2021年人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第6章《6.3.2-6.3.3課時(shí)精講》(含解析)

1、6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)一平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示(1)平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解(2)平面向量的坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)二平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算1在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)2平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)；應(yīng)把向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)別開來，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與終點(diǎn)的坐標(biāo)相等3符號(hào)(x，y)在直角坐標(biāo)系中有兩重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量為了加以區(qū)分，在敘述中

2、，就常說點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)特別注意：向量a(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x，y)中間沒有等號(hào)4(1)平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直(2)由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，即abx1x2且y1y2，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)(3)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)(4)當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)與x軸平行的向量的縱坐標(biāo)為0；與y軸平行的向量的橫坐標(biāo)為0.(

3、)(2)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同()(3)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)()(4)向量可以平移，平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化()答案(1)(2)(3)(4)2做一做 (1)已知(2,4)，則下列說法正確的是()AA點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,4)BB點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,4)C當(dāng)B是原點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,4)D當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,4)(2)已知(1,3)，且點(diǎn)A(2,5)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A(1,8) B(1,8)C(3，2) D(3,2)(3)若a(2,1)，b(1,0)，則ab的坐標(biāo)是()A(1,1) B(3，1)C(3,1) D(2,0)(4)若

4、點(diǎn)M(3,5)，點(diǎn)N(2,1)，用坐標(biāo)表示向量_.答案(1)D(2)B(3)C(4)(1，4)題型一 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示例1(1)已知向量i(1,0)，j(0,1)，對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個(gè)結(jié)論：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a(x，y)；若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，則x1x2，且y1y2；若x，yR，a(x，y)，且a0，則a的始點(diǎn)是原點(diǎn)O；若x，yR，a0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a(x，y)其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4(2)如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30角求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)以及

5、與的坐標(biāo)解析(1)由平面向量基本定理，知正確；例如，a(1,0)(1,3)，但11，故錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄靠梢云揭疲詀(x，y)與a的始點(diǎn)是不是原點(diǎn)無關(guān)，故錯(cuò)誤；當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)時(shí)，a(x，y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故錯(cuò)誤(2)由題知B，D分別是30，120角的終邊與單位圓的交點(diǎn)設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函數(shù)的定義，得x1cos30，y1sin30，B.x2cos120，y2sin120，D.，.答案(1)A(2)見解析求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)(2)在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和

6、終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)(1)如圖，e1，e2是一個(gè)正交基底，且e1(1,0)，e2(0,1)，則向量a的坐標(biāo)為()A(1,3) B(3,1)C(1，3) D(3，1)(2)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|4，xOA60，求向量的坐標(biāo)；若B(，1)，求的坐標(biāo)答案(1)A(2)見解析解析(1)由圖可知ae13e2，又e1(1,0)，e2(0,1)，則a(1,3)故選A.(2)設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x4cos602，y4sin606，即A(2，6)，故(2，6)(2，6)(，1)(，7).題型二 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示例2(1)已知三點(diǎn)A(2，1)，B(3,4)

7、，C(2,0)，則向量_，_；(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(1,2)，(3，5)，求ab，ab的坐標(biāo)解析(1)A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，(1,5)，(4，1)，(5，4)(1,5)(4，1)(14,51)(5,4)(5，4)(1,5)(51，45)(6，9)(2)ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)答案(1)(5,4)(6，9)(2)見解析平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算(3)向量加、減的坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的

8、運(yùn)算進(jìn)行(1)已知a(1,2)，b(3,4)，求向量ab，ab的坐標(biāo)；(2)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且，求M，N及的坐標(biāo)解(1)ab(1,2)(3,4)(2,6)，ab(1,2)(3,4)(4，2)(2)由A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，可得(2,4)(3，4)(1,8)，(3，1)(3，4)(6,3)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則(x13，y14)(1,8)，x12，y14；(x23，y24)(6,3)，x23，y21，所以M(2,4)，N(3，1)，(3，1)(2,4)(5，5).題型三 平面向量加、減坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用例3如圖所示，已知直角梯形AB

9、CD，ADAB，AB2AD2CD，過點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E，用向量的方法證明：DEBC.證明如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|1，則|1，|2.CEAB，而ADDC，四邊形AECD為正方形，可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)(1,1)(0,0)(1,1)，(0,1)(1,0)(1,1)，即DEBC.通過建立平面直角坐標(biāo)系，可以將平面內(nèi)的任一向量用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示；反過來，任一有序?qū)崝?shù)對(duì)都表示一個(gè)向量因此向量的坐標(biāo)表示實(shí)質(zhì)上是向量的代數(shù)表示，引入向量的坐標(biāo)后，可使向量運(yùn)算代數(shù)化，將數(shù)和形結(jié)合起來，從而將幾何問題轉(zhuǎn)

10、化為代數(shù)問題來解決已知平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)依次為(3，1)，(1,2)，(m,1)，(3，n)求msinncos的最大值解四邊形ABCD為平行四邊形，則，即(33，n1)(m1,12)，即得m1，n2，得msinncossin2cossin()，其中tan2，故msinncos的最大值為.1設(shè)平面向量a(3,5)，b(2,1)，則ab()A(1,6) B(5,4)C(1，6) D(6,5)答案A解析ab(3,5)(2,1)(32,51)(1,6)2已知向量(1，2)，(3,4)，則()A(4,6) B(2，3)C(2,3) D(6,4)答案A解析(3,4)(1，2)(4,6)3如圖，向量a，b，c的坐標(biāo)分別是_，_，_.答案(4,0)(0,6)(2，5)解析將各向量分別向基底i，j所在直線分解，則a4i0j，a(4,0)；b0i6j，b(0,6)；c2i5j，c(2，5)4在平面直角坐標(biāo)系中，|a|2，a的方向相對(duì)于x軸正方向的逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為135，則a的坐標(biāo)為_答案(2,2)解析因?yàn)閨a|cos13522，|a|sin13522，所以a的坐標(biāo)為(2,2)5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b的位