浙江省紹興市2020_2021學年高二數(shù)學下學期期末考試試題（含解析）

1、浙江省紹興市2020-2021學年高二數(shù)學下學期期末考試試題（含解析）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1已知集合Mx|2x5，Nx|3x3，則MN（）Ax|2x3Bx|3x2Cx|3x5Dx|3x52復數(shù)z（其中i為虛數(shù)單位）的實部是（）A2B1C1D23雙曲線1的漸近線方程是（）AyxByxCy2xDyx4若實數(shù)x，y滿足約束條件，則z2xy的取值范圍是（）A2，0B0，2C2，2D2，+）5已知向量，則在方向上的投影是（）A1B0C1D36“30”是“sin”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件7函數(shù)y|x|sinx+x|cosx|在區(qū)間，上

2、的圖象可能是（）ABCD8已知正方體ABCDA1B1C1D1，E是棱BC的中點，則在棱CC1上存在點F，使得（）AAFD1EBAFD1ECAF平面C1D1EDAF平面C1D1E9已知a，bR，當x1，2時恒有（|x+a|b）（x2+x2）0，則（）Aa1Ba1Cb1Db110已知遞增數(shù)列an的前100項和為S100，且a10，a1002，若當1ij100時，ajai仍是數(shù)列an中的項（其中n，i，jN*），則（）Aa1，且S100100Ba1，且S100101Ca1，且S100100Da1，且S100101二、填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分）11圓（x1）2+

3、（y3）22的圓心坐標是 ，半徑長是 12我國古代數(shù)學家趙爽利用“勾股圓方圖”巧妙地證明了勾股定理，成就了我國古代數(shù)學的驕傲，后人稱之為“趙爽弦圖”如圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形已知大正方形的面積為20，小正方形的面積為4，則一個直角三角形的面積是 ，直角三角形中最小邊的邊長是 13已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，其中正視圖和側視圖均為等腰三角形，則該幾何體的體積是 cm3，側面積是 cm214已知實數(shù)x，y滿足x+y1，則x2+4xy的最大值是 15在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若a，b2，A60，則sinB ，c 16已

4、知平面向量，滿足2，則的最小值是 17已知a1，函數(shù)f（x）若函數(shù)yf（x）1有三個不同的零點，則a的取值范圍是 三、解答題（本大題共5小題，共74分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18已知函數(shù)f（x）sinx+cosx（0）（）當2時，求的值；（）若f（x）的周期為8，求f（x）在區(qū)間0，4上的最大值和最小值19如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是梯形，ABCD，BCCD，PAB是等邊三角形，E是棱AB的中點，ABPD2，BCCD1（）證明：PE平面ABCD；（）求直線PA與平面PCD所成角的正弦值20已知等差數(shù)列an滿足a11，a2+a4a3+5，nN*（）求數(shù)列an的通項公式

5、；（）若數(shù)列bn滿足b11，bn+1an+2bnan（nN*），求數(shù)列bn的前n項和21如圖，已知直線l與拋物線M：x24y和橢圓N：都相切，切點分別為A，B（）求拋物線M的焦點坐標和準線方程；（）若A（4，4），P是橢圓N上異于B的一點，求PAB面積的最大值22已知aR，函數(shù)f（x）（）當a0時，求曲線f（x）在點（0，f（0）處的切線方程；（）若f（x）在區(qū)間（0，+）上存在兩個不同的極值點，（）求a的取值范圍；（）若當x0時恒有f（x）t成立，求實數(shù)t的取值范圍（參考數(shù)據(jù)：ln20.69，ln31.10）答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1已知集合Mx|2x5，Nx|3x

6、3，則MN（）Ax|2x3Bx|3x2Cx|3x5Dx|3x5解：集合Mx|2x5，Nx|3x3，MNx|2x3故選：A2復數(shù)z（其中i為虛數(shù)單位）的實部是（）A2B1C1D2解：因為z12i，所以復數(shù)z的實部為1，故選：C3雙曲線1的漸近線方程是（）AyxByxCy2xDyx解：雙曲線y21的a，b1，由雙曲線1的漸近線方程為yx，則所求漸近線方程為yx故選：B4若實數(shù)x，y滿足約束條件，則z2xy的取值范圍是（）A2，0B0，2C2，2D2，+）解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，A（1，0），B（1，0），作出直線y2x，由圖可知，平移直線y2x至A時，直線在y軸上的截距最大，z有最

7、小值為2；平移直線y2x至B時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2z2xy的取值范圍是2，2故選：C5已知向量，則在方向上的投影是（）A1B0C1D3解：3，cos，向量在向量方向上的投影為|cos3故選：D6“30”是“sin”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解：因為sin30，而sin時，可得30+k360，kZ，或者150+k360，kZ，則“30”是“sin”的充分不必要條件，故選：A7函數(shù)y|x|sinx+x|cosx|在區(qū)間，上的圖象可能是（）ABCD解：函數(shù)y|x|sinx+x|cosx|在區(qū)間，上是奇函數(shù)，x（0，時，函數(shù)值恒大于0，排

