水務(wù)工程大學(xué)物理功和能課件

1、一 功和功率 功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力對空間積累作用。對空間積累作用。功的定義：xyzO1rrFF力在位移方向上的力在位移方向上的投影與位移大小的投影與位移大小的乘積。乘積。FF ra1. 恒力的功恒力的功rFrFacosW元功：元功： 2. 變力的功變力的功= FcosdWdra=.F drFrdaab質(zhì)點由質(zhì)點由a點沿曲線運動到點沿曲線運動到b點的過程中，變力所作的功點的過程中，變力所作的功 。rdFW功：功：結(jié)論：合力對質(zhì)點所作的功等于每個分力對質(zhì)點合力對質(zhì)點所作的功等于每個分力對質(zhì)點作功之代數(shù)和作功之代數(shù)和 。kFjFiFFzyx

2、k zj yi xr在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中 zzyyxxbazbaybaxbazyxbazFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWdddddddrdFWrdFacosdSFr ，力做負(fù)功。時，當(dāng)力不做功；時，當(dāng)力做正功；時，當(dāng)023, 022, 021dWdWdWaaa0功的幾何意義：功的幾何意義：功在數(shù)值上等于示功圖功在數(shù)值上等于示功圖曲線下的面積。曲線下的面積。21xxxdxFWF (x)x0示功圖示功圖dxF12xx 以車廂為參考系，摩擦力不做功。以地面為以車廂為參考系，摩擦力不做功。以地面為參考系，摩擦力做功。一般情況下，通常約定參考系，摩擦力做功。一般情況下，通常約定以地面

3、為參考系以地面為參考系。f加加速速運運動動ffmff 由由牛牛頓頓第第三三定定律律：和和斜斜面面上上的的摩摩擦擦力力，分分別別為為作作用用在在物物體體和和設(shè)設(shè)maff 汽車相對地面的位移為汽車相對地面的位移為0r物塊相對車的位移為物塊相對車的位移為r以地面為參考系：以地面為參考系：和零，則分別為和斜面相對汽車的位移物體rmr0rr物塊相對地面的位移為物塊相對地面的位移為0rrr則這一對力的功為則這一對力的功為000rfrfrrfrfrfWWWff 0rffrfWWWff 功率是反映作功快慢程度的物理量。功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：平均功率：tWP瞬時功率：tWtWPtddlim0瓦特

4、（W）=（J/s）vFtrFtWPdddd例例 設(shè)作用在質(zhì)量為設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的質(zhì)點上的力是的質(zhì)點上的力是 N。當(dāng)質(zhì)點從原點移動到位矢為。當(dāng)質(zhì)點從原點移動到位矢為 m處時，此處時，此力所作的功有多大？它與路徑有無關(guān)系？力所作的功有多大？它與路徑有無關(guān)系？jiF53dyFdxFrdFdWyxjir32 1010yyyxxxdyFdxFW)()(0101yyFxxFyx)03(5)02(3J9解：解：設(shè)作用在質(zhì)量為設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的物體上的力的物體上的力F = 6t N。如。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運動，在頭果物體由靜止出發(fā)沿直線運動，在頭2（s）內(nèi)這力）內(nèi)這力作了多少功？作了多少功？tt

5、mFa326taddvtttad3ddv兩邊積分：兩邊積分：ttt00d3dvv223tvtxddvtttxd23dd2 v20420249d236dttttxFWJ36dmgTmdrFL 例例 有一單擺，用一水平力作用于有一單擺，用一水平力作用于m使其緩慢上升。當(dāng)使其緩慢上升。當(dāng)由由0增大到增大到0時，求時，求: 此力的功。此力的功。0gmTFgmTFrdgmTrdFdW)(rdgmdsmg)2/cos(dsmgsindmgL sin00sindmgLW解：解：)cos1 (0 mgL 例例 一球形容器落入水中，其剛接觸水面時，一球形容器落入水中，其剛接觸水面時，其速度為其速度為 。設(shè)此容器

6、在水中所受的浮力與重力相。設(shè)此容器在水中所受的浮力與重力相等，水的阻力為等，水的阻力為 f=-kv ,求阻力所做的功。求阻力所做的功。0v 解解：如圖，取坐標(biāo)如圖，取坐標(biāo) Ox 向向下為正。由功的定義，水的下為正。由功的定義，水的阻力做的功為阻力做的功為0vP浮FfO由題意：由題意：（1）kvdxrdFWf,mafFPF則，浮即即dxdvmvdtdxdxdvmkvdvkmdx代入（代入（1）得）得 vvvvfmvdvdvkmkvW00)(做負(fù)功。積分得, 0,21210202ffWvvmvmvW2022121mvmvWf合外力的功合外力的功初動能初動能末動能末動能定義動能定義動能 ：221mv

