信號(hào)與系統(tǒng)2008第1章3講

1、Signal and system11、信號(hào)的基函數(shù)表示法2、正交函數(shù)3、基本信號(hào)及其時(shí)域特性一、信號(hào)的基函數(shù)表示法一、信號(hào)的基函數(shù)表示法希望用統(tǒng)一的形式來表示任意信號(hào)：希望用統(tǒng)一的形式來表示任意信號(hào)：數(shù)學(xué)上證明可以用一組基函數(shù)的線性組合數(shù)學(xué)上證明可以用一組基函數(shù)的線性組合來表示信號(hào)來表示信號(hào))()(ttfnnna n=0,1, 2 (1.31)就變成了如何選擇最佳的就變成了如何選擇最佳的 基函數(shù)基函數(shù) n n(t),(t),和確和確 定相應(yīng)的系數(shù)定相應(yīng)的系數(shù)a an n的問題了。的問題了。復(fù)習(xí)Signal and system2 在在t1,t2區(qū)間上定義的非零實(shí)函數(shù)區(qū)間上定義的非零實(shí)函數(shù)f1

2、(t)與與f2(t)，若滿足，若滿足條件：條件：)94 . 1 (0)()(2121ttdttftf則函數(shù)則函數(shù)f1(t)與與f2(t)為區(qū)間為區(qū)間t1,t2上的正交函數(shù)。上的正交函數(shù)。如果系數(shù)要滿足終結(jié)性，在表示式成立的時(shí)間如果系數(shù)要滿足終結(jié)性，在表示式成立的時(shí)間 區(qū)間內(nèi)，區(qū)間內(nèi)，要求基函數(shù)集要求基函數(shù)集 n(t),是正交函數(shù)集。是正交函數(shù)集。二、正交函數(shù)二、正交函數(shù)Signal and system正交函數(shù)集：正交函數(shù)集：定義：定義：在在t1,t2區(qū)間上定義的區(qū)間上定義的n個(gè)非零實(shí)函數(shù)集個(gè)非零實(shí)函數(shù)集 g1(t), g2(t) ,gn(t)，其中任意兩個(gè)函數(shù)，其中任意兩個(gè)函數(shù)gi(t)、

3、gj(t)均滿足：均滿足：)134 . 1 (kdt(t)gji0(t)dtg(t)gi2iji2121tttt其中，其中，ki為常數(shù)，稱此函數(shù)集為正交函數(shù)集為常數(shù)，稱此函數(shù)集為正交函數(shù)集Signal and system 任意一個(gè)函數(shù)任意一個(gè)函數(shù)f(t)在區(qū)間在區(qū)間t1,t2內(nèi)內(nèi)，可以用這，可以用這n個(gè)正個(gè)正交函數(shù)的線性組合交函數(shù)的線性組合來近似表示：來近似表示： nrrrnntgctgctgctgctf12211)()(.)()()( 在使近似式的均方誤差最小的情況下，可分別求得在使近似式的均方誤差最小的情況下，可分別求得系數(shù)系數(shù)c1,c2,cn： dttgctftttttnrrr2112

4、221)()(1 Signal and system令02 idcd 則： 212121)()(1)()()(2ttiittittiidttgtfkdttgdttgtfc dttgctftttttnrrr2112221)()(1 Signal and system常用的完備正交函數(shù)集常用的完備正交函數(shù)集:1、三角函數(shù)集：、三角函數(shù)集： 函數(shù)函數(shù)1，cos t,cos2 t, ,cosn t,.,sin t, sin2 t, ,sinn t, 當(dāng)所取函數(shù)有無限多個(gè)時(shí)，在區(qū)間當(dāng)所取函數(shù)有無限多個(gè)時(shí)，在區(qū)間t0，t0+T內(nèi)組成內(nèi)組成完備正交函數(shù)集。其中完備正交函數(shù)集。其中T=2 / 2、復(fù)指數(shù)函數(shù)集

5、：、復(fù)指數(shù)函數(shù)集：函數(shù)集函數(shù)集ejn t,n=0,1, 2,是一個(gè)復(fù)變函數(shù)集，在區(qū)是一個(gè)復(fù)變函數(shù)集，在區(qū)間間t0，t0+T內(nèi)是完備正交函數(shù)集內(nèi)是完備正交函數(shù)集。Signal and system 所謂完備，是指對(duì)任意函數(shù)所謂完備，是指對(duì)任意函數(shù)f(t)，都可以用一無窮級(jí)，都可以用一無窮級(jí)數(shù)表示：數(shù)表示：1)()(rrrtgctf此級(jí)數(shù)收斂于此級(jí)數(shù)收斂于f(t)。上式即。上式即f(t)的正交分解。的正交分解。Signal and system8表示常用信號(hào)的連續(xù)函數(shù)表示常用信號(hào)的連續(xù)函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)抽樣函數(shù)抽樣函數(shù)鐘形脈沖函數(shù)（高斯函數(shù)）鐘形脈沖函數(shù)（高斯函數(shù)）三、基本信號(hào)及

