2-6 多元函數(shù)的泰勒公式

1、2021/6/161第九節(jié) 二元函數(shù)的泰勒公式一、問題的提出二、 二元函數(shù)的泰勒公式三、 極值充分條件的證明四、 小結(jié) 習(xí)題課2021/6/162一、問題的提出一、問題的提出 ).()()!()()(!)()()()()()()()(10121000100200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函數(shù)的泰勒公式：一元函數(shù)的泰勒公式：意義：可用意義：可用n次多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù)次多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù))(xf，且誤差是當(dāng)且誤差是當(dāng)0 xx 時(shí)比時(shí)比nxx)(0 高階的無窮小高階的無窮小 2021/6/163問題：問題： 能否用多個(gè)變量的多項(xiàng)式來近似能否用多個(gè)變量的多

2、項(xiàng)式來近似表達(dá)一個(gè)給定的多元函數(shù)，并能具體地表達(dá)一個(gè)給定的多元函數(shù)，并能具體地估算出誤差的大小估算出誤差的大小.2021/6/164二、二元函數(shù)的泰勒公式二、二元函數(shù)的泰勒公式000000200001001121011(,)(,)(,)(,)(,)!(,),()()!nnf xh ykf xyhkf xyxyhkf xyhkf xyxynxyhkf xh yknxy 2021/6/165其中記號(hào)其中記號(hào)),(00yxfykxh ),(),(0000yxkfyxhfyx 表示表示),(002yxfykxh 表示表示),(),(),(002000022yxfkyxhkfyxfhyyxyxx 202

3、1/6/166一般地一般地,記號(hào)記號(hào)表表示示),(00yxfykxhm .),(000yxpmpmpmpmppmyxpkhC 證證引入函數(shù)引入函數(shù)).(),()(1000 tktyhtxft顯然顯然),()(000yxf ).,()(kyhxf 0012021/6/167由由 的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,可得可得)(t ),(),(),()(ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx 000000),(),(),()(ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx 0020000222021/6/168).,()(),()(

4、ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC 001111011100利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得).(),()!()(!)(!)()()()()(1011010210011 nnnn2021/6/169將將),()(000yxf , ,),()(kyhxf 001及及上上面面求求得得的的)(t 直直到到n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在0 t的的值值, ,以以及及)()(tn 1 在在 t的的值值代代入入上上式式. .即即得得 )( ,),(!),(!),(),(),(112100002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykx

5、hyxfkyhxf 2021/6/1610其中其中)().(),()!(21011001 kyhxfykxhnRnn證畢證畢 公公式式)(1稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的n階階泰泰勒勒公公式式, ,而而nR的的表表達(dá)達(dá)式式)(2稱稱為為拉拉格格朗朗日日型型余余項(xiàng)項(xiàng). . 2021/6/1611 由由二二元元函函數(shù)數(shù)的的泰泰勒勒公公式式知知, , nR的的絕絕對(duì)對(duì)值值在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)都都不不超超過過某某一一正正常常數(shù)數(shù)M. .于于是是, ,有有下下面面的的誤誤差差估估計(jì)計(jì)式式: : )(,!sincos!3121111111 nnnn

6、nnMnnMkhnMR其中其中.22kh 由由)3(式式可可知知, ,誤誤差差nR是是當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)比比n 高高階階的的無無窮窮小小. . 2021/6/1612當(dāng)當(dāng)0 n時(shí)時(shí), ,公公式式) 1 (成成為為 ),(),(),(),(kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 00000000上式稱為上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式二元函數(shù)的拉格朗日中值公式.推 論推 論 如 果 函 數(shù)如 果 函 數(shù)),(yxf的 偏 導(dǎo) 數(shù)的 偏 導(dǎo) 數(shù)),(yxfx, ,),(yxfy在某一鄰域內(nèi)都恒等于零在某一鄰域內(nèi)都恒等于零, ,則函數(shù)則函數(shù)),(yxf在該區(qū)域內(nèi)為一常數(shù)在該區(qū)域內(nèi)為一常數(shù). . 2

7、021/6/1613 在在泰泰勒勒公公式式) 1 (中中, ,如如果果取取0000 yx, ,則則) 1 (式式成成為為n階階麥麥克克勞勞林林公公式式. . ),()!(),(!),(!),(),(),(yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn 121100100210000)10( )5(2021/6/1614例例 1 1求求函函數(shù)數(shù))ln(),(yxyxf 1的的三三階階麥麥克克勞勞林林公公式式. . 解解,),(),(yxyxfyxfyx 11,)(),(),(),(211yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)(!33312yxyxfpp ),(3210 p,)(!

8、44413yxyxfpp ),(43210 p2021/6/1615,),(),(),(yxyfxffyyxxyx 000000,)(),(),(),(),(2222000020000yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(),(),(),(),(),(3322332000030030000yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 2021/6/1616又又000 ),(f, ,故故 ,)()()ln(33231211Ryxyxyxyx 其中其中).( ,)()(),(!10141414443 yxyxyxfyyxxR2021/6/1617三、極值充分條件的證明三、極

9、值充分條件的證明定理定理 2 2（充分條件）（充分條件） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 又又 000 ),(yxfx, , 000 ),(yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00， 利用二元函數(shù)的泰勒公式證明第八節(jié)利用二元函數(shù)的泰勒公式證明第八節(jié)中定理中定理22021/6/1618則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的條件如處是否取得極值的條件如下：下： （1 1）02 BAC時(shí)有極值，時(shí)有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，

