《飛行管理問題》ppt課件

1、v在約在約10000m高空的某邊長高空的某邊長160km的正方形區(qū)域的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有假設(shè)干架飛機(jī)作程度飛行。區(qū)域內(nèi)每內(nèi)，經(jīng)常有假設(shè)干架飛機(jī)作程度飛行。區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，架飛機(jī)的位置和速度向量均由計算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，以便進(jìn)展飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)以便進(jìn)展飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時，記錄其數(shù)據(jù)后，要立刻計算并到達(dá)區(qū)域邊緣時，記錄其數(shù)據(jù)后，要立刻計算并判別能否會與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。假設(shè)會碰判別能否會與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。假設(shè)會碰撞，那么應(yīng)計算如何調(diào)整各架包括新進(jìn)入的撞，那么應(yīng)計算如何調(diào)整各架包括新進(jìn)入的飛機(jī)飛行的方向角，以

2、防止碰撞?，F(xiàn)假設(shè)條件如飛機(jī)飛行的方向角，以防止碰撞?，F(xiàn)假設(shè)條件如下：下：(1)不碰撞的規(guī)范為恣意兩架飛機(jī)的間隔大于不碰撞的規(guī)范為恣意兩架飛機(jī)的間隔大于8km；(2)飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超越飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超越30；(3)一切飛機(jī)飛行速度均為一切飛機(jī)飛行速度均為800km/h；(4)進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內(nèi)進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的間隔應(yīng)在飛機(jī)的間隔應(yīng)在60km以上；以上；(5)最多需思索最多需思索6架飛機(jī)；架飛機(jī)；(6)不用思索飛機(jī)分開此區(qū)域后的情況。不用思索飛機(jī)分開此區(qū)域后的情況。v請他對這個防止碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)請他對這個

3、防止碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型，列出計算步驟，對以下數(shù)據(jù)進(jìn)展計算模型，列出計算步驟，對以下數(shù)據(jù)進(jìn)展計算方向角誤差不超越方向角誤差不超越0.01v設(shè)該區(qū)域設(shè)該區(qū)域4個頂個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。記錄。記錄數(shù)據(jù)如表所示：數(shù)據(jù)如表所示：飛機(jī)編號飛機(jī)編號 橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)X 縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)Y 方向角方向角()1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進(jìn)入新進(jìn)入0052VIIIIIIIVIV160km160km飛行位置表示圖飛行位置表示圖這外表上是一個有這外表上是一個有6個控制對象的最優(yōu)

4、控制個控制對象的最優(yōu)控制問題，控制方案太多，似乎很難尋優(yōu)。問題，控制方案太多，似乎很難尋優(yōu)。但仔細(xì)分析這并不是空間優(yōu)化問題，只思索但仔細(xì)分析這并不是空間優(yōu)化問題，只思索1000010000米高空的面包片；因此是平面問題。而米高空的面包片；因此是平面問題。而實踐上對每架飛機(jī)而言是一維問題，由于只實踐上對每架飛機(jī)而言是一維問題，由于只需旋轉(zhuǎn)角度問題，故有能夠簡化。需旋轉(zhuǎn)角度問題，故有能夠簡化。 這個有六個控制對象的最優(yōu)控制問題可以利用平面幾何的知識證明兩個簡單結(jié)論,從而轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問題。 早調(diào)整一定優(yōu)于晚調(diào)整。這樣第六架飛機(jī)剛進(jìn)入正方形時就調(diào)整，由于時辰確定，問題就簡化為優(yōu)化問題。結(jié)論一：AF

5、DBEC證：飛機(jī)處于A，飛行方向AB，到達(dá)B會與另一架飛機(jī)相撞，至少調(diào)整到AC才能夠防止相撞。假設(shè)飛行至D再調(diào)整，仍需飛向C才能夠防止相撞，幅度為BDFBAC，實踐幅度為EDBBDF。因此早調(diào)整一定優(yōu)于晚調(diào)整。 一次調(diào)整到位，優(yōu)于多次調(diào)整。結(jié)論二：結(jié)論二：證：分兩次調(diào)整，幅度證：分兩次調(diào)整，幅度BAD+ODC BAO+DAC= BAC。進(jìn)一步可以用數(shù)學(xué)歸納法證進(jìn)一步可以用數(shù)學(xué)歸納法證明一次調(diào)整到位優(yōu)于多次調(diào)明一次調(diào)整到位優(yōu)于多次調(diào)整。整。AFDOECB這樣原問題的調(diào)整時辰確定，無須思索時間要這樣原問題的調(diào)整時辰確定，無須思索時間要素，問題轉(zhuǎn)化為普通優(yōu)化問題。素，問題轉(zhuǎn)化為普通優(yōu)化問題。 普通優(yōu)

