使桿使桿轉動的最大角度為轉動的最大角度為 30。已知已知

42、 OA = l，求求：子彈入射速度子彈入射速度。 )31(22lmMllmv 桿擺動過程僅重力矩做功，桿擺動過程僅重力矩做功，系統(tǒng)機械能守恒系統(tǒng)機械能守恒：)30cos1)(2()31(21222 lmglMglmMl 聯(lián)立聯(lián)立 解得：解得： )3)(2)(32(6122lmMllmMlglmv ov30Al Mgmg解：兩個物理過程解：兩個物理過程 子彈以子彈以 v 射入桿內與桿獲得共同角速度射入桿內與桿獲得共同角速度 的過程，的過程，系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒： p241 p241 例例7-11 7-11 ：222011()33MlMlml環(huán)環(huán)mm與桿與桿系統(tǒng)在環(huán)從系統(tǒng)在環(huán)從A A到到B

43、 B 的過程的過程系統(tǒng)機械能守恒系統(tǒng)機械能守恒：2222201 11 11()()2 32 32sinMlMlmvlvBA 環(huán)環(huán)mm與桿與桿系統(tǒng)在環(huán)從系統(tǒng)在環(huán)從A A到到B B 的過程，的過程，系統(tǒng)系統(tǒng)角動量守恒角動量守恒：7.5 剛體平面運動的動力學剛體平面運動的動力學 7.5.1 剛體平面運動的基本動力學方程剛體平面運動的基本動力學方程 7.5.2 作用于剛體上的力作用于剛體上的力 7.5.3 剛體平面運動的動能剛體平面運動的動能 7.5.4 滾動摩擦力偶矩滾動摩擦力偶矩 7.5.5 汽車輪的受力汽車的極限速度汽車輪的受力汽車的極限速度 7.5 剛體平面運動的動力學剛體平面運動的動力學 7

44、.5.1 剛體平面運動的基本動力學方程剛體平面運動的基本動力學方程 平面運動平面運動 = 平動平動+定軸轉動定軸轉動 1.求質心的運動求質心的運動 根據(jù)質心運動定律根據(jù)質心運動定律 ciamF cxixmaF cyiymaFm 剛體的質量剛體的質量. 所有外力的矢量和所有外力的矢量和, iF剛體作平面運動，受力必是平面力剛體作平面運動，受力必是平面力 直角坐標系中的分量式直角坐標系中的分量式 (7.5.1)2. 剛體繞質心的轉動剛體繞質心的轉動 在質心系中剛體作定軸轉動在質心系中剛體作定軸轉動. 選質心坐標系選質心坐標系 Cxyz ,設設z為過質心而垂直于固為過質心而垂直于固定平面的軸定平面的

45、軸. 在質心系中在質心系中tLMMzidd 慣慣外外 M外外i 外力對質心的力矩外力對質心的力矩,又又 M慣慣= 0 M慣慣 慣性力對質心力矩慣性力對質心力矩. zzczzcziItItLM d)(ddd外外zzciIM 外外 即剛體相對于質心的軸的轉動同樣服從定軸轉即剛體相對于質心的軸的轉動同樣服從定軸轉動定律動定律. 式式(7.5.1)和和(7.5.2)稱剛體平面運動的基本動稱剛體平面運動的基本動力學方程力學方程.(7.5.2)7.5.2 作用于剛體上的力作用于剛體上的力 1.作用于剛體上力的兩種效果作用于剛體上力的兩種效果 滑移矢量滑移矢量 (1) 施于剛體的力的特點施于剛體的力的特點

