專題19平行四邊形、矩形、菱形

1、【例I I】如圖，矩形ABCD勺對角線相交于O AE平分/ BAD 交 BC于 E,/ CAE= 1515專題19平行四邊形、矩形、菱形閱讀與思考平行四邊形、矩形、 菱形的性質(zhì)定理與判定定理是從對邊、對角、對角線三個(gè)方面探討的，矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，矩形的特殊性由一個(gè)直角所體現(xiàn)，菱形的特殊性是由鄰邊相等來體現(xiàn)，因此它們除兼有平行四邊形的一般性質(zhì)外，還有特有的性質(zhì)；反過來， 判定一個(gè)四邊形為矩形或菱形，也就需要更多的條件連對角線后平行四邊形、矩形、菱形就與特殊三角形聯(lián)系在一起，所以討論平行四邊形、矩形、菱形相關(guān)問題時(shí)，常用到特殊三角形性質(zhì)、全等三角形法；另一方面，又要善于在四 邊形的背

2、景下思考問題， 運(yùn)用平行四邊形、矩形、 菱形的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，常常是判定 定理與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用 . .熟悉以下基本圖形:例題與求解那么/ BOE= _（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：從發(fā)現(xiàn)矩形內(nèi)含的特殊三角形入手【例2 2】下面有四個(gè)命題： 一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形； 一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形； 一組對角相等且這一組對角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對角線平分另一條對角線的四邊形是平 行四邊形； 一組對角相等且這一組對角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對角線被另一條對角線平分的四邊形是 平行四邊形；其中，正確的命題的個(gè)數(shù)是（）B.B. 2 2 C.C. 3

3、3（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：從四邊形邊、角、對角線三類元素任意選取兩類，任意組合就產(chǎn)生許多判定平行四邊形的命題，關(guān)鍵在于對假命題能突破正規(guī)的、標(biāo)準(zhǔn)位置的圖形構(gòu)造反例否定 【例3 3】如圖，菱形 ABCD勺邊長為2 2, BD= 2 2, E, F分別是邊AD, CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且 滿足 AE+CF= 2.（1 1）判斷 BEF的形狀，并說明理由；（2 2）設(shè)厶BEF的面積為S,求S的取值范圍. .D DB B（煙臺中考試題）解題思路：對于（1 1）由數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)圖形特征；對于（2 2）,只需求出BE的取值范圍【例4 4】如圖，設(shè)P為等腰直角三角形 ACB斜邊AB上任意一點(diǎn)，PEL AC

4、于點(diǎn)E, PF丄BC于點(diǎn)F, PGL EF于點(diǎn)G,延長GP并在春延長線上取一點(diǎn) D,使得PD= PC(1)在圖1 1中證明CE= CF;(2)若/ ABC= 9090, G是EF的中點(diǎn)（如圖2 2）,直接寫出/BDG勺度數(shù);F. .(3)3 3個(gè)等腰三角形;求證：Bd BD BC= BD（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：只需證明厶CPB2A DPB關(guān)鍵是利用特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì)【例5 5】在口 A BCD中，/ BAD的平分線交直線 BC于點(diǎn)E,交直線DC的延長線于點(diǎn)若/ ABC= 120120, FG/ CE FG= CE 分別連結(jié) DB DG(如圖 3 3),求/ BDG勺度數(shù).

5、.（北京市中考試題）解題思路：對于（1 1）,由角平分線加平行線的條件可推出圖中有 對于（2 2）,用測量的方法可得/ BDG4545。，進(jìn)而想到等腰直角三角形，連 CG BD只需證B BF FD DC CF FF F明厶BGQA DGF這對解決（3 3）,有不同的解題思路對于（3 3）【例6 6】如圖， ABC中，/ C=C= 9090，點(diǎn) M在 BC上，且BM= AC點(diǎn)N在AC上，且 AN=MC AM與 BN相交于點(diǎn)P.求證：/ BPIM= 4545 . .（浙江省競賽試題）解題思路：條件給出的是線段的等量關(guān)系，求證的卻是角度等式， 由于條件中有直角和相等的線段，因此，可想到等腰直角三角形

