一類非線性粘彈性方程解的整體存在性畢業(yè)論文

1、 畢業(yè)論文題 目 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 學(xué)生姓名 專業(yè)班級(jí) 學(xué) 號(hào) 系 （部） 指導(dǎo)教師(職稱) 完成時(shí)間 目 錄 中文摘要 I英文摘要II1 序論1 1.1引言1 1.2 粘彈性方程的發(fā)展概述 12 假設(shè)和主要結(jié)果4 2.1假設(shè) 4 2.2主要結(jié)果 43 預(yù)備知識(shí)5 3.1基本定義 5 3.2一系列不等式 5 3.3引理 64 主要結(jié)論的證明8 4.1解的整體存在性 8 4.2能量的一致衰減性13致謝 19參考文獻(xiàn) 20一類非線性粘彈性方程解的整體存在性摘要在本文中，研究一類非線性粘彈性方程解的整體存在性和以指數(shù)形式的衰減性。 ， 文章共分為四小節(jié)：第一節(jié)，簡(jiǎn)述研究一類非線性粘

2、彈性方程的意義和近年來(lái)國(guó)際研究的現(xiàn)狀，且基于本文的假設(shè)條件上研究這個(gè)問(wèn)題。第二節(jié)，說(shuō)明Sobolev嵌入定理和多個(gè)與本文有關(guān)的不等式方程條件。第三節(jié)，運(yùn)用Faedo-Galerkin方法證明方程的整體存在性。第四節(jié)，我們采取下述的方法證明方程的衰減性。在此中，為正常數(shù)，引入兩個(gè)泛函：，廣義能量和泛函在特定意義下是等價(jià)的，為了得到的指數(shù)衰減，只需證明滿足指數(shù)衰減.關(guān)鍵詞 非線性粘彈性方程，F(xiàn)aedo-Galerkin方法，存在性，唯一性。EXISTENCE OF A CLASS OF NONLINEAR WAVE EQUATIONSAbstactIn this paper, we study a

3、 class of nonlinear viscoelastic equations the global existence and decay.， The article is divided into four sections：In the first section，we briefly study a class of nonlinear viscoelastic equations significance and the status of international research in recent years，It based on this assumption an

4、d study this issue。In the second section，explain embedding theorem of SobolevAnd a plurality of documents related to inequality equation conditions.In the third section，we use Faedo-Galerkin to prove the global existence of the equation。In the fourth section，we show that the equation of attenuation。

5、In this,is a positive constant，and there is Keywords Nonlinear viscoelastic equations，F(xiàn)aedo-Galerkin way，Existence，Unique。1 緒論1.1 引言作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，在18世紀(jì)最早的系統(tǒng)的三個(gè)基本的數(shù)學(xué)物理偏微分方程分別為：波動(dòng)方程，熱傳導(dǎo)方程和調(diào)和方程，所運(yùn)用的方法是經(jīng)典分析。進(jìn)入了二十世紀(jì)以后，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和其他數(shù)學(xué)分支不斷發(fā)展的支撐下，對(duì)偏微分方程的研究已經(jīng)突破了經(jīng)典分析的局限，而在更一般的條件下討論問(wèn)題成為可能且十分現(xiàn)實(shí)了。事實(shí)說(shuō)明，物理學(xué)，生物學(xué)甚至金融學(xué)等眾多不同

6、的領(lǐng)域中運(yùn)用的基本規(guī)律，都可以通過(guò)微分方程進(jìn)行研究和證明。這不但能夠了解現(xiàn)象的本質(zhì)，特性特征，同時(shí)可以在此基礎(chǔ)上作出新的預(yù)測(cè)。將它運(yùn)用到不同的社會(huì)領(lǐng)域中，取得了巨大的科學(xué)成就和社會(huì)效益。伴隨著科學(xué)技術(shù)水平的不斷發(fā)展，各式各樣的非線性問(wèn)題引起人們?nèi)找嫔钋械年P(guān)注，源自于應(yīng)用數(shù)學(xué)，物理學(xué)，等各種應(yīng)用學(xué)科中的非線性偏微分方程初邊值問(wèn)題，是目前最受關(guān)注的非線性偏微分方程。固體力學(xué)有很多不同的研究分類，粘彈性理論就是其中之一。有多種類型的工程材料，如高聚合材料混凝土、某種生物組織以及在高速運(yùn)動(dòng)下發(fā)生變形的金屬材料，不僅有彈性特質(zhì)，而且還擁有粘性特征，這種兼?zhèn)鋬烧卟煌攸c(diǎn)的材料稱為粘彈性體。運(yùn)用彈性力學(xué)的辦

