二階非齊次方程的解法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1二階非齊次方程的解法二階非齊次方程的解法)(xfqyypy 對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu)*,*2211yyCyCyyYy 即即f(x)常見(jiàn)類型常見(jiàn)類型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 難點(diǎn)難點(diǎn)：如何求特解如何求特解y*？方法方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法02 qprr(P,q為常數(shù)為常數(shù))第1頁(yè)/共17頁(yè)設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為xexQy )(* 代入原方代入原方程程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特

2、征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可設(shè)設(shè)是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可設(shè)可設(shè);)(*xmexQy ;)(*xmexxQy )()(xPexfmx 一、一、 型型第2頁(yè)/共17頁(yè)是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可設(shè)設(shè)綜上討論：非齊次方程綜上討論：非齊次方程,)(*xQexymxk 是是特特征征重重根根是是特特征征單單根根不不是是特特征征根根 2,10k.)(*2xmexQxy qyypy)(xPemx 的通解的通解y*可

3、以設(shè)為：可以設(shè)為：第3頁(yè)/共17頁(yè)特別特別地地xAeqyypy xkeBxy *B是待定常數(shù)是待定常數(shù)特別地特別地)(xPqyypym )(*xQxymk 0020, 0,01000qppqqk即即是重根是重根即即是單根是單根即即不是根不是根（A是常數(shù)是常數(shù)） 是是特特征征重重根根是是特特征征單單根根不不是是特特征征根根 2,10k02 qprr第4頁(yè)/共17頁(yè).22的一個(gè)特解的一個(gè)特解求方程求方程xyyy 解解特征方程特征方程, 0122 rr，121 rr是特征根，是特征根，不不這里這里0,)(02 xexxf,*2CBxAxy 設(shè)設(shè)代入方程代入方程, 得得22)22()4(xCBAxBA

4、Ax 022041CBABAA. 64*2 xxy于是于是例例1 1 641CBA第5頁(yè)/共17頁(yè).32的一個(gè)特解的一個(gè)特解求方程求方程xeyyy 解解特征方程特征方程, 0322 rr，3, 121 rr是是特特征征單單根根，而而這這里里1, 1,)( xexf,*xBxey 設(shè)設(shè)將將y*代入原方程代入原方程, 得得xxxxxxeBxeBxeBeBxeBe 3222xxeBe 4.41*xxey 于是于是例例2 2.41 B,*xxBxeBey ,2*xxBxeBey 0 xe第6頁(yè)/共17頁(yè)型型二、二、sincos)(xBxAexfx ,sincos*xDxCexyxk 設(shè)設(shè),10 是特征

5、根是特征根不是特征根不是特征根 iikC,D是待定常數(shù)是待定常數(shù).A,B,是常數(shù)是常數(shù)以上的推導(dǎo)過(guò)程省略以上的推導(dǎo)過(guò)程省略,只要求我們會(huì)用它只要求我們會(huì)用它.)(xfqyypy 的特解的特解y*可設(shè)為可設(shè)為：第7頁(yè)/共17頁(yè).2cos3的一個(gè)特解的一個(gè)特解求方程求方程xeyyyx 解解特征方程為特征方程為, 0132 rr.有實(shí)根有實(shí)根,21不不是是特特征征根根ii ),2sin2cos(*xDxCeyx 故故設(shè)設(shè)xexCDxCDexx2cos2sin)10(2cos)10( 010110CDCD所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為)2sin101102cos1011(*xxeyx 例例3 3

6、這里這里)2sin02(cos)(xxexfx 2, 1 代代入入原原方方程程，得得將將*,*, yyy10110,1011 DC第8頁(yè)/共17頁(yè).sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解特征方程特征方程, 012 r,是是特特征征單單根根ii ),sincos(*xDxCxy 故故代入原方代入原方程程,sincos2sin2xxDxC 0,21 DC所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos21*xxy 原方程通解原方程通解為為.cos21sincos21xxxCxCy 例例4 4,02, 1ir 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解,sincos21xCxCY 1, 0),sin4c