6、，解題的關(guān)鍵是平移AN或 AC即作MEL AN ME=AN構(gòu)造平行四邊形 能力訓(xùn)練A級1.1.如圖，口ABCD , BE!CD BFL AD 垂足分別為 E、F,若 CE= 2 2, DU 1 1, / EBP6060，則口ABC的面積為 _. .2.2.如圖，口ABCD勺對角線相交于點(diǎn) 0,且AM CD過點(diǎn)O作OML AC交AD于點(diǎn)M若厶CDM周長為a,那么口ABC的周長為 _. .第2 2題（浙江省中考試題）3.3.如圖，在 RtRt ABC中，/ B= 9090,/ BAC= 7878,過 C作 CF/ AB 連結(jié) AF與 BC相交于G 若GF= 2 2AC則/ BAG勺大小是 _. .

7、（“希望杯”競賽試題）4.4.如圖，在菱形 ABCDK / B=/ EAF= 6060, / BAE= 2020,則/ CEF勺大小是 _（“希望杯”邀請賽試題）5.5.四邊形的四條邊長分別是a, b, c, d,其中a, c為對邊，且滿足a2 b2 c2 d2 2ab 2cd，則這個(gè)四邊形一定是（）A.A.兩組角分別相等的四邊形B.B.平行四邊形C.C.對角線互相垂直的四邊形D.D.對角線相等的四邊形6.6.現(xiàn)有以下四個(gè)命題:8.如圖，矩形ABC啲長為a,寬為b,如果&S2-(S3 S4)，則 S4 =(2A.A. 3ab B.B.8-ab C.C.42ab D.D. -ab32對角線相等的

8、四邊形是矩形；對角線互相垂直的四邊形是菱形；有一個(gè)角為直角且對角線互相平分的四邊形為矩形；菱形的對角線的平方和等于邊長的平方的4 4倍. .其中，正確的命題有（）A.A. B.B. C.C. D.D. 7.如圖，在矩形 ABCDK AB= 1 1, AD= 73 , AF平分/ DAB 過點(diǎn) C作 CEL BD于 E, 延長AF, EC交于點(diǎn)H,下列結(jié)論中： AF= FH;BO= BF；CA= CHBE= 3 3ED正確的 是（ ）A.A.B.B.C.C. D.D.（齊齊哈爾中考試題）（“縉云杯”競賽試題9.已知四邊形 ABCD現(xiàn)有條件： AB/ DCAB= DCAD/ BCAD- BC/ A

9、=Z C;/ B=Z D從中取兩個(gè)條件加以組合，能推出四邊形ABCD平行四邊形的有哪幾種情形請具體寫出這些組合（江蘇省競賽試題）10.如圖， ABC為等邊三角形， D F分別是BC AB上的點(diǎn)，且 CD= BF, 以AD為 邊作等邊厶ADE（1 1）求證： ACm CBF ；（2 2）當(dāng)D在線段BC上何處時(shí)，四邊形CDEF為平行四邊形，且/ DEF= 3030,證明你的 結(jié)論. .（江蘇省南通市中考試題）11.如圖，在 RtRt ABC中, AB= AC / A= 9090，點(diǎn) D為 BC上任一點(diǎn)，DF丄AC于 F,DEL AC于 E, M為BC中點(diǎn)，試判斷厶 MEF是什么形狀的三角形，并證明

10、你的結(jié)論（河南省中考試題）12.如圖， ABC中, AB= 3 3, AC= 4 4, BC= 5 5, ABD ACE BCF都是等邊三角形,求四邊形AEFD勺面積. .（山東省競賽試題）D MCE EB級1.1.如圖，已知 ABCD平行四邊形， E在AC上，AE= 2 2EC F在AB上，BF= 2 2AF,如果 BEF的面積為2 2 cm2，則口 ABC的面積是 _. .第1 1題（“希望杯”競賽試題）2.2.如圖，已知 P為矩形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA= 3 3, PD-4 4, PC= 5 5,貝U PB=_第2 2題（山東省競賽試題）3.3.如圖，在矩形 ABCDK AB= 6cm,