8、除選項A、B、C，故選：D8已知正方體ABCDA1B1C1D1，E是棱BC的中點，則在棱CC1上存在點F，使得（）AAFD1EBAFD1ECAF平面C1D1EDAF平面C1D1E解：正方體ABCDA1B1C1D1，E是棱BC的中點，在棱CC1上存在點F，設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，對于A，DE與平面ACC1相交，AF平面ACC1，AF與D1E不平行，故A錯誤；對于B，當F為CC1中點時，A（2，0，0），D1（0，0，2），E（1，2，0），F(xiàn)（0，2，1），（2，2，1），（1，2，2），2+420，AFD

9、1E，故B正確；對于C，C（0，2，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（1，2，0），設F（0，2，t），（0t2），（2，2，t），（1，2，2），（1，0，2），設平面C1D1E的法向量（x，y，z），則，取z1，得（2，0，1），0t2，4+t0，AF與平面C1D1E不平行，故C錯誤；對于D，由C得（2，2，t），平面C1D1E的法向量（2，0，1），與不平行，AF與平面C1D1E不垂直，故D錯誤故選：B9已知a，bR，當x1，2時恒有（|x+a|b）（x2+x2）0，則（）Aa1Ba1Cb1Db1解：令f（x）x2+x2，所以x1，1時，f（x）0，則|x+a|b0，即b

10、（|x+a|）maxx1，2時，f（x）0，則|x+a|b0，即b（|x+a|）min，若當x1，2時恒有（|x+a|b）（x2+x2）0，則必須同時滿足，令h（x）|x+a|，當a0時，h（x）|x|，h（x）在1，1上，最大值為1，所以b1，h（x）在1，2上，最小值為1，所以b1，所以b1，當a0時，h（x）在1，1上，最大值為|1+a|1+a，所以b1+a，h（x）在1，2上，h（x）x+a，最小值為|1+a|1+a，所以b1+a，所以b1+a1，當a0時，h（x）在1，1上，最大值為|1+a|1a，所以b1a0，h（x）在1，2上，h（x）最小值為0或h（1）|1+a|或h（2）|2

11、+a|，所以b0或b|1+a|或b|2+a|，但是1a0，1a|1+a|，1a|2+a|，所以此時不能同時滿足，綜上所述，b1，故選：D10已知遞增數(shù)列an的前100項和為S100，且a10，a1002，若當1ij100時，ajai仍是數(shù)列an中的項（其中n，i，jN*），則（）Aa1，且S100100Ba1，且S100101Ca1，且S100100Da1，且S100101解：由題意可得：a1a2a3a100，a100a99a100a98a100a1，當1ij100時，ajai仍是數(shù)列an中的項，a100a99、a100a98、a100a1都在an中，a10，a100a100a1，a100a1

12、a100，a1a100a99，a2a100a98，a99a100a1，S100a1+a2+a1002100（S1002）202S100，S100101，又a1+a99a2+a98a49+a51a1002，2a502，50a1a501，a1，故選：B二、填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分）11圓（x1）2+（y3）22的圓心坐標是 （1，3），半徑長是 解：根據(jù)題意，圓（x1）2+（y3）22，其圓心為（1，3），半徑r；故答案為：（1，3），12我國古代數(shù)學家趙爽利用“勾股圓方圖”巧妙地證明了勾股定理，成就了我國古代數(shù)學的驕傲，后人稱之為“趙爽弦圖”如圖，它是由四

13、個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形已知大正方形的面積為20，小正方形的面積為4，則一個直角三角形的面積是 4，直角三角形中最小邊的邊長是 2解：設直角三角形的直角邊長度為：m，n（mn0），由題意可得：，據(jù)此可得：，即：一個直角三角形的面積是4，直角三角形中最小邊的邊長是2故答案為：4，213已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，其中正視圖和側視圖均為等腰三角形，則該幾何體的體積是 cm3，側面積是 cm2解：根據(jù)幾何體的三視圖轉換為直觀圖為：該幾何體為底面半徑為1，高為2的圓錐；如圖所示：故；故答案為：14已知實數(shù)x，y滿足x+y1，則x2+4xy的最大值是 解：

