D微積分基本定理PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D微積分基本定理微積分基本定理在直線運(yùn)動(dòng)的速度為( ),s t( ),v tC a b機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 運(yùn)動(dòng)的路程為則( )( )s bs a任給,xa b則又有( )( )s xs a又( )( )s xv x即有d( )ddxav ttx( )v x這具有普遍性 .( )dbav tt( )dxav tt第1頁/共20頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4.2.1設(shè)( )f x在,ba上可積,在0 , xa b連續(xù)，則函數(shù)( )( )dxaF xf tt在0 xx可微，并有00()()F xf x證明證明取x使0 , ,xa bx則有0( )dxxaf

2、tt00 xxF xF x0( )daxf tt0()f x000dxxxfxtx1x故000()Fxf xxxF x0001( )dxxxf tf xtx1x00( )dxxxf tt第2頁/共20頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 000()Fxf xxxF x0001( )dxxxf tf xtx( )f x在0 x連續(xù)，由于故對于0,00,使當(dāng)0 x時(shí)有0( )()f xf x故對0,取0,則當(dāng)x時(shí)有000()Fxf xxxF x0001( )dxxxf tf xtx0001( )dxxxf tf xtx001dxxxtx0000()limxF xxF xF xx 0()f x第3頁

3、/共20頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4.2.2設(shè)( ) , ,f xC a b則是( )( )dxaF xf tt( )f x的一個(gè)原函數(shù)，即有 d( )ddxaf ttf xx注注（1）( )( )dxaF xf tt是滿足( )0F a 條件的唯一原函數(shù)。(2) 定理 表明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（3）定理把定積分這個(gè)特殊極限與導(dǎo)數(shù)這個(gè)完全不同的極限聯(lián)系起來。第4頁/共20頁思考思考用定理4.2.2證明積分中值定理, ,)(baCxf若則,a b 使( )d( )()baf xxfba積分中值定理積分中值定理證明證明令( )d ,xaf tt( )F x 則由定理4.2

4、.2知( )F x在 , a b可導(dǎo)，且 ( ).F xf x( )( )( )()F bF afba由Lagrange中值知,a b 使又( )( )F bF a( )daaf xx( )dbaf xx( )dbaf xx得( )d( )()baf xxfba第5頁/共20頁 ttf txfxd)()(0,0)(,),0)(xfxf且內(nèi)連續(xù)在設(shè)證明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證證:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，（在xF只要證0)( xF機(jī)動(dòng) 目錄

5、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x第6頁/共20頁,0)(,)(, )(xgbaxgxf且上連續(xù)在設(shè)試證, ),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析:要證0d)()(d)()(babaxxgfxxfg即xaxxgd)(baxxfd)(xaxxfd)(baxxgd)(x0故作輔助函數(shù)baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 至少存在一點(diǎn)第7頁/共20頁baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()()(, )(xgxf因在,ba上連續(xù),)(上

6、連續(xù)在故baxF在,),(內(nèi)可導(dǎo)ba, 0)()(bFaF且至少, ),(ba使,0)(F即0d)()(d)()(babaxxgfxxfg因在,ba上)(xg連續(xù)且不為0 ,0d)(baxxg從而不變號,因此故所證等式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故由羅爾定理知 ,存在一點(diǎn)第8頁/共20頁,0)(,)(, )(xgbaxgxf且上連續(xù)在設(shè)試證, ),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 至少存在一點(diǎn)( )d( )( )( )dbabaf xxfgg xx( )d( )d( )( )( )d( )dbaaabaaaf xxf

7、 xxfgg xxg xx故若令( )( )dxaF xf tt( )( )dxaG xg tt則( )d( )( )( )( )( )dbabaf xxF bF aG bG ag xx( )( )FG第9頁/共20頁,0)(,)(, )(xgbaxgxf且上連續(xù)在設(shè)試證, ),(ba使( )d( )( )( )dbabaf xxfgg xx證明證明機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 至少存在一點(diǎn)( )( )d ,xaF xf tt( )( )d ,xaG xg tt則顯然( )( )( )( )F bF aG bG a( )( )FG令( )F x( )G x、在 , a b連續(xù)且在( ,

8、)a b可導(dǎo)，又( )( )0,G xg x故由Cauchy定理知至少存在一點(diǎn), ),(ba使即( )d( )( )( )dbabaf xxfgg xx第10頁/共20頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 4.2.3（Newton-Leibniz)二二 積分形式的微積分基本定理積分形式的微積分基本定理設(shè)( ) , ,f xC a b( )F x( )f x在 , a b是的任一個(gè)原函數(shù)，則( )d( )( )( )xxaaf ttF xF aF t證明證明法一：由定理4.1.2立即可得。法二：( )dxaf tt( )F x注意到與均是( )f x在原函數(shù)，故( )d( )xaf t

9、tF x,C注意到( )d0,aaf tt 可得( ).CF a 故( )d( )xaf ttF xC , a b( )( )( )xaF xF aF t第11頁/共20頁（2）變限積分求導(dǎo)變限積分求導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf注注d( )d( )dxaf ttf xx（1）( )dbaf xx( )()fba( )( )F bF a對( )f x是積分中值定理對( )F x是微分中值定理微分和積分在這里聯(lián)系起來了。第12頁/共20頁（2）變限積分求導(dǎo)變限積分求導(dǎo)bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(

10、xxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf特別的 d( )ddaxf ttx fxx 第13頁/共20頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )( )( )dxxf tt)()()()(xxfxxf設(shè)( )F x是( )f x的一個(gè)原函數(shù),則( ( )( ( )FxFx( )( )d( )d ( )( ) ( )( )dxxf ttfxxfxxx證明證明:)()(d)(ddxxttfxd( ( )( ( )dFxFxx故第14頁/共20頁0limxtextd1cos22x解解原式0limx00 x2e21說明 目錄 上頁 下頁 返回

11、結(jié)束 求令21cos( )d ,txF xet則( )F x是連續(xù)函數(shù)，故21cos00limdlim( )txxxetF x(0)F211d0tet故上述極限是型，故( sin )x 2cos xe第15頁/共20頁說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例確定常數(shù) a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解0020limln(1)dxbxtt20ln(1)dlimsinsinxbxtta xxa xx200ln(1)dlimlimsinsinxbxxtta xxa xx100c200limln(1)dxbxtt02ln(1)d ,btt令2(

12、)ln(1)d ,xbF xtt則( )F x是連續(xù)函數(shù)，故0lim( )xF x(0)F2ln(1)b 其中介于0與b之間。故0b 第16頁/共20頁說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例確定常數(shù) a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx00原式 =20coslimln(1)xaxxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c020sinlimln(1)dxxa xxtt第17頁/共20頁220( )() ( )dxxxtf tt設(shè)求( ) x220( )() ( )dxxxtf tt2200( )d( )dxxx f ttt f tt解解2200( )d( )dxxxf ttt f tt故2200( )( )d( )dxxxxf ttt f tt202( )d( )xxf ttx f x2( )x f x02( )dxxf tt第18頁/共20頁20sin( )( )d2cosxtfxf ttt求可微函數(shù) 滿足 f xx解解兩對