10、時(shí)有極大值，當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值； （2 2）02 BAC時(shí)沒有極值；時(shí)沒有極值； （3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值. . 證證依二元函數(shù)的泰勒公式，依二元函數(shù)的泰勒公式，對(duì)于任一對(duì)于任一)(),(0100PUkyhx 有有 ),(),(0000yxfkyhxff 2021/6/1619),(),(kyhxhkfkyhxfhxyxx 00002221),(kyhxfkyy 002).(10 )(6)1( 設(shè)設(shè)02 BAC, ,即即 .),(),(),(02000000 yxfyxfyxfxyyyxx)(7 因因),(yxf的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在)(01PU內(nèi)內(nèi)連

11、連續(xù)續(xù), ,由由不不等等式式)7(可可知知, ,存存在在點(diǎn)點(diǎn)0P的的鄰鄰域域)()(0102PUPU , ,使使得得對(duì)對(duì)任任一一)(),(0200PUkyhx 有有 2021/6/1620 . 02 xyyyxxfff)8(注注: :將將),(yxfxx在在點(diǎn)點(diǎn)),(kyhx 00處處的的值值記記為為xxf, ,其其他他類類似似. . 由由)8(式可知式可知, ,當(dāng)當(dāng))(),(0200PUkyhx 時(shí)時(shí), , xxf及及yyf都不等于零且兩者同號(hào)都不等于零且兩者同號(hào). .于是于是)6(式可寫成式可寫成 .xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff22221 2021/6/1621 當(dāng)當(dāng)kh、

12、不不同同時(shí)時(shí)為為零零且且)(),(0200PUkyhx 時(shí)時(shí), ,上上式式右右端端方方括括號(hào)號(hào)內(nèi)內(nèi)的的值值為為正正, ,所所以以f 異異于于零零且且與與xxf同同號(hào)號(hào). . 又由又由),(yxf的二階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性知的二階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性知xxf與與A同號(hào)同號(hào), ,因此因此f 與與A同號(hào)同號(hào), ,當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)時(shí)),(00yxf為極小值為極小值, ,當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)時(shí)),(00yxf為極為極大值大值. . )2( 設(shè)設(shè)02 BAC, ,即即 .),(),(),(02000000 yxfyxfyxfxyyyxx)(92021/6/1622先先假假定定,),(),(00000 yxfyxfyyxx則則.)

13、,(000 yxfxy 分分別別令令hk 及及hk , ,則則由由)6(式式可可得得 ,),(),(kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx101010101010222 及及 ,),(),(kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx202020202020222 其其中中. 1,021 2021/6/1623 當(dāng)當(dāng)0h時(shí)時(shí), ,以以上上兩兩式式方方括括號(hào)號(hào)內(nèi)內(nèi)的的式式子子分分別別趨趨于于極極限限 ),(),(000022yxfyxfxyxy 及及 從而當(dāng)從而當(dāng)h充分接近零時(shí)充分接近零時(shí), ,兩式方括號(hào)兩式方括號(hào)內(nèi)的值有相反的符號(hào)內(nèi)的值有相反的符號(hào), ,因此因此f 可取不同可取不同符

14、號(hào)的值符號(hào)的值, ,所以所以),(00yxf不是極值不是極值. . 再證再證),(),(0000yxfyxfyyxx與與不同時(shí)為零的不同時(shí)為零的情形情形. .不妨不妨. 0),(00 yxfxy先取先取0 k, ,于是由于是由)6(式得式得 ).,(00221yhxfhfxx 2021/6/1624當(dāng)當(dāng)h充充分分接接近近零零時(shí)時(shí), , f 與與),(00yxfxx同同號(hào)號(hào). . 但但如如果果取取 ,),(,),(syxfksyxfhxxxy0000 其其中中s是是異異于于零零但但充充分分接接近近于于零零的的數(shù)數(shù), ,則則可可發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn), ,當(dāng)當(dāng)s充充分分小小時(shí)時(shí), , f 與與),(00yxfx

15、x異異號(hào)號(hào). . 如如此此證證明明了了: :在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的任任意意鄰鄰近近, , f 可可取取不不同同符符號(hào)號(hào)的的值值, ,因因此此),(00yxf不不是是極極值值. . )(3考察函數(shù)考察函數(shù)42yxyxf ),(及及.),(32yxyxg 2021/6/1625容容易易驗(yàn)驗(yàn)證證, ,這這兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)都都以以),( 00為為駐駐點(diǎn)點(diǎn), ,且且在在點(diǎn)點(diǎn)),( 00處處都都滿滿足足02 BAC. .但但),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),( 00處處有有極極小小值值, ,而而),(yxg在在點(diǎn)點(diǎn)),( 00處處卻卻沒沒有有極極值值. . 2021/6/16261 1、二元函數(shù)的泰勒公式；、二元函數(shù)的泰勒公式；四、小結(jié)四、小結(jié)2 2、二元函數(shù)的拉格朗日中值公式；、二元函數(shù)的拉格朗日中值公式；3 3、 階麥克勞林公式；階麥克勞林公式；n4 4、極值充分條件的證明、極值充分條件的證明. .2021/6/1627練練 習(xí)習(xí) 題題的的泰泰勒勒公公式式點(diǎn)點(diǎn)在在一一、求求函函數(shù)數(shù)),(),(21536222 yxyxyxyxf泰泰勒勒公公式式的的三三階階二二、求求函函數(shù)數(shù))ln(),(y