46、作用力通過質心，對質心軸上的作用力通過質心，對質心軸上的力矩為零，使剛體產生平動力矩為零，使剛體產生平動. 力作質心軸的力矩使剛體產力作質心軸的力矩使剛體產生角加速度生角加速度. 施于剛體的某個點的力施于剛體的某個點的力,決不可以隨便移到另一點去決不可以隨便移到另一點去.AFBF(2) 施于剛體的力是滑移矢量施于剛體的力是滑移矢量 右圖中右圖中,施于施于A點的力點的力F 可用施于可用施于B點的力點的力F 代替代替,即力可沿作用線滑移即力可沿作用線滑移.ABC作用于剛體的力的三要素：作用于剛體的力的三要素： FFF大小、方向和作用線大小、方向和作用線. 2.力偶和力偶矩力偶和力偶矩 力偶力偶:大

47、小相等方向相反彼此平行的一對力大小相等方向相反彼此平行的一對力. 21FF 2211FrFrM 力偶力偶121)(Frr 112Fr 大小大小 FdrM sin12力偶力偶與參考點的選擇無關與參考點的選擇無關. Odm1m22r12r1r2F1F 一般作用于剛體的力等效一般作用于剛體的力等效于一作用線通過質心的力和一于一作用線通過質心的力和一力偶，這力的方向和大小與原力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對力相同，而力偶矩等于原力對質心軸的力矩質心軸的力矩. 7.5.3 剛體平面運動的動能剛體平面運動的動能 22k2121 ccImvE 動能動能 動能定理動能定理 )2121(22

48、 ccImvA 外外222121 cccImvmghE 機械機械 如果剛體不太大，若剛體在運動中只有保守力如果剛體不太大，若剛體在運動中只有保守力作功，則系統(tǒng)的機械能也守恒作功，則系統(tǒng)的機械能也守恒.例題例題1如圖，固定斜面傾角為如圖，固定斜面傾角為 ，質量為，質量為 m 半徑為半徑為 R 的均質圓柱體順斜面向下作無滑滾動，求圓柱體質心的的均質圓柱體順斜面向下作無滑滾動，求圓柱體質心的加速度加速度ac 及斜面作用于柱體的摩擦力及斜面作用于柱體的摩擦力F .x yOCx y 解解NFFW根據(jù)質心運動定理根據(jù)質心運動定理camFWF Ny 軸上投影軸上投影cmaFW sin對質心軸的轉動定理對質心

49、軸的轉動定理 Rac sin31 sin32mgFgac 221mRIFR 無滑滾動無滑滾動 例題例題2質量為質量為m的汽車在水平路面上急剎車，前后輪均的汽車在水平路面上急剎車，前后輪均停止轉動停止轉動. 前后輪相距前后輪相距L，與地面的摩擦因數(shù)為，與地面的摩擦因數(shù)為 .汽車質汽車質心離地面高度為心離地面高度為h，與前輪軸水平距離為，與前輪軸水平距離為l .求前后車輪對求前后車輪對地面的壓力地面的壓力.OCxyx y 1F2F1NF2NF解解 汽車受力如圖汽車受力如圖. camFFFFW 2N1N02N1N WFFy 軸投影軸投影2N21N1 FFFF 0)()(1N2N21 lFlLFhFF

50、對質心軸的轉動定理對質心軸的轉動定理根據(jù)質心運動定理根據(jù)質心運動定理LhlmgFLhlLmgF/ )(/ )(2N1N 由上面方程可解出由上面方程可解出根據(jù)牛頓第三定律，前后輪對地面的壓力大小分別為根據(jù)牛頓第三定律，前后輪對地面的壓力大小分別為FN1、FN2 ，但方向向下，但方向向下.例題例題3 在例題在例題1中，設圓柱體自靜止開始滾下，求質中，設圓柱體自靜止開始滾下，求質心下落高度心下落高度 h 時，圓柱體質心的速率時，圓柱體質心的速率.x yOCx y NFFW解解 因為是無滑滾動，靜摩因為是無滑滾動，靜摩擦力擦力F 不做功，只有重力不做功，只有重力W做功，機械能守恒做功，機械能守恒.2224121 mRmvc Rvc ghvc332 222)21(2121 mRmvmghc 無滑滾動條件無滑滾動條件例例7-15質量為質量為m, 長為長為