導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一(單調(diào)性).doc

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一 ( 單調(diào)性 )導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (一 )1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)2函數(shù)的極值(1)極大值：在包含 x0的一個區(qū)間 (a，b)內(nèi)，函數(shù) yf(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都小于 x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn) x0為函數(shù) yf( x)的極大值點(diǎn)，其函數(shù)值 f(x0)為函數(shù)的極大值(2)極小值：在包含 x0的一個區(qū)間 (a，b)內(nèi)，函數(shù) yf(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都大于 x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn) x0為函數(shù) yf( x)的極小值點(diǎn)，其函數(shù)值 f(x0)為函數(shù)的極小值(3)極值：極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)3函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù) f(x)在a，b上有最值的條件：一般地，如果在區(qū)間

2、 a，b上，函數(shù) yf(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值(2)求函數(shù) yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟為求函數(shù) yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù) yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值1若函數(shù) f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f(x)0嗎？ f(x)0是否是 f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件？2導(dǎo)數(shù)值為 0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？“導(dǎo)數(shù)為0”是函數(shù)在該點(diǎn)取得極值的什么條件？3函數(shù)的極值和函數(shù)的最值有什么聯(lián)系和區(qū)別？1如圖所示是函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x)的圖象，則下列判

3、斷中正確的是 ( A )A函數(shù) f(x)在區(qū)間 (3,0)上是減函數(shù)B函數(shù) f(x)在區(qū)間 (3,2)上是減函數(shù)C函數(shù) f(x)在區(qū)間 (0,2)上是減函數(shù)D函數(shù) f(x)在區(qū)間 (3,2)上是單調(diào)函數(shù)2函數(shù) f(x)exx的單調(diào)遞增區(qū)間是 (D)A(，1B1，)C(，0D(0，)23設(shè)函數(shù) f(x)xln x，則 (d)Ax1為f(x)的極大值點(diǎn)Bx122為f(x)的極小值點(diǎn)Cx2為f(x)的極大值點(diǎn)Dx2為f(x)的極小值點(diǎn)4已知 f(x)x3ax在1， )上是增函數(shù)，則 a 的最大值是 _解析： f(x)3x2a0，即 a3x2，又x1，)，a3，即 a 的最大值是 3.答案： 35函數(shù)

4、 f(x)x33 x23x4在 0,2上的最小值是 _解析： f(x)x22x3，令 f(x)0 得 x1(x1710 3 舍去 )，又 f(0) 4，f(1) 3 ，f(2) 3 ，故17f(x)在0,2上的最小值是 f(1) 3 .答案：173利用導(dǎo)數(shù)研究函考點(diǎn)一數(shù)的單調(diào)性例1設(shè)f(x)a(x5)26lnx，其中 aR，曲線 yf(x)在點(diǎn) (1，f(1)處的切線與 y軸相交于點(diǎn) (0,6)(1)確定 a的值；(2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間自主解答 (1)因?yàn)?f(x)a(x5)2，故(x)6ln xf6 2a(x5)x.令 x1，得 f(1)16a，f (1)68a，所以曲線 yf(x

5、)在點(diǎn) (1，f(1)處的切線方程為y16a(6 8a)(x1 1)，由點(diǎn) (0,6)在切線上可得 616a8a6，故 a2.(2)由(1)知， f(x)12(x5)26ln x(x0)， f(x)x6x2 x35xx.令 f(x)0，解得 x12，x23.當(dāng) 0x3時，f(x)0，故 f(x)在(0,2)，(3，)上為增函數(shù)；當(dāng)2x3 時， f(x)0)當(dāng) x(0,1)，f(x)0 時，函數(shù)f(x)3x2x2ln x 單調(diào)遞增當(dāng) x(1，)，f(x)0時，函數(shù) f(x)3x2x2ln x 單調(diào)遞減故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為 (1， )31(2)f (x)a 4