6、化問題的數(shù)學(xué)模型都是由兩部分組成，即優(yōu)化的目的函數(shù)和必需滿足的約束條件。 目的函數(shù)可以根據(jù)實踐問題作出多種選擇。幅度最小用數(shù)學(xué)言語準(zhǔn)確表示，至少有四種函數(shù)幅度最小用數(shù)學(xué)言語準(zhǔn)確表示，至少有四種函數(shù)611.miniisign61minii612.minii163.minmaxii 6214.miniii表示第表示第i架飛機(jī)的調(diào)整方向角。架飛機(jī)的調(diào)整方向角。其中，其中， 2264ijijx tx ty ty t,0,min,ijij tT T /6,1,2,.,6ii 0800cosiiix txt 0800siniiiy tytiT表示第表示第i i架飛機(jī)飛出正方形區(qū)域的時辰。架飛機(jī)飛出正方形區(qū)

7、域的時辰。其中，其中，6 , 1,)0(iiii 這個非線性優(yōu)化問題可以利用物理上的相對運(yùn)動原理化為一族線性優(yōu)化問題，即把一個物體看成不動，另一物體對它作相對運(yùn)動。 由于目的函數(shù)是分段線性 的，約束條件是關(guān)于坐標(biāo)的平方，并不是 的非線性函數(shù)，因此有能夠轉(zhuǎn)化為線性優(yōu)化問題。iPiijPjiVjVijV相對運(yùn)動及相對速度表示圖利用相對運(yùn)動原理可以將坐標(biāo)的非線性約束等價轉(zhuǎn)換為飛行方向角的線性約束。 任給兩架飛機(jī) 和 ，讓坐標(biāo)系固定在 上， 在新坐標(biāo)系下的運(yùn)動即 對 的相對運(yùn)動，顯然， 與 在相撞不思索正方形區(qū)域限制的充要條件是 的方向見上圖，其中相對速度方向不落在這個扇形內(nèi)，就一定是平安的。相對速度

8、方向 ()22ijijijsign0tiPjPiPiPiPjPjPjP88arcsin,arcsinijijijijijdd1222( (0)(0)(0)(0) ijijijdxxyyijV當(dāng)當(dāng)Pj的飛行方向不變時，由于的飛行方向不變時，由于Vi=Vj=800km/h，所以相對速度所以相對速度Vij方向由方向由Pi的飛行方向角的飛行方向角i獨(dú)一決獨(dú)一決議，且根據(jù)矢量法那么是議，且根據(jù)矢量法那么是i的線性函數(shù)的線性函數(shù)(0)(0),(0)(0)22(0)(0),(0)(0)(1)22(0)(0)iijjiijjiijjiijjijiijj 無方向因此原來關(guān)于坐標(biāo)的非線性約束轉(zhuǎn)化為飛行方向角增量的

9、線性約束：ij(0)(0)(0)(0)8arcsin(0)(0)22iijjiijjjjiiijd(0)(0)1,2,1, ,iijjinnji 或者或者jjiijjiijjiiijijd)0()0()0()0(22)0()0(8arcsin目的函數(shù)可以從前三個任選一個。這樣線性規(guī)劃模型其中一個如下：61min|.|,1,2,66(0)(0)8arcsin2( (0)(0)21,2,5;1,6iiiiijjijijiijjstidsigniji 惋惜的是，這樣的線性規(guī)劃太多了，有215個雖然很多一定無解，可以不討論。或問題的解或問題的解一定不能落在這個區(qū)間中一定不能落在這個區(qū)間中由這5個不等式

10、可以定出五個禁飛方向角區(qū)間，可在數(shù)軸上表示如下：禁飛方向角度區(qū)間表示圖55.6295IIIIIIIVVIV18.581126.363127.519242.631943.551547.507352.790953.071665.0308,66,6,6682()(0) 2arcsin82()(0) 2arcsiniiiiijiiiijsigndsignd 1,5i 第一種目的函數(shù)下一定要進(jìn)展調(diào)整，由于不調(diào)整，第6架飛機(jī)與第3、5架飛機(jī)相撞,因此至少調(diào)整一架且只需調(diào)整第6架,否那么第6架仍與其中一架飛機(jī)相撞,假設(shè)調(diào)整第6架僅有兩個方向：逆時針需求調(diào)整13.04度,順時針需求調(diào)整8.45度,因此第一種目

11、的函數(shù)下最優(yōu)解為:調(diào)整架次和調(diào)整幅度都到達(dá)最少。第二種目的函數(shù)為： 61min|ii約束條件可改寫為：6563645252.7909VIV5252.6295VIIII5253.0716VIIV與與與其中恣意兩架飛機(jī)不相撞時的最小調(diào)整幅度是六架飛機(jī)調(diào)整到不撞的調(diào)整幅度的下界。僅討論第6、3架飛機(jī)不相撞，以下不等式必需滿足：所以3.63是6架飛機(jī)不相撞的調(diào)整幅度的下界。63633.6295| 3.63 ，因此有，調(diào)整幅度3.63時也可以實現(xiàn)6架飛機(jī)不相撞，詳細(xì)調(diào)整方案如下：VI5253IVVIII55.629552.9995VIIII,第 架與第 架飛機(jī)不相撞，則第 架與第 架飛機(jī)也不相撞因此，六