7、Ekk0kEE fW所以合外力的功等于其動能的增量，難道這只是巧合？合外力的功等于其動能的增量，難道這只是巧合？ 動能定理 221vmEk單位：（J）設(shè)質(zhì)點設(shè)質(zhì)點m在力的作用下沿曲線從在力的作用下沿曲線從a點移動到點移動到b點點sFrFWdddacosrdaFab1質(zhì)點動能定理質(zhì)點動能定理sFrd)(21dd212221vvvvvvmmWW質(zhì)點的動能定理：合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。1221222121kkEEmmWvvvvvddddddmstmsFWrtmmaFrddv注意：注意：2質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理 iFif一個由一個由n個

8、質(zhì)點組成的質(zhì)點系，考察第個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，考察第i個質(zhì)點。個質(zhì)點。 質(zhì)點的動能定理：質(zhì)點的動能定理： iiEE1k2k內(nèi)外iiWW對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點求和對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外內(nèi)？合內(nèi)力的功是否為零？合內(nèi)力的功是否為零？ 12kkEE外內(nèi)WW 質(zhì)點系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和質(zhì)點系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力作功之代數(shù)和。內(nèi)力作功之代數(shù)和。 內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動能。內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動能。 0已知質(zhì)量已知質(zhì)量m=1.0Kg的物體連在的物體連在1m長的繩子一端長的繩子一端。從從 0=30處靜止下落處靜止下落. 求求

9、10時時, ,小球的速率小球的速率v解解: :小球在任意時刻受重力小球在任意時刻受重力P P與拉力與拉力T T. .PT 外力作功外力作功 rFWd rPrTdddr0 rdTdsPrdP cos 且且 cos = sin , ds = - ld dsmgdsPW sincos dglmsin 代積分上下限代積分上下限 0sindmglW)cos(cos0 mgl由動能定理由動能定理)cos(cos0 mglW2022121mvmv 因為因為 v0=0)cos(cos20 glv代入數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù) l =1m, 0=30, =10所以所以 v=1.53m/s（1）重力的功）重力的功bzazxyz

10、OabrgmbaabrFWdkzj yi xkmgbadddbababamgzmgzzzmgzmgd質(zhì)量為質(zhì)量為m m的物體在重力作用的物體在重力作用下下, ,沿沿ab,ab,重力對物體作力為重力對物體作力為重力做功僅取決于質(zhì)點的始、末位置重力做功僅取決于質(zhì)點的始、末位置z za a和和z zb b，與質(zhì)點經(jīng)過的具體路徑無關(guān)。，與質(zhì)點經(jīng)過的具體路徑無關(guān)。 （2） 萬有引力作功萬有引力作功 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為M的質(zhì)點固的質(zhì)點固定，另一質(zhì)量為定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點的質(zhì)點在在M 的引力場中從的引力場中從a a點運點運動到動到b b點。點。rerMmGF20barrrrerMmGWd20rrrerdco

11、sddabarrrrMmGrrMmGWba11d020 萬有引力作功只與質(zhì)點的始、末位置有關(guān)，而與萬有引力作功只與質(zhì)點的始、末位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。具體路徑無關(guān)。 rrdrrda acrdMabarbrF（3）彈性力的功）彈性力的功x2box1mxamFx由胡克定律：由胡克定律：ikxF2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW 彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，而與彈性變形的過程無關(guān)。而與彈性變形的過程無關(guān)。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。0drF作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)

12、的力。作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。根據(jù)保守力做功的特點，可以引入只和位根據(jù)保守力做功的特點，可以引入只和位置有關(guān)的物理量置有關(guān)的物理量-勢能勢能與保守力相對的稱為與保守力相對的稱為耗散力耗散力，如摩擦力。，如摩擦力。由保守力作功由保守力作功: : 重力的功重力的功:)(ababmgzmgzW萬有引力的功：萬有引力的功：)()(00abrMmGrMmGW彈性力的功：彈性力的功：)2121(2122kxkxW重力勢能重力勢能mgzEP引力勢能引力勢能彈性勢能彈性勢能221kxEP rMmGEP0E EP P為物體的勢能為物體的勢能, ,三種勢能為：三種勢能為： 設(shè)空間設(shè)空間2處為勢能的零

13、點，則處為勢能的零點，則1處的勢能為：處的勢能為：211rrprFEd空間某點的勢能空間某點的勢能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點從該點在數(shù)值上等于質(zhì)點從該點移動到勢能零點時保守力做的功。移動到勢能零點時保守力做的功?？蓪憺榻y(tǒng)一的一般形式可寫為統(tǒng)一的一般形式PPPEEEW)(12 （1 1）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。（3 3）（4 4）勢能的零點可以任意選取。）勢能的零點可以任意選取。mghEp（地面（地面（h h = 0= 0）為勢能零點）為勢能零點）221kxEp（彈簧自由端為勢能零點）（彈簧自由端為勢能零點）rMmGEp0（無限遠(yuǎn)處為勢能零點）（無限遠(yuǎn)處為勢能零點）（2）勢能是位