7、法來(lái)研究粘彈性體并不能確切的反映真實(shí)情況，這是因?yàn)樵谕饬ψ饔孟拢硰椥泽w會(huì)隨著時(shí)間的變化而產(chǎn)生彈性變形，而且變形還會(huì)不斷的變化。彈性力學(xué)與粘彈性理論的主要區(qū)別在于應(yīng)變應(yīng)力不同關(guān)系。所以，粘彈性理論的重點(diǎn)研究對(duì)象就是粘彈性體的應(yīng)變應(yīng)力的關(guān)系。近些年來(lái)，在理論（包括斷裂理論，本構(gòu)理論）和應(yīng)用上，非線性粘彈性的研究都取得了重大的進(jìn)展。人們借助于非線性模型來(lái)充分研究年彈性固體的行為，隨著研究廣度和研究深度的進(jìn)步，不少學(xué)者推導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)方程是偏微分-積分方程，用經(jīng)典的Galerkin方法可把它簡(jiǎn)化為非線性積分-微分方程。在粘彈性力學(xué)方程的理論和應(yīng)用取得不斷進(jìn)展的情況下，粘彈性方程初邊植問(wèn)題成為近些年來(lái)在數(shù)

8、學(xué)領(lǐng)域討論的熱門(mén)課題。這其中一個(gè)重點(diǎn)的研究方向就是含有記憶項(xiàng)的粘彈性方程。1.2 粘彈性方程的發(fā)展概述事實(shí)上，Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J等人在文獻(xiàn)1已經(jīng)研究過(guò)帶強(qiáng)阻尼的相關(guān)方程 （1.1）與本文研究的方程具有相同的初邊值 他們運(yùn)用Galerkin逼近方法結(jié)合能量估計(jì)建立了解的存在性、唯一性等結(jié)果，假設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù).，為證明解的整體存在性時(shí)考慮，為得到能量的衰減速率時(shí)設(shè)定.在假定松弛函數(shù)以指數(shù)形式衰減時(shí)，得到了能量的一致衰減。Tater N,Messaoudi S A在文獻(xiàn)2研究過(guò)如下問(wèn)題方程 （1.2）初邊值條件與（1.1）

9、相同。用改進(jìn)的位勢(shì)井和全新泛函方法得出了整體解的存在性且能量以指數(shù)形式的一致衰減性。將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到帶有非線性阻尼的情況下，韓小森和王明新在文獻(xiàn)3研究過(guò) (1.3)在相同的初值條件下，設(shè)定，得到能量的一致衰減性.吳舜堂等人在文獻(xiàn)4研究過(guò)方程 （1.4）是在初邊值與上述相同的情況下，將韓小森和王明新的論證延伸到含有的情況。而當(dāng)以上的問(wèn)題去掉色散項(xiàng)后，同樣引起了廣泛關(guān)注，相關(guān)的方程獲得研究，得出一批有關(guān)解的存在性、正則性、唯一性與穩(wěn)定性等結(jié)果。例如韓小森和王明新在文獻(xiàn)5還研究過(guò)如下方程 (1.5)在相同的初值條件下，設(shè)定,本文分別用Galerkin方法和擾動(dòng)能量方法證明此問(wèn)題解的整體存在性和能量的一致

10、衰減性.劉文俊在文獻(xiàn)6研究了方程 （1.6）其中在有界區(qū)域中，是具有光滑的邊界,是一個(gè)指數(shù)衰減記憶項(xiàng)的正函數(shù)。存在正常數(shù)，在條件, ,可得出能量的指數(shù)衰減。受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本課題擬研究如下方程 結(jié)合Young和Gronwall等多種不等式，使用Faedo-Galerkin方法，即在適當(dāng)?shù)腟obolev空間中選取適當(dāng)基函數(shù)，在由任意有限個(gè)基函數(shù)所張成的有限維空間中求解逼近問(wèn)題，用常微分方程組的局部存在性定理得到逼近問(wèn)題解的局部存在性。然后得到近似問(wèn)題解的緊性估計(jì)，即可保證近似問(wèn)題解的整體存在性。再選取近似問(wèn)題解的一個(gè)子序列，使其收斂于原問(wèn)題的解，即驗(yàn)證近似問(wèn)題解子序列的極限滿足方程和初值條件。