6、xx，若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù)，即在311,2 上，f(x)a4xx0或3f(x)a131314xx 0，即a4xx0或a4xx0在1,2上恒31311成立即 a4xx或a4xx.令 h(x)4xx，因?yàn)楹?33數(shù) h(x)在1,2 上單調(diào)遞增，所以 ah(2)或ah(1)，即 a153 2 或a3，解得a0或200，b0，且函數(shù) f(x) 4x3ax22bx2 在 x1 處有極值，則 ab 的最大值等于 ()A2B3C6D9(3)(2013福建高考)已知函數(shù) f(x)xalnx(aR)當(dāng) a2時，求曲線 yf(x)在點(diǎn) A(1，f(1)處的切線方程；求函數(shù) f(x)的極值 自主

7、解答 (1) 當(dāng) x0. (1 x) f ( x)0 ， f ( x)0 ，即 f ( x) 在( ， 2) 上是增函數(shù)當(dāng) 2x0. (1 x) f ( x)0，f ( x)0 ，即 f ( x) 在( 2,1) 上是減函數(shù)當(dāng) 1x2 時，1x0 ，f ( x)2 時， 1x0. (1 x) f ( x)0 ，即 f ( x) 在(2 ， ) 上是增函數(shù)綜上： f ( 2) 為極大值， f (2) 為極小值(2) f ( x) 12x22ax2b，f ( x) 在 x1 處有極值， f (1) 122a2b0，即 ab6，又 a0，b0，ab2ab，ab9，當(dāng)且僅當(dāng) ab3 時等號成立， ab

8、 的最大值為 9.a(3) 函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)?(0， )，f ( x) 1x.2當(dāng)a2 時， f ( x) x 2lnx， f ( x) 1x( x0) ，因而 f (1) 1，f (1) 1，所以曲線 yf ( x) 在點(diǎn) A(1 ，f (1) 處的切線方程為 y1 ( x1) ，即 x y20.axa由 f ( x) 1x x ，x0 知：當(dāng) a0 時，f ( x)0 ，函數(shù) f ( x) 為(0 ， ) 上的增函數(shù)，函數(shù) f ( x) 無極值；當(dāng) a0 時，由 f ( x) 0，解得 xa. 又當(dāng) x (0 ，a) 時， f ( x)0 ，從而函數(shù) f ( x) 在 x a

9、 處取得極小值，且極小值為 f ( a) aaln a，無極大值綜上，當(dāng) a0 時，函數(shù) f ( x) 無極值；當(dāng) a0 時，函數(shù) f ( x) 在 xa 處取得極小值 aalna，無極大值 答案 (1)D(2)D函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況先找導(dǎo)數(shù)為0 的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(2)已知函數(shù)求極值求f (x)求方程 f(x)0的根 列表檢驗(yàn) f(x)在 f(x)0 的根的附近兩側(cè)的符號 下結(jié)論(3)已知極值求參數(shù)若函數(shù)f(x)在點(diǎn) (x0，y0)處取得極值，則 f(x0)0，且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號相反1(2013 浙江高考 )

10、已知 e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)(ex 1)(x1)k(k1,2)，則 ()A當(dāng) k1時， f(x)在x1處取到極小值B當(dāng) k1時， f(x)在x1 處取到極大值C當(dāng) k2時， f(x)在x1處取到極小值D當(dāng) k2時， f(x)在x1處取到極大值解析：選 C當(dāng) k1 時， f(x)(ex1)(x1)，0,1是函數(shù) f(x)的零點(diǎn)當(dāng) 0x1 時，f(x)(ex1)(x1)1 時， f(x)(ex1)(x1)0,1 不會是極值點(diǎn)當(dāng)k 2 時， f(x) (ex 1)(x1)2，零點(diǎn)還是 0,1，但是當(dāng)0x1 時， f(x)0，由極值的概念，知選C.2已知函數(shù) f(x)ax1ln x(aR)