14、置的單值函數(shù)。）勢能是位置的單值函數(shù)。（5）引入勢能的一個重要目的是為了）引入勢能的一個重要目的是為了簡化保守力做功的計算。簡化保守力做功的計算。保守力與勢能的積分關(guān)系：pEW保守力與勢能的微分關(guān)系：pEWddzFyFxFrFWzyxdddddzzEyyExxEEPPppdddd勢能求保守力勢能求保守力所以：所以：xEFpxyEFpyzEFpzkzEjyEixEFppp保守力的矢量式： 保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其統(tǒng)的勢能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向方向指向勢能降低的方向指向勢能降低的方向。 結(jié)

15、論：12ppEEW保內(nèi)12kkEE外內(nèi)WW質(zhì)點系的動能定理：質(zhì)點系的動能定理：非保內(nèi)保內(nèi)內(nèi)WWW其中其中12kkEEWWW非保內(nèi)保內(nèi)外 1p1k2p2kEEEEWW非保內(nèi)外pkEEE機(jī)械能12EEWW非保內(nèi)外質(zhì)點系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保守內(nèi)質(zhì)點系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。力所作功的代數(shù)和。 質(zhì)點系的功能原理0外W如果如果0非保內(nèi)W，pkEEE恒量0非保內(nèi)外或WW 當(dāng)系統(tǒng)只有保守內(nèi)力作功時，質(zhì)點系的總機(jī)當(dāng)系統(tǒng)只有保守內(nèi)力作功時，質(zhì)點系的總機(jī)械能保持不變。械能保持不變。機(jī)械能守恒定律 注意：1、機(jī)械能守恒的條件：作用于質(zhì)點系的外力和非保機(jī)械能守恒的條件：作

16、用于質(zhì)點系的外力和非保守內(nèi)力不作功守內(nèi)力不作功 （ W外外+W非保內(nèi)非保內(nèi)= 0 ）或）或 只有保守只有保守內(nèi)力作功。內(nèi)力作功。2、機(jī)械能守恒：系統(tǒng)的總機(jī)械能不變。而質(zhì)點系機(jī)械能守恒：系統(tǒng)的總機(jī)械能不變。而質(zhì)點系 內(nèi)的動能和勢能都不是不變的，二者之間的轉(zhuǎn)換內(nèi)的動能和勢能都不是不變的，二者之間的轉(zhuǎn)換 是通過系統(tǒng)內(nèi)的保守力作功來實現(xiàn)的。是通過系統(tǒng)內(nèi)的保守力作功來實現(xiàn)的。4 4、機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非 =慣性系。慣性系。5 5、在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系=中機(jī)械能不一定守恒。這是因為外力的

17、功與參中機(jī)械能不一定守恒。這是因為外力的功與參=考系的選擇有關(guān)。對一個參考系外力功為零，考系的選擇有關(guān)。對一個參考系外力功為零，=但在另一參考系中外力功也許不為零。但在另一參考系中外力功也許不為零。3 3、要區(qū)分功、能兩種概念，功是能量變化的量度，能、要區(qū)分功、能兩種概念，功是能量變化的量度，能是物體具有的作功本領(lǐng)。能是狀態(tài)量，功是過程量。是物體具有的作功本領(lǐng)。能是狀態(tài)量，功是過程量。例：例：鏈條總長為鏈條總長為 L，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m，初始時刻如圖懸掛，鏈條，初始時刻如圖懸掛，鏈條與桌面間的摩擦系數(shù)為與桌面間的摩擦系數(shù)為 ，鏈條由靜止開始運動，求：，鏈條由靜止開始運動，求： （1）、鏈條離開

18、桌邊時，摩擦力作的功？）、鏈條離開桌邊時，摩擦力作的功？ （2）、這時候鏈條的速度？）、這時候鏈條的速度？Laa解解：當(dāng)鏈條在桌面上的長度為當(dāng)鏈條在桌面上的長度為x時，時，摩擦力摩擦力fm gxL（1）、）、dxLxmgdxfdWf20)(2aLLmgdxLxmgWaLf（2）、）、由功能原理由功能原理)2()2121(2aaLmgmgLmvWfvgLL aL a()() 222例例. 傳送帶沿斜面向上運行速度為傳送帶沿斜面向上運行速度為v = 1m/s，設(shè)物料無，設(shè)物料無初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質(zhì)量為初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質(zhì)量為M = 50kg/s，并，并被輸送到高度被輸送到高度h