11、本課題與（1.6）題目的區(qū)別是將改為。其中的計(jì)算方法參考方程（1.1）-（1.5）.結(jié)合（1.6）的衰減估計(jì)得出（1.7）的衰減估計(jì)，預(yù)期結(jié)果是能量以指數(shù)形式衰減.2 假設(shè)和主要結(jié)果2.1 假設(shè) 當(dāng)且假設(shè)滿足，如果時(shí)，. 對(duì)于核函數(shù)，假設(shè)它滿足：是正函數(shù)且滿足存在正常數(shù)使得： 2.2 主要結(jié)果在以上假設(shè)的前提下，即設(shè)，假設(shè)（X1），（X2）成立，則問(wèn)題必有唯一的弱解，滿足 (2.1)并且來(lái)說(shuō)，假設(shè)是有界且為正的，那么對(duì)于任意的，存在和且二者都為正常數(shù)，使得能量泛函數(shù)滿足衰減估計(jì) (2.2)3 預(yù)備知識(shí)3.1 基本定義, (3.1), (3.2)當(dāng)時(shí)，為在上的本質(zhì)上界，記為，定義：. (3.3)

12、3.2 重要的不等式Minkowski不等式：如果則；Hlder不等式：設(shè)若則且有 ；Young不等式1：設(shè)且滿足若 ，則有在上幾乎處處存在，且；Young不等式2：，則有；帶 的Young不等式：，則特別地，當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)椋◣У腃auchy不等式） Gronwall不等式（積分形式）（1） 設(shè)是0,T上的非負(fù)可積函數(shù)，,對(duì)某個(gè)成立，則；（2）如果，則. Gronwall不等式（微分形式）是非負(fù)的，且為絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，在的區(qū)間上，且對(duì)任意情況下的滿足不等式 ，在此和是非負(fù)的，且為可積函數(shù)，在的區(qū)間上，則特殊情況下，在的區(qū)間上符合條件，則恒有. 3.3 引理引理1（Sobolev嵌入定理）設(shè)為中的

13、有界區(qū)域，其邊界是光滑的，如果，那么（i） 并有 ，其中為常數(shù)（ii） ，并有 ，其中為常數(shù)引理2（Aubin引理）設(shè)是三個(gè)Banach空間，其中是自反的，且有連續(xù)的嵌入關(guān)系，到的嵌入映射是緊的記則緊嵌入.引理3設(shè)是Hilbert空間或Banach空間，是的對(duì)偶空間，.如果內(nèi)，內(nèi)，則在中引理（reen公式）4 主要結(jié)論的證明4.1 解的整體存在性令為的一個(gè)完備正交基，且是一個(gè)特征函數(shù)，其具備負(fù)Laplace含有帶齊次Dirichlet邊界條件，即：,經(jīng)過(guò)規(guī)范化后，存在，假設(shè)m是任意正整數(shù)，,并且記表示對(duì)t求一階導(dǎo),表示對(duì)t求二階導(dǎo).再由（1.1）兩邊同時(shí)乘以，知滿足：.且存在有：，則以上化簡(jiǎn)成

14、：,其中， .當(dāng)時(shí)，在中，. 因?yàn)榧僭O(shè)中是一個(gè)有意義的非線性項(xiàng).根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程理論，我們可知存在唯一的解在區(qū)間上，其中大于零.則求解方程，并由第一估計(jì)得，對(duì)，這個(gè)近似解可以延拓到上.現(xiàn)在驗(yàn)證估計(jì)一.方程兩邊分別乘以，并且關(guān)于求和，得到： .可化為： .繼而得： .通過(guò)計(jì)算得：.記作符號(hào)：,則聯(lián)系上面的計(jì)算可得： .在（0，t)區(qū)間上積分，并且運(yùn)用假設(shè)條件，該式可化為：,由于,又由,.因此，是與及有關(guān)的正常數(shù)，并由上述式子可得第一估計(jì)：,在此，是與，及L有關(guān)的正常數(shù).從而有下列結(jié)果： 現(xiàn)在驗(yàn)證估計(jì)二.方程兩邊分別乘以，并且關(guān)于k求和，得到：.可化為：.通過(guò)計(jì)算可得：,.計(jì)算得：在（0，t)

15、區(qū)間上積分，并且運(yùn)用假設(shè)條件，該式可化為：,因此，是及有關(guān)聯(lián)的正常數(shù)，并由上述式子可得第一估計(jì)：,在此，是與，及有關(guān)聯(lián)的正常數(shù).綜上所述，根據(jù)以上方程解得，存在子列，使得： 下面處理非線性項(xiàng). 意味著而（3) 進(jìn)一步而有： 利用Aubin引理得： 相當(dāng)于，這意味著 下面驗(yàn)證初值，已知 在中，中， 且在中，其中表示與的對(duì)偶積注意到，上式可寫(xiě)為因此可知又，故對(duì)任意有 因此在中，4.2 能量的一致衰減性在本文中，我們將證明此方程的解以指數(shù)形式衰減的定理.設(shè)是方程的解，由此可定義廣義能量方程滿足，其中為：,其中.并由此可知，.引入兩個(gè)泛函數(shù)，,并且設(shè)：.其中和是未知的正整數(shù).本文先證明下述引理，由此說(shuō)

