高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)課件

1、2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則xuuyxydddddd本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分xxufuufyd)()(d)(d機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 第八章 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo))(),(ttfz一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理定理. 若函數(shù),)(, )(可導(dǎo)在點(diǎn)ttvtu),(vufz 處偏導(dǎo)連續(xù), ),(vu在點(diǎn)在點(diǎn) t 可導(dǎo), tvvz

2、tuuztzddddddz則復(fù)合函數(shù)證證: 設(shè) t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌tvutt機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有增量u ,v ,2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo),0t令,0,0vu則有to)( 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 時(shí),根式前加“”號)tvtvtutudd,dd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tvvztuuztzdddddd2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)若定理中 說明說明: ),(),(vuvu

3、f在點(diǎn)例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但復(fù)合函數(shù)),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則定理結(jié)論不一定成立.2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)推廣推廣:1) 中間變量多于兩個(gè)的情形. 例如, ),(wvufz 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .tzdd321fff2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvuf

4、zxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(, )(, )(twtvtu2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)又如,),(, ),(yxvvxfz當(dāng)它們都具有可微條件時(shí), 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里xzxfxz表示固定 y 對 x 求導(dǎo),xf表示固定 v 對 x 求導(dǎo)口訣口訣 : 分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)xfxvvfyvvf與不同,v機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元

5、函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)例例1. 設(shè)設(shè),sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf222

6、2zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)例例3. 設(shè) ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全導(dǎo)數(shù),teu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到, 下列兩個(gè)例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)為簡便起見 , 引入記號,2121vuffuf

7、f ),(1zyxzyxf例例4. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)(當(dāng) 在二、三象限時(shí), )xyarctan例例5. 設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求下列表達(dá)式在),(yxfu 222222)2(,)()() 1 (yuxuyuxu解解: 已知sin,c

8、osryrxuryxyx極坐標(biāo)系下的形式xrruxu(1), 則xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xu2ryururusincos2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)yuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ryru2rxuuryxyx2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo) 已知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx)

9、 (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r注意利用注意利用已有公式已有公式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)22yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 202

10、1-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復(fù)合函數(shù)) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表達(dá) 形式都一樣, 這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo) )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,

11、sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6. 利用全微分形式不變性再解例1. 解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)”例如例如, ),(,

12、 ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性, ),(vufz 對不論 u , v 是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(d機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)思考與練習(xí)思考與練習(xí)解答提示解答提示:P31 題7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)(11yx22yxxy22vuuP31 題7; 8(2); P73 題11機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 vuyvuxyxz,arctan2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)P31 題8

13、(2)xuy11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyyxfu,2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f yex21f 23f 作業(yè)作業(yè) P31 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13 P73題 11第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yexuyxufz, ),(2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)備用題備用題,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf兩邊對 x 求導(dǎo), 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D84多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)2. ) )1 , 1(, 1() 1