6、其時(shí)域特性三、基本信號(hào)及其時(shí)域特性Signal and system92、單位階躍函數(shù)、單位階躍函數(shù)3、單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù) (t)4、單位沖激偶、單位沖激偶 (t)1、單位斜坡函數(shù)、單位斜坡函數(shù)奇異信號(hào)奇異信號(hào)有簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式，但其本身、或其導(dǎo)數(shù)、有簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式，但其本身、或其導(dǎo)數(shù)、或其積分有不連續(xù)點(diǎn)?；蚱浞e分有不連續(xù)點(diǎn)。Signal and system101、單位斜坡函數(shù)、單位斜坡函數(shù)) 55 . 1 (000)(ttttRR(t)11t1t0tR(t-t0)如果將起始點(diǎn)移至如果將起始點(diǎn)移至t0，則，則 000)(ttttR)(0tt )(0tt 返回Signal and syst

7、em112、單位階躍函數(shù)、單位階躍函數(shù))65 . 1 (0100)(tttu10u(t)t10u(t-t0)tt0若跳變點(diǎn)移至若跳變點(diǎn)移至t0，則，則 10)(0ttu)(0tt )(0tt Signal and system12單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)的特性：的特性：)75 .1()()(tdutR)85 .1()0()()(tdttdRtuSignal and system13單位階躍函數(shù)的接入特性：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)的接入特性：)(sin)(tuttf 信號(hào)在信號(hào)在t0時(shí)刻接入：時(shí)刻接入：sin t u(t)0t)(sin)(0ttuttf sin （t) u(t-t0)tt00Signal

8、and system14)115 . 1 ()2()2(1)(lim0tutut3、單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù) (t)矩形脈沖演變?yōu)闆_激函數(shù)矩形脈沖演變?yōu)闆_激函數(shù)tG(t) 12 2 00t0(1) (t) )2()2(1)( tututGSignal and system15狄拉克（狄拉克（Dirac）定義）定義滿足狄拉克條件：滿足狄拉克條件：)125.1(00)(1)(ttdtt若沖激點(diǎn)在若沖激點(diǎn)在t=t0處，則定義式為：處，則定義式為： 0)(1)(00ttdttt )(0tt t0(1)(t-t0)t0t0(1)(t)Signal and system16單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)的特性：

9、的特性：?jiǎn)挝粵_激函數(shù)單位沖激函數(shù)的積分是的積分是單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù))165 . 1 ()()(tdtu)175.1()()(tudtdtSignal and system17連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)f(t)與與單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)的乘積等于的乘積等于沖沖 激點(diǎn)的函數(shù)值激點(diǎn)的函數(shù)值與與 (t)相乘相乘)2115()()0()()(tfttf若沖激點(diǎn)在若沖激點(diǎn)在t0處，且處，且f(t)在在t0處連續(xù)，則處連續(xù)，則)()()()(000tttftttfSignal and system18篩選特性：篩選特性：?jiǎn)挝粵_激函數(shù)單位沖激函數(shù)與連續(xù)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)f(t) 的乘積的積分等于的乘積的積分等于沖激

10、點(diǎn)的函數(shù)值沖激點(diǎn)的函數(shù)值)145 .1()0()()( fdtttf或或 )()()(00tfdttttf Signal and system19奇偶性奇偶性：)185 . 1 ()()(tt返回)0()()()()()()()(fdttfttdtftdttft)0()()(fdttftSignal and system20尺度變換：尺度變換：)205.1(0)(1)(ataat證明：1、當(dāng)、當(dāng)a0時(shí)，令時(shí)，令 =at)()()( addtat ada1)(1 Signal and system211、當(dāng)、當(dāng)a0時(shí)時(shí)，f(t-t0)的波形為：的波形為：f(t)沿時(shí)間軸沿時(shí)間軸右移右移t0t01

11、時(shí)時(shí)，f(at)的波形為：的波形為：f(t)的波形的波形沿時(shí)間軸壓縮沿時(shí)間軸壓縮1/a倍倍，幅值不變。，幅值不變。0tf(2t)120tf(t/2)1240a1時(shí)時(shí)，f(at)的波形為：的波形為：f(t)的波形的波形沿時(shí)間軸擴(kuò)展沿時(shí)間軸擴(kuò)展1/a倍倍，幅值不變。，幅值不變。Signal and system44例例1： 已知已知f(t)的波形，試畫出的波形，試畫出f(1-2t)的波形。的波形。0tf(t)12310tf(t+1)123-11平移：平移：展縮：展縮：0tf(2t+1)12121 反褶：反褶：0tf(1-2t)12121 -1Signal and system45例例2：用用反褶反褶展縮展縮時(shí)移時(shí)移的順序解的順序解例例10tf(t)1231平移：平移：展縮：展縮：反褶：反褶：-30tf(-t)-1-21-30tf(-2t)-1-21-30tf(1-2t)-1-21Signal a