16、明泛函數(shù)和廣義能量在下述問(wèn)題的意義中是等價(jià)的.引理：設(shè)是上述方程得到的解，則存在兩個(gè)正的常數(shù)項(xiàng)，使得其滿足下述不等式： .證 由的定義運(yùn)用Young不等式，得到：由的定義，運(yùn)用Young不等式，易得：運(yùn)用上述的公式，將選取適當(dāng)大的數(shù)，將選取適當(dāng)小的數(shù)，則一定會(huì)存在符合方程兩邊要求的和.我們?yōu)榱俗C明的衰減性，只需要將證明出其滿足指數(shù)衰減。因此，我們先計(jì)算的導(dǎo)數(shù).上式右端的第三項(xiàng)可計(jì)算得：.我們可以根據(jù)Young不等式，得到：.繼續(xù)根據(jù)Young不等式，可得式子最后一項(xiàng)：.綜上所述，.將，可得：.下面我們來(lái)根據(jù)的定義，直接估計(jì)可得：.當(dāng)時(shí)，首先估計(jì)式子右端第一項(xiàng)：.估計(jì)第二項(xiàng)：.估計(jì)第三項(xiàng)：.估計(jì)

17、第四項(xiàng)：,其中，,綜上所述，.估計(jì)第五項(xiàng)：通過(guò)Sovolev嵌入定理,且，可以得出：.繼而得：.估計(jì)第六項(xiàng)：.綜上所述，且使得：整理以上，我們可得：.在此，我們讓,，則存在足夠小的，使得：.同理：.而對(duì)于任意存在的和，我們可以找出足夠大的，使其滿足.因此，在假設(shè)的條件下，對(duì)于些，可得：.由上述可知，存在正常數(shù)，可得， ，利用定理可推知， .最后將上述不等式積分，得到：，.因此也就證明了衰減性。致 謝首先我把這篇論文獻(xiàn)給我親愛(ài)的的父母親，感謝他們給了我生命，給了我一個(gè)完整的家庭，給了我深造的機(jī)會(huì)，他們教會(huì)我踏實(shí)做人本分做事一步一個(gè)腳印，也感謝他們給予我無(wú)保留的的愛(ài)和奉獻(xiàn)的精神，事實(shí)證明，這足以受

18、用終生。我要感謝我大學(xué)四年來(lái)的所有的老師，他們的兢兢業(yè)業(yè)的教誨共同鑄就了這篇論文，沒(méi)有他們孜孜矻矻的教化，難以想象這一切是如何開(kāi)始又如何結(jié)尾的，尤其感謝我們的李文清老師，在我寫(xiě)論文之伊始，李老師就傾注了大量心血，指點(diǎn)我如何選材，如何查詢必要的資料，如何深入淺出地分析案例，李老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、誨人不倦的精神、淵博的知識(shí)對(duì)我產(chǎn)生了無(wú)法估量的影響，在這里我要祝福李老師，身體健康，萬(wàn)事通達(dá)。本文是對(duì)我大學(xué)四年的學(xué)習(xí)成果的總結(jié)，大家的閱讀是我至上的榮耀，如果大家能提出一些意見(jiàn)和建議，我更是求之不得，感激不盡。時(shí)光飛逝，在這四年里我經(jīng)歷了許許多多難以忘懷的時(shí)刻，在這生命最美麗的四年里和將近四年的學(xué)習(xí)生活

19、中，我要感謝我的一些同學(xué)和朋友們，你們的支持是我前進(jìn)的動(dòng)力，你們的幫助更是對(duì)我的激勵(lì)，感謝在最美麗的年華遇到所有的你們。 最后，感謝自己，曾經(jīng)的努力，造就一個(gè)更加自信，更加完美的自己，告訴自己，路一直都在，不拋棄，不放棄。參考文獻(xiàn)1Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J. Existence and uniform decay for a nonlinear viscoalastic equation with strong damping M.2001 .2Tater N,Messaoudi S A. Exponential and

20、 polynomial decay for a quasilinear viscoelastic equationMNonlinear Analysis,2008(68)785-7933韓小森，王明新，帶非線性阻尼的粘彈方程解的整體存在性和一致衰減性，M.20094Shuntang Wu.General decay of solutions for a viscoelastic equation with nonlinear damping and source terms M.2011.5Xiaosen Han,Mingxin Wang,General decay of energy for a viscoelastic equat ion with nonlinear damping M.20096Wenjun Liu. Exponential or polynomial decay of solutions to a viscoelastic equation with nonlinear localized damping M.2010.7同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，高等數(shù)學(xué)M.高等教育出版社，1979.8張全德，非線性波動(dòng)方程整體解的存在性與唯一性J.陜西師大學(xué)報(bào)(