11、(1)討論函數(shù) f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)；(2)若函數(shù) f(x)在x1處取得極值，且對任意的 x(0 ， )，f(x)bx2恒成立，求實(shí)數(shù) b的取值范圍1ax1解： (1)f(x)axx，x0，當(dāng) a0 時，f(x)0 時，令 f(x)0 得 0x0 得1xa， 在0，1上單調(diào)遞減，在1， 上單調(diào)遞f(x)aa1增，即 f(x)在 xa處有極小值綜上所述，當(dāng) a0 時 f(x)在(0，)上沒有極值點(diǎn)；當(dāng) a0 時， f(x)在(0， )上有一個極值點(diǎn)(2)函數(shù) f(x)在 x1 處取得極值，由 (1)可知 a1，f(x)x1ln x.1又f(x)bx2，x1ln xbx2，即 1xln

12、 xb.令 g(x) 11 ln x， g(x) ln x2x2，當(dāng)xxx0xe2 時， g(x)e2 時， g(x)0，即 g(x)在(e2， )上為增函數(shù)，g(x)在 xe2 處取得最小值， g(x)min g(e2)1e12，即b1112.故實(shí)數(shù) b 的取值范圍為 ，1 2 .ee利用導(dǎo)數(shù)研究函考點(diǎn)三數(shù)的最值問題例3(2013 廣東高x2(kR)考)設(shè)函數(shù) f(x)(x1) ekx(1)當(dāng)k1時，求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)k1， 12時，求函數(shù) f(x)在0，k上的最大值 M .自主解答 (1)當(dāng) k 1 時， f (x)(x 1)e xx 2 ，f (x)ex(x1)e x2

13、 xx ex 2x x(e x2) 令 f (x )0，得 x 1 0 ，x 2 ln 2.當(dāng) x 變化時， f (x )，f (x )的變化如下表：(，(0 ，ln(ln 2 ，x0ln 20)2)f (x )00極大極小f (x )值值由表可知，函數(shù) f (x)的遞減區(qū)間為 (0 ，ln 2) ，遞增區(qū)間為 (，0) ，(ln 2 ，)(2) f (x) ex (x 1)e x 2kx x ex 2kx x (e x 2k )，令 f (x )0 ，得 x 1 0 ，x 2 ln(2 k )，令 g (k )ln(2k)(11 k()在，則) 10，所以kg kkkg k1，1 上遞增，所

14、以 g (k )ln 2 1 ln 2 ln e0 ，從2而 ln(2 k ) k ，所以 ln ln(2 k ) 時，f (x )0 ；所以M max f (0) ， f (k ) max 1 ， (k 1)e k k 3 令 h(k )(k 1)e kk 3 1，則 h(k )k (e k3 k )，令(k )ek 3k ，則 (k )ek 3 e 30 ，所以在113，1 上遞減，而 e (e(k )2(1)2213)0 ，當(dāng) k (x 0, 1) 時， (k )0 ，h(1) 0 ，所以 h(k )22810 在，1 上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)k 1 時等號成立綜2上，函數(shù) f (x )在0

15、，k 上的最大值 M (k 1)e kk 3.【方法規(guī)律】求函數(shù) f(x)在a，b上最值的方法(1)若函數(shù) f(x)在a，b上單調(diào)遞增或遞減 ，f(a)與 f(b)一個為最大值，一個為最小值(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間 (a，b)內(nèi)有極值，先求出函數(shù)f(x)在區(qū)間 (a，b)上的極值，與 f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值(3)函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a，b)上有唯一一個極值點(diǎn)時 ，這個極值點(diǎn)就是最大 (或最小 )值點(diǎn)已知 aR，函數(shù) f(x)2x33(a 1)x26ax.(1)若a1，求曲線 yf(x)在點(diǎn) (2，f(2)處的切線方程；(2)若|a|1，求 f(

16、x)在閉區(qū)間 0,2|a|上的最小值解：(1)當(dāng) a1 時，f(x)6x212x6，所以 f(2)6.又因?yàn)?f(2)4，所以切線方程為y6x8.(2)記 g(a)為 f(x)在閉區(qū)間 0,2|a|上的最小值 f(x) 6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令 f(x)0，得 x11， x2a.當(dāng) a1 時，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x00)極大極小4af(x) 0 3值值3a1a2(3a)比較f(0)0 和 f(a)a2(3a)的大小可得g(a)0，1a3，當(dāng) a3.(1，x0 (0,1) 1 2a 2a)f(x0)極小值28a3f(x)03a124a2得 g(a)3