11、6cm, BC= 8cm,8cm,現(xiàn)將矩形折疊，使 B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，則折痕EF長為 _（武漢市競賽試題）4.4.如圖，在矩形ABCD中, AB= 8 8, BC= 4 4,將矩形沿AC折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D處，CD交AB于點(diǎn)F,則重疊部分 AFC的面積為 _. .（山東省競賽試題）5.5.如圖，在矩形 ABCD中，已知 AD= 1212, AB= 5 5, P是AD邊上任意一點(diǎn)， PEL BD于 E,PF丄AC于F,那么PHPF的值為 _. .（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）6.6.如圖，菱形 ABCD勺邊長為4 4 cmcm，且/ ABC= 6060, E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在BD上,則PE+PC勺最小

12、值為_. .A AD D（“希望杯”邀請賽試題）7.如圖， ABC的周長為2424, M是AB的中點(diǎn)，MC= MA= 5 5,則厶ABC的面積是（）A.A. 3030 B.B. 2424 C.16C.169.如圖，已知/ A=Z B, AA,PR , BB 均垂直于 AE , AA = 1717, PR = 1616, BB1（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）8.如圖，口ABCD中，/ ABC= 7575, AF丄 BC于 F, AF交 BD于 E,若 DE= 2 2AB 則/ AED的大小是（）A.A. 6060 B.B. 6565=2020 , A1B1 = 1212,則 AP+PB勺值為（）A.A

13、. 1515 B.14B.14 C.C. 1313（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）10.如圖1 1, ABC是直角三角形，/ C= 9090,現(xiàn)將 ABC補(bǔ)成矩形，使 ABC的兩個(gè) 頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可畫出兩個(gè)：矩形 ACB刖矩形AEFB（如圖2 2）. .第8 8題B B1解答問題：(1) 設(shè)圖2 2中矩形ACB和矩形AEFB勺面積分別為 &，則0_S, (填 “”、“=”或 “V”). .(2) 如圖. ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出 _個(gè)，利用圖3 3畫出來. .(3) 如圖4 4, ABC是

14、銳角三角形且三邊滿足 BCACAB,按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出 _個(gè)，禾U用圖4 4畫出來. .(4) 在(3 3)中所畫出的矩形中，哪一個(gè)的周長最小為什么( (陜西中考試題) )11.四邊形 ABCD中, AB= BC= CD= DA / BAD= 120120 M為 BC上一點(diǎn)，N 為 CD上一點(diǎn). .求證：若厶AMNT個(gè)內(nèi)角等于 6060,則厶AMt為等邊三角形. .圖3 312.如圖，六邊形 ABCDEFF, AB/ DE BC/ EF, CD/ AF,對邊之差 BC- EF= ED- AB =AF CD 0.0.求證：該六邊形的各角相等.（全俄數(shù)學(xué)奧林匹克

15、試題）專題H 平行四邊降、矩聘.蔓形胸】陽1 例2 A只有赴題止確.鑰3 ：1匚啟味節(jié)匹三常帶握奉M由厶和 WG為任三確疇可證明也口&8止礙| HE 二丹斤/DRFN上（箱巨7ZP5C - ZCBF + ZDBF- ZDBE 十/晦 即 也尸一&匚搖丄nb為錚辿三甫形（冊詵甜:“出=啟尸二口屛HJflhiS二晉#.當(dāng)ME丄AU時(shí)*右倉小值詹/!f =x（yl）- ?A4噹h HE專沖舟直曲才*有日蟲值K匕=jX 2s =I, A :打碗JI側(cè)4 槻債】Pr-EFPJ3.也匚PB=15.十WFFC=45 旳 -/GFR =XB尸門，町旺明 ACf/J ADPHIW5 略（45（；P6i/ 如垂

16、JLfe AH=Wr連DH, JN AAHD是等邊二 W.VA/i AU DF. AflH-CiF.XXBHD-ZGFD- 50OH DF+丄乙1出戸弐厶DCF丄肺冊一乙真:DC ADB - DP At)C (ZADB+ZW3 - 1201 Gflc 一 MJ険樂如圖.it財(cái)柞磁蠱臣譏蜂AAJEX 沁行團(tuán)邊船*待3EL AM，Mi：丄BTR丁 VE二也/EMH - zSVTA二90MTQ二匚EEMI jAVU得 ME=.W= XLZ1=Z2. Z3=Z4.TZH ZJ90T二a+丄4盹且 BE-N.； SEN為尋攙工角三角形,ZWE= 4 VAW#.VEf AyBPJW ZHM 詢t中規(guī).連站

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