高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式課件

1、高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式本節(jié)討論 :1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程02Cyx當(dāng) C 0 時(shí), 不能確定隱函數(shù);2) 在方程能確定隱函數(shù)時(shí), 研究其連續(xù)性、可微性 及求導(dǎo)方法問(wèn)題 .高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則

2、方程00),(xyxF在點(diǎn)單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),22ddxyyxFF)(yxFFy二階導(dǎo)數(shù) :)(yxFFxxyxxydd則還有例例1. 驗(yàn)證方程01sinyxeyx在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy并求30dd,10dd22xxyxxy高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式定理

3、定理2 . 若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程0),(zyxF在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 滿足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式例例2. 設(shè),04222zzyx322)2()2(zxz.22xz求例例3. 設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxF.dz求yyzxxzzddd已知方程)dd(2121yFxFFyFxz高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)

4、的求導(dǎo)公式二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(稱為F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 , 即高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；設(shè)函數(shù)),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組0),(,0),(vuyxGvuyxF的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)),

5、(, ),(yxvvyxuu且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG, ),(000yxuu ),(000yxvv 在點(diǎn)P高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式例例4. 設(shè), 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxuJxu1求x

6、vyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式例例5.5.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數(shù)組),(),(vuyyvuxx鄰域內(nèi). ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu對(duì) x , y 的偏導(dǎo)數(shù).在點(diǎn) (x, y, u, v) 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法方法2. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)

7、算 ;方法1. 代公式作業(yè)作業(yè) P89 3 6 10 (1) (3) 11高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式zx xz21fzyf211fyxf211fyxf21fzyfyx 21fzxf21fzyf思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè), ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式雅可比雅可比(1804 1851)德國(guó)數(shù)學(xué)家. 他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨(dú)地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ). 他對(duì)行列式理論也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引進(jìn)了“雅可比行列式”, 并應(yīng)用在微積分中. 他的工作還包括代數(shù)學(xué), 變分法, 復(fù)變函數(shù)和微分方程, 在分析力學(xué), 動(dòng)力學(xué)及數(shù)學(xué)物理方面也有貢獻(xiàn) . 他在柯尼