17、a1.綜上所述， f(x)在閉區(qū)間 0,2|a|上的3a1，a1，最小值為 g(a) 0， 13. 課 堂 歸 納 通 法 領(lǐng)悟1 個流程 解決函數(shù)極值問題的一般流程求定義域求導(dǎo)數(shù) f x求極值用極值解方程 f x 0知方程 f x 0根的情況驗(yàn)根左右 f x 的符號得關(guān)于參數(shù)的方程不等式極值參數(shù)值 范圍2 個關(guān)系 導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系(1)f (x)0 在(a，b)上成立，是 f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分不必要條件(2)對于可導(dǎo)函數(shù) f(x)，f(x0)0 是函數(shù) f(x)在 xx0 處有極值的必要不充分條件3 個注意點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求極值應(yīng)注意三點(diǎn)(1)求單調(diào)區(qū)間時應(yīng)先求函數(shù)的定義

18、域，遵循定義域優(yōu)先的原則；(2) f (x0)0 時， x0 不一定是極值點(diǎn)；(3)求最值時，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時應(yīng)分類討論壓軸大題巧突破 (一)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題典例(2013浙江高考)(14分)已知 aR，函數(shù) f(x) x33x23ax3a3.(1)求曲線 yf(x)在點(diǎn) (1，f(1)處的切線方程；(2)當(dāng)x0,2時，求 |f(x)|的最大值【解析】 (1)由題意得 f(x)3x26x3a，故 f(1)3a3.2 分又 f(1)1，所以所求的切線方程為y(3a3)x3a4.4 分(2)由于 f(x)3(x1)23(a1)，0x2，故() 當(dāng)a0時 ，

19、有 f(x)0，此時 f(x)在0,2上單調(diào)遞減，故 |f(x)|max max|f(0)|，|f(2)| 33a.() 當(dāng)a1時 ，有 f(x)0，此時 f(x)在0,2上單調(diào)遞增，故 |f(x)|max max|f(0)|，|f(2)| 3a1.() 當(dāng) 0a1 時，設(shè)x1 1 1a， x2 11a，則 0x1x20，f(x1)f(x2)4(1a) 1a 0，從而 f(x1)|f(x2)|.所以|f(x)|maxmax f(0)，|f(2)|，f(x1).10 分2) f(0)2(1a. 當(dāng) 0a|f(2)|. 又 f(x13a2 34aa)1a (2 3a) 0 ， 故 2 1a 1a2

20、3a|f(x)|maxf(x1)12(1a)1a.11 分2b. 當(dāng)3a1時 ，|f(2)|f(2)，且 f(2)f(0)又 f(x1)|f(2)|2(1a)1a(3a2)a2 34a23，所以 當(dāng)3a|f(2)|.2 1a 1a3a2故 f(x)max f(x1)12(1a) 1a.3當(dāng)4a1時 ，f(x1)|f(2)|.故 f(x)max|f(2)|3a1.13 分綜上所述，|f(x)|max33a，a0，312 1a1a，0af x1f ax 時恒有x2x1aa成立？若存在，求 a的取值范圍；若不存在，請說明理由解： (1)f(x) (1 x)ex.令 f(x) 0 ，得x 1.f(x)，f(x)隨 x 的變化情況如下：(，(1，x11)f(x0)極小f(x)值f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (，1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1， )；1f(x)極小值 f(1) e.f x f a(2)設(shè) g(x)，由題意，對任意的x1、x2xa(a，)，當(dāng) x1g(x1)，即 yg(x)在(a，)上是單調(diào)遞增函數(shù)(3)又f x xa f x f a g(x) 2xa1x ex xa xexaeax2xaxa exxexaeaxa 22x