12、架飛機(jī)都不相撞，最小調(diào)整幅度為356| | | =3.631.下界 同第二種目的函數(shù) 僅討論第三架和第六架飛機(jī) 由于所以，二者當(dāng)中最大的一個取一半時，到達(dá)最小，即16minmax |ii 63| | 3.63 ，631.8152.最大幅度為1.815也可以使飛機(jī)都平安，由于此時第六架飛機(jī)的飛行方向角為53.815，不在第五架飛機(jī)的禁飛方向區(qū)間中，所以與第五架也不相撞，同時第四架飛機(jī)從53.0716調(diào)整到53.825，與第六架也不相撞，因此都是平安的。第三種目的函數(shù)：第三種目的函數(shù)：6365643.630.801.072621minii第四種目的函數(shù)：利用禁飛方向角度表示圖可得以下不等式：這是一

13、個非線性規(guī)劃問題，可以轉(zhuǎn)化為等式條件下的求極值問題。由于第三個目的函數(shù)的最優(yōu)解也是這個問題的可行解，因此平方和的最小值不超越21.8152+0.74342=2.6752 由于最優(yōu)解中，每架飛機(jī)的調(diào)整幅度不超越2.675，因此，第三架和第六架飛機(jī)的調(diào)整方向一定相反，所以二個調(diào)整幅度的和一定等于3.63，否那么目的函數(shù)將變大,故第一個不等式一定成為等式。由于第六架飛機(jī)的調(diào)整幅度一定大于0.955，所以第五架飛機(jī)不調(diào)整時，第二個不等式一定成立，這樣目的函數(shù)是最小的。這時，原問題化為在第三個不等式約束下的二次函數(shù)的極值問題，由于駐點(diǎn)不滿足約束條件，所以最小值一定在邊境到達(dá)，即第三個不等式也成為等式。目

14、的函數(shù)變?yōu)椋?26662663.6339.404143.332525 2（） （-1.072）顯然獲得最小值61.567342.0630.488 ，SSPiVjxty思索區(qū)域限制加上時間軸的假想飛行軌跡圖 以時間軸為數(shù)軸，飛機(jī)的運(yùn)動軌跡是一根一端位于底面，與底面成一定角度的射線，角度為每小時前進(jìn)80公里。與一架飛機(jī)相撞的區(qū)域是一個以這個飛機(jī)的運(yùn)動軌跡為中心線，每個程度截面都是半徑為8公里的圓生成的橢圓柱。一架飛機(jī)調(diào)整后的軌跡一定在以地面一點(diǎn)為錐頂，角度與上述射線角度一樣的圓錐面的1/6，這個錐面與橢圓柱相交的部分就是相撞的區(qū)域，其在底面的投影s，與錐頂生成的扇形就是禁飛方向扇形。 根據(jù)禁飛方向

15、扇形的討論，因此，S一定是一個連通區(qū)域，假設(shè)思索正方形區(qū)域的限制，無非是再加上一個長方體的約束，如上圖所示?？梢宰C明，加上長方體的約束后，相撞的區(qū)域依然是連通的，與錐頂?shù)倪B線仍生成一個扇形，至多角度小一些，或堅持不變，詳細(xì)見下表。禁飛方向區(qū)間對比表不思索正方形限制時禁飛方向角區(qū)間思索正方形限制時禁飛方向角區(qū)間118.5811，27.519218.5811，27.5192226.3681，41.631926.3712，41.6279347.1273，55.629547.3712，55.6295453.0716，65.030853.0716，65.0308543.5515，52.790943.5615，52.78996PjP6PSSLW 為了證明，加上長方體的約束，禁飛方向依然構(gòu)成一個扇形，只需證明S是一個凸集。在 S的邊境任取兩點(diǎn)與過這兩點(diǎn)的豎直線生成的平面，與橢圓柱的交，應(yīng)該是一個封鎖的區(qū)域W，或者是兩條平行線構(gòu)成的無限長的帶子。平面與圓錐面的交，應(yīng)該是S中的一條二次曲線L。假設(shè)這條曲線L超出了上述區(qū)域W，那么超出的部分應(yīng)該不屬于相撞區(qū)域，與前面曾經(jīng)證明的禁飛方向構(gòu)成扇形，是連通的相矛盾。此題簡化有三大步： 第一步，最優(yōu)控制轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問題，這