19、 = 5m處，求配置的電動機(jī)所需功率。處，求配置的電動機(jī)所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）hv解：解： 在在t 時間內(nèi)，質(zhì)量為時間內(nèi)，質(zhì)量為Mt 的物料落到皮帶的物料落到皮帶上，并獲得速度上，并獲得速度v 。t內(nèi)內(nèi)系統(tǒng)動能的增量：系統(tǒng)動能的增量：0212vtMEki重力做功：重力做功：ghtMW電動機(jī)對系統(tǒng)做的功：電動機(jī)對系統(tǒng)做的功：tP由動能定理：由動能定理：221vtMghtMtPW247558 . 92150222ghMPv已知質(zhì)量已知質(zhì)量m=1.0Kg的物體和的物體和1m長繩子相連。長繩子相連。從從 0=30處靜止下落處靜止下落.

20、 求求10時時, ,小球的速率小球的速率v。解：解：小球運動過程中，只有重力做小球運動過程中，只有重力做功，小球機(jī)械能守恒。功，小球機(jī)械能守恒。由機(jī)械能由機(jī)械能守恒：守恒：220021)cos1 (21)cos1 (mvmglmvmgl因為因為 v0=0)cos(cos20 glv代入數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù) l =1m, 0=30, =10所以所以 v=1.53m/s 0T drP兩個或兩個以上的物體在運動中發(fā)生極其短兩個或兩個以上的物體在運動中發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的運動狀態(tài)發(fā)生急劇暫的相互作用，使物體的運動狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過程稱為變化，這一過程稱為碰撞碰撞。 正碰（對心碰撞）：正碰（對

21、心碰撞）：兩球碰撞前后的速度在兩球的兩球碰撞前后的速度在兩球的中心連線上。中心連線上。斜碰：斜碰：兩球碰撞前的速度不在兩球的中心連線上。兩球碰撞前的速度不在兩球的中心連線上。完全彈性碰撞：完全彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能沒有損失。碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能沒有損失。 非彈性碰撞：非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失。碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失。 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失，碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失，且碰撞后物體以同一速度運動。且碰撞后物體以同一速度運動。 碰撞過程的特點：碰撞過程的特點：1、各個物體的動量明顯改變。、各個物體的動量明顯改變。 2、系統(tǒng)的

22、總動量守恒。、系統(tǒng)的總動量守恒。1. 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 2222112202210121212121vvvvmmmm2211202101vvvvmmmm210110212221202102112)(2)(mmmmmmmmmmvvvvvv(1) 如果如果m1= m2 ，則，則v1 = v20 ，v2 = v10，即兩物體，即兩物體在碰撞時速度發(fā)生了交換。在碰撞時速度發(fā)生了交換。 (2) 如果如果v20 =0 , 且且 m2 m1, 則則v1 = - v10, v2 = 0(3) 如果如果v20 =0 , 且且 m1 m2, 則則v1 = v10, v2 = 2v10211020vvvv分

23、離速度等于接近速度分離速度等于接近速度2完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞 21202101mmmmvvv由動量守恒定律由動量守恒定律完全非彈性碰撞中動能的損失完全非彈性碰撞中動能的損失 22122022101(21)2121()vvvmmmmE)(2)(212201021mmmmvv牛頓的碰撞定律：牛頓的碰撞定律：在一維對心碰撞中，碰撞后兩物在一維對心碰撞中，碰撞后兩物體的分離速度體的分離速度 v2 2- - v1 1 與碰撞前兩物體的接近速度與碰撞前兩物體的接近速度 v1010- - v2020 成正比，比值由兩物體的材料性質(zhì)決定。成正比，比值由兩物體的材料性質(zhì)決定。 3非彈性碰撞非彈性碰撞20

24、1012vvvve e 為恢復(fù)系數(shù)為恢復(fù)系數(shù) e = 0，則，則v2 = v1，為完全非彈性碰撞。，為完全非彈性碰撞。 e =1，則分離速度等于接近速度，為完全彈性碰撞。則分離速度等于接近速度，為完全彈性碰撞。 一般非彈性碰撞碰撞一般非彈性碰撞碰撞：0 e 1 例例 如圖所示，用質(zhì)量為如圖所示，用質(zhì)量為M的鐵錘把質(zhì)量為的鐵錘把質(zhì)量為m 的釘子的釘子敲入木板。設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深敲入木板。設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？全相同，問第二次能把釘子敲入多深？1S2SxO設(shè)鐵錘敲打釘子前的設(shè)鐵錘敲打釘子前的速度為速度為v0，敲打后兩者的共同速敲打后兩者的共同速度為度為v。 vv)(0mMMmMM0vv鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻力為：力為： xkf由動能定理，由動能定理， 有：有：2102021d2101kSxkxmSv0vv ,mMSSSxkxm11d21020v設(shè)鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為設(shè)鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為