二次函數(shù)圖像與性質(zhì)專(zhuān)題復(fù)習(xí)

1、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：y ax2的性質(zhì):a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a 0向上0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨 x的增大而減??；x 0時(shí)，y有最小值0 .a 0向下0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減小；x 0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值0 .a的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。22. y ax c的性質(zhì):上加下減。a的符號(hào):開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a 0向上0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨 x的增大而減小；x 0時(shí)，y有最小值c .a 0向下0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大

2、而減小；x 0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值c .23. y a x h的性質(zhì):左加右減。a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a 0向上h , 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y 隨x的增大而減??；x h時(shí)，y有最小值0 .a 0向下h , 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 h時(shí)，y 隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值0 .24. y ax hk的性質(zhì):a的符號(hào)；開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a 0向上h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y 隨x的增大而減小；x h時(shí)，y有最小值k .a 0向下h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而減小；

3、x h時(shí)，y 隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值k .、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：2方法一： 將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a x h k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) h , k ； 保持拋物線(xiàn)y ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k處，具體平移方法如下:y=ax24 y=ax2+k平移|k|個(gè)單位y=a(x_h)2向上(k0)【或向下(k0)【或左(*0)】向上(k0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)】平移|k|個(gè)單位y=a(x h)2+k歡迎下載122. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”方法二

4、：y ax2 bx c沿y軸平移：向上(下)平移m個(gè)單位，y ax2 bx c變成yax2bxc m (或y ax2bx cm)y ax2 bx c沿軸平移：向左(右)平移 m個(gè)單位，y ax2 bx c變成ya(xm)2 b(x m) c (或y a(xm)2b(x m) c)三、二次函數(shù)yk與y ax2 bx c的比較從解析式上看,ax2 bx c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即a x2a4ac b24a，其中hb 4ac b,k2a4a四、二次函數(shù)y ax2bx c圖象的畫(huà)法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù) y ax2 bx c化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a(x h)2 k ,確定

5、其開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與 y軸的交點(diǎn)0 , c、以及0 , c關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) 2h , c、 與x軸的交點(diǎn)xi, 0 , X2, 0 (若與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)).畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)五、二次函數(shù)y ax2 bx c的性質(zhì)1當(dāng)a 0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為b2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b 4ac b22a 4a當(dāng)x 一時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x 2a2時(shí)，y有最小值.4a2當(dāng)a 0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x舟時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x舟. . .

6、2箱，頂點(diǎn)坐標(biāo)為-，務(wù)當(dāng)y隨x的增大而增大；當(dāng)w時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x習(xí)時(shí)，y2有最大值4ac b4a六、二次函數(shù)解析式的表示方法21.一般式：y2 axbx c （ a , b , c 為常數(shù)，a 0 ）；2.頂點(diǎn)式：ya（xh）2 k （ a , h , k 為常數(shù)，a 0 ）；3.兩根式：ya（xxj(x X2) ( a 0 , Xi , x是拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo))注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式， 成交點(diǎn)式，只有拋物線(xiàn)與 x軸有交點(diǎn)，即b2 4ac 點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)0時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交七、二次

7、函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y ax2 bx c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a 0 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，a的值越大，開(kāi)口越小，反之 a的值越小，開(kāi)口越大;當(dāng)a 0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，a的值越小，開(kāi)口越小，反之 a的值越大，開(kāi)口越大.總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小和方向,a的正負(fù)決定開(kāi)口方向,a的大小決定開(kāi)口的大小.2. 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.在a 0的前提下,當(dāng)b 0時(shí),當(dāng)b 0時(shí),當(dāng)b 0時(shí),2a0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在2a0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸左側(cè);y軸;0，即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在 y軸的右側(cè).2a在a 0的前

8、提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，A0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在 y軸右側(cè)；2a當(dāng)b0時(shí)，0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是 y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，0，即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在 y軸的左側(cè).2a總結(jié)起來(lái)，在a確定的前提下，b決定了拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.在y軸左邊則ab 0,在y軸的右側(cè)則abab的符號(hào)的判定：對(duì)稱(chēng)軸 x概括的說(shuō)就是“左同右異”總結(jié)：y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ； y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).3. 常數(shù)項(xiàng)c 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線(xiàn)與 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線(xiàn)與 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線(xiàn)與 總結(jié)起來(lái)，c決定了拋物線(xiàn)

9、與y軸交點(diǎn)的位置.總之，只要a , b, c都確定，那么這條拋物線(xiàn)就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式， 通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的 解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1. 已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式八、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)y2 axbxc關(guān)于x軸

10、對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yax2 bx c ；ya x2 hk關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是2y a x hk ；2.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)y2 axbxc關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax2 bx c ；ya x2 hk關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是2y a x hk ；3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)y2 axbxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y2 axbxc ；ya x2 hk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yax h2k ;4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（即：拋物線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180）y2 axbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y2 axbxcb2 ；222aya xhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yax hk .5.關(guān)

11、于點(diǎn)m,n對(duì)稱(chēng)ya x2 hk關(guān)于點(diǎn) m , n對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yax2h 2m2n k根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線(xiàn)的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化， 因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式時(shí)， 可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則， 選擇合適 的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(xiàn)（或表達(dá)式已知的拋物線(xiàn)） 的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向， 再確 定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式.二次函數(shù)圖像參考:y=3(x+4)2【例題精講】一、一元二次函數(shù)的圖象的畫(huà)法1 2【例1】求作函數(shù)y _x2 4x 6的圖象2【例2】求作函數(shù)y x2 4x 3的圖像。分析：畫(huà)二次函數(shù)圖象