14、實數(shù)x，y滿足x+y1，則x2+4xyx2+4x（1x）4x3x2，由二次函數(shù)的性質可知，當x時，函數(shù)取得最大值，最大值為：4故答案為：15在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若a，b2，A60，則sinB，c3解：在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，ca，b2，A60，由正弦定理得：，即，解得sinB由余弦定理得：cos60，解得c3或c1（舍），sinB，c3故答案為：，316已知平面向量，滿足2，則的最小值是 4解：，又，所以不妨設，故，所以，設，則，當P，A，B三點共線時等號成立故 的最小值為 4故答案為：417已知a1，函數(shù)f（x）若函數(shù)yf（x）1有三個不同的

15、零點，則a的取值范圍是 解：若函數(shù)yf（x）1有三個不同的零點，則yf（x）與y1有3個交點，當x1時，f（x）xln（x+a），f（x）1，因為a1，所以x+a0，令f（x）0，得x1a，若1a1，即a0時，在（1，+）上，f（x）0，f（x）單調遞增，所以f（x）min1ln（1+a），因為此時a0，則1+a1，所以ln（1+a）0，所以f（x）min1ln（1+a）1，此時在1，+）上，f（x）與y1有1個交點，若1a1，即a0時，在（1，1a）上，f（x）0，f（x）單調遞減，在（1a，+）上，f（x）0，f（x）單調遞增，所以f（x）minf（1a）1aln（1a+a）1a，此時a0

16、，則1a0，所以在1，+）上，f（x）與y1沒有交點，若yf（x）與y1有3個交點，則當x1，f（x）必然與y1有一個交點，即a0，所以當x1，f（x）只能與y1有兩個交點，又當x1時，f（x）x2ax+a2，對稱軸x，所以，即，解得1a，所以a的取值范圍為（1，）故答案為：（1，）三、解答題（本大題共5小題，共74分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18已知函數(shù)f（x）sinx+cosx（0）（）當2時，求的值；（）若f（x）的周期為8，求f（x）在區(qū)間0，4上的最大值和最小值解：（）由題意可得，f（x）sin2x+cos2x，得（）因為，所以，周期，解得，所以因為0x4，所以5于是，

17、當，即x1時，f（x）取得最大值；當，即x4時，f（x）取得最小值1所以，f（x）在區(qū)間0，4上的最大值是，最小值是119如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是梯形，ABCD，BCCD，PAB是等邊三角形，E是棱AB的中點，ABPD2，BCCD1（）證明：PE平面ABCD；（）求直線PA與平面PCD所成角的正弦值【解答】（）證明：因為BECD，BECD1，所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以DEBC1在等邊PAB中，E是AB中點，AB2，所以在PDE中，PD2，所以DE2+PE2PD2，所以PEDE又因為PEAB，ABDEE，所以PE平面ABCD（）解法1：在PDE中，作EFPD，垂足為F因

18、為AECD，所以AE平面PCD，所以點A，E到平面PCD的距離相等因為PE平面ABCD，所以CDPE，又因為BCCD，BCDE，所以CDDE，所以CD平面PDE，CD平面PCD，所以平面PCD平面PDE，所以EF平面PCD，所以點A到平面PCD的距離即為設直線PA與平面PCD所成角為，則，所以直線PA與平面PCD所成角的正弦值為解法2：因為PE平面ABCD，所以三棱錐PACD的體積為設點A到平面PCD的距離為d，又DCDP，所以三棱錐APCD的體積為由VPACDVAPCD，得，所以設直線PA與平面PCD所成的角為，則，所以直線PA與平面PCD所成角的正弦值為解法3：因為PE平面ABCD，DEA

19、B，所以，以E為原點，分別以射線ED，EB，EP為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Exyz，則A（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），設平面PCD的一個法向量為取z1，得設直線PA與平面PCD所成角為，則所以直線PA與平面PCD所成角的正弦值為20已知等差數(shù)列an滿足a11，a2+a4a3+5，nN*（）求數(shù)列an的通項公式；（）若數(shù)列bn滿足b11，bn+1an+2bnan（nN*），求數(shù)列bn的前n項和解：（）設等差數(shù)列an的公差為d，則a21+d，a31+2d，a41+3d因為a2+a4a3+5，所以2+4d1+2d+5，解得d2所以數(shù)列an的通項公式為ana1+（n1）d2n1（）因為bn+1an+2bnan，所以所以，當n2時，即又b11適合上式，所以因為，數(shù)列bn的前n項和為21如圖，已知直線l與拋物線M：x24y和橢圓N：都相切，切點分別為A，B（）求拋物線M的焦點坐標和準線方程；（）若A（4，4），P是橢圓N上異于B的一點，求PAB面積的最大值解：（）拋物線x24y的焦點坐標為（0，1），準線方程為y1（）由得，因為直線l與拋物線的切點為A（4，4），所以直線l的斜率為2，所以直線l的方程為y2x4，聯(lián)立方程組消去y整理得（4+a2）x216x+16a20，因為直線l和橢圓