7、os0()(0 xxexfx這里這里第9頁(yè)/共17頁(yè).sin6424的的通通解解求求方方程程xxyy 解解xxfxxfxfxfxfsin6)(, 42)(),()()(2121 特征方程特征方程,042 r,*)(411BAxyxfyy 的特解可設(shè)為的特解可設(shè)為*21yyy .*yYy 原原方方程程的的通通解解為為：例例5 5,202 , 1ir ,2sin2cos21xCxCY ,sincos*)(422xDxCyxfyy 的特解可設(shè)為的特解可設(shè)為第10頁(yè)/共17頁(yè)請(qǐng)?jiān)O(shè)出下列方程的一個(gè)特解請(qǐng)?jiān)O(shè)出下列方程的一個(gè)特解：3445. 12 xyyy23. 2 xyyxexyy29. 4 xeyyy

8、2. 3xeyyyx2sin52. 5 )sin4(cos32. 64xxeyyyx CBxAxy 2*. 1)(*. 2BAxxy xeBxy2*. 3 xeCBxAxy)(*. 42 )2sin2cos(*. 5xDxCxeyx )sincos(*. 64xDxCeyx 第11頁(yè)/共17頁(yè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程型型)()()1(xPexfmx 解法解法待定系數(shù)法待定系數(shù)法., )(*xQexymxk 設(shè)設(shè) 是特征重根是特征重根是特征單根是特征單根不是特征根不是特征根 2,10k三、

9、小結(jié)三、小結(jié)型型sincos)()2(xBxAexfx ,sincos*xDxCexyxk 設(shè)設(shè) .1;0是是特特征征方方程程的的單單根根時(shí)時(shí)不不是是特特征征方方程程的的根根時(shí)時(shí) iik第12頁(yè)/共17頁(yè)例例6?:.5.,00:5 ,:,.1 .21,4 .316 .32,20:8,30:7 他他被被排排除除在在嫌嫌疑疑犯犯之之外外不不在在現(xiàn)現(xiàn)場(chǎng)場(chǎng)的的證證言言能能否否使使張張某某問(wèn)問(wèn)分分鐘鐘案案現(xiàn)現(xiàn)場(chǎng)場(chǎng)步步行行需需”從從張張某某的的辦辦公公室室到到兇兇公公室室打打完完電電話話就就離離開(kāi)開(kāi)了了辦辦時(shí)時(shí)打打了了一一個(gè)個(gè)電電話話辦辦公公室室上上班班“下下午午張張某某一一直直在在并并有有證證人人說(shuō)說(shuō)張

10、張某某聲聲稱稱自自己己是是無(wú)無(wú)罪罪的的但但某某此此案案的的最最大大嫌嫌疑疑犯犯是是張張小小時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)始始終終保保持持在在室室溫溫在在幾幾得得尸尸體體溫溫度度為為尸尸體體即即將將被被抬抬走走時(shí)時(shí)，測(cè)測(cè)；一一小小時(shí)時(shí)后后，當(dāng)當(dāng)測(cè)測(cè)得得尸尸體體溫溫度度為為趕趕到到兇兇案案現(xiàn)現(xiàn)場(chǎng)場(chǎng)法法醫(yī)醫(yī)與與晚晚上上被被發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)受受害害者者的的尸尸體體于于晚晚上上CCC第13頁(yè)/共17頁(yè)0t8:209:201解解人死后體溫調(diào)節(jié)功能消失，尸體溫度人死后體溫調(diào)節(jié)功能消失，尸體溫度T(t)受外界受外界環(huán)境的影響，服從牛頓冷卻定理環(huán)境的影響，服從牛頓冷卻定理.)1 .21( TkdtdTktaetT 1 .21)(通解為通解為

11、4 .31)1(, 6 .32)0( TTteT11,05 .111 .21 CT37 若若死死者者的的體體溫溫正正常常，為為分分時(shí)時(shí)小時(shí)小時(shí)57295. 25 .111 .213711,0 tet 故故死死者者死死亡亡的的時(shí)時(shí)間間是是.235 572208 分分時(shí)時(shí)分分時(shí)時(shí)分分時(shí)時(shí) t故張某不能被排除在嫌疑犯之外故張某不能被排除在嫌疑犯之外.第14頁(yè)/共17頁(yè)基本概念基本概念一階方程一階方程 類類 型型1.1.直接積分法直接積分法2.2.可分離變量可分離變量3.3.齊次方程齊次方程4.4.線性方程線性方程可降階方程可降階方程線性方程線性方程解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)方程解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)線性齊次方程的解f(x)f(x)的形式及的形式及二階常系數(shù)非齊次二階常系數(shù)非齊次線性方程的解線性方程的解二階方程二階方程待