12、步驟：(1) 配方；(2)列表；(3)描點(diǎn)成圖；也可利用圖象的對(duì)稱(chēng)性，先畫(huà)出函數(shù)的左(右)邊部分圖象，再利用對(duì)稱(chēng)性描出右(左)部分就可。元二次函數(shù)性質(zhì)【例3】求函數(shù)y x2 6x 9的最小值及圖象的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求它的單調(diào)區(qū)間?！纠?】求函數(shù)y5x2 3x 1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、最值。【點(diǎn)評(píng)】要研究二次函數(shù)頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、最值、單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)時(shí)，方法有兩個(gè)：(1) 配方法；如例3(2) 公式法：適用于不容易配方題目(二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù))如例4,可避免出錯(cuò)。任何一個(gè)函數(shù)都可配方成如下形式:a(x4ac b2 (a4a0)【二次函數(shù)題型總結(jié)】1. 關(guān)于二次函數(shù)的概念2例1如果函數(shù)y (

13、m 3)xm 3m 2 mx 1是二次函數(shù)，那么m的值為例2 拋物線(xiàn)y x2 2x 4的開(kāi)口方向是 ;對(duì)稱(chēng)軸是 ;頂點(diǎn)為。2. 關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象例3函數(shù)y ax2 bx c(a 0)的圖象如圖所示,則 a、b、c， a b c， a b c 的符號(hào)例4已知a b + c=0 9a+ 3b+ c=0,則二次函數(shù) y=ax2 + bx + c的圖像的頂點(diǎn)可能在( )(A) 第一或第二象限(B)第三或第四象限(B) (C)第一或第四象限(D )第二或第三象限3. 確定二次函數(shù)的解析式 _ 2例5已知：函數(shù)y axbx c的圖象如圖：那么函數(shù)解析式為(A) yx2 2x 3(C) yx2 2x

14、 32(B) y x 2x 32(D) y x 2x 34. 一次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像綜合考查x例6已知一次函數(shù)y=ax+c二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0),它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的大致圖象是D例7如圖： ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，AB在X軸上，點(diǎn)C在第一象限，AC與Y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1 ,0)( 1)求B、CD三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)拋物線(xiàn)y ax2 bx c 經(jīng)過(guò)B、C D三點(diǎn)，求它的解析式；【練習(xí)題】-6一、選擇題21. 二次函數(shù)y x 4x 7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(2, 11) B.( 2, 7) C. )2, 11) D.2. 把拋物線(xiàn)y 2x2向上平移1個(gè)單位，得到的

15、拋物線(xiàn)是)(2, 3)A. y 2(x 1)2B.2 2y 2(x 1) C. y 2x 1 D. y2x212k3.函數(shù)ykx2k和y (k 0)在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()x4.已知二次函數(shù)y ax2 bx c(a0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論：a,b同號(hào)；當(dāng)x 1和x 3時(shí)，函數(shù)值相等；4a b 0當(dāng)y數(shù)是()A.1個(gè)B.2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4x的值只能取0.其中正確的個(gè)個(gè)J15.已知二次函數(shù)yax2bx c(a0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)(-1 , -3.2 )及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程ax bx c0的兩個(gè)根分別是xi1.3和X2()A.-1 . 3B.-

16、2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函數(shù)y A.第一象限 C.第三象限ax2 bx c的圖象如圖所示，則點(diǎn)B.第二象限D(zhuǎn).第四象限(ac,bc) 在(7.方程2x x2-的正根的個(gè)數(shù)為()A.0個(gè)xB.1個(gè)C.28.已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(-1,0),A.yx2x22 2C.yxx2 或y x與y軸交于點(diǎn)C,且0C=2.則這條拋物線(xiàn)的解析式為B.x 2 D.2小yxx22 、 2yxx2 或 y x x 2二、填空題9. 二次函數(shù)y x2 bx 3的對(duì)稱(chēng)軸是x 2，則b 。10. 已知拋物線(xiàn)y=-2 ( x+3) 2+5 ,如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是 11. 一個(gè)

17、函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過(guò)點(diǎn)(一 1, 2)，當(dāng)xv 0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；滿(mǎn)足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 (只寫(xiě)一個(gè)即可)。12. 拋物線(xiàn)y 2( x 2)26的頂點(diǎn)為C,已知直線(xiàn)y kx 3過(guò)點(diǎn)C,則這條直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 。2 213. 二次函數(shù)y 2x 4x 1的圖象是由y 2x bx c的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移 2 個(gè)單位得到的 ,貝H b= ,c=。14. 如圖，一橋拱呈拋物線(xiàn)狀,橋的最大高度是 跨度是40米，在線(xiàn)段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是 L n取3.14).三、解答題：515. 已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x 3 0,圖象經(jīng)過(guò)(1,-6),且與y軸的交點(diǎn)為(0,).2(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；當(dāng)x為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為 0?當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值 y隨x的增大而增大？第15題圖116. 某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度h(米)