高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新課件

1、高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新 高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí) 電話:66233379 E-mail: 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新考試說明 本課程的考核形式為形成性考核和期末考試相結(jié)合的方式?？己顺煽?jī)由形成性考核作業(yè)成績(jī)和期末考試成績(jī)兩部分組成，考核成績(jī)滿分為100分，60分為及格。其中形成性考核作業(yè)成績(jī)占考核成績(jī)的20%，期末考試成績(jī)占考核成績(jī)的80%。期末考試采用閉卷筆試形式，卷面滿分為100分。 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新考核內(nèi)容和考核要求 考核內(nèi)容 一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、無窮級(jí)數(shù)和常微分方程四個(gè)部分，包括函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用、無窮級(jí)數(shù)、常微分方程等方面的知識(shí)高等數(shù)學(xué)

2、考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)期末考試 考試題型：?jiǎn)芜x題5個(gè)（約15%）、 填空題5個(gè)（約15%），計(jì)算題6個(gè),應(yīng)用題1個(gè)。考試時(shí)間：90分鐘 命題原則 不超過期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)的要求，試題主要分布在第二、三、四、五、六、八章，占80%以上，理解占10%，掌握占90%。題型有：填空題單項(xiàng)選擇題計(jì)算題（約70%）。 出題單位 中央廣播電視大學(xué) 考試形式 閉卷高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新復(fù)習(xí)資源教材中央電大復(fù)習(xí)指導(dǎo)形成性考核冊(cè)中央電大網(wǎng)上教學(xué)答疑文本重慶電大學(xué)習(xí)資源巴南電大教學(xué)資源高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新網(wǎng)絡(luò)資源1、資源網(wǎng)站 重慶電大教學(xué)平臺(tái)：http：/ 巴南電大在線平臺(tái)：http：/ 中 央 電 大 在

3、線: http：/ 注：要先注冊(cè)，輸入用戶名和密碼，然后登錄。高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新2、網(wǎng)絡(luò)資源內(nèi)容重慶電大教學(xué)平臺(tái)：http：/巴南電大在線平臺(tái)：http：/（1）市電大責(zé)任老師介紹（2）教學(xué)大綱（3）課程教學(xué)實(shí)施細(xì)則（4）電子教案（5）直播課堂（6）重難分析（7）平時(shí)作業(yè)（4套）（8）期末復(fù)習(xí)提要高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)（1）重難點(diǎn)分析重慶電大巴南分校徐祖平高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新第一章 函數(shù) 理解函數(shù)概念，掌握函數(shù)的兩要素 ;定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，會(huì)判斷兩函數(shù)是否相同；掌握求函數(shù)定義域的方法，會(huì)求初等函數(shù)的定義域和函數(shù)值；了解函數(shù)的主要性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性和有界性），知道它們的幾何特點(diǎn)

4、；熟練掌握六類基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形；了解復(fù)合函數(shù)概念，會(huì)對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解；了解初等函數(shù)的概念；了解分段函數(shù)概念，掌握求分段函數(shù)定義域和函數(shù)值的方法；會(huì)列簡(jiǎn)單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新第二章 極限與連續(xù) 了解極限的概念（數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限），知道數(shù)列極限的“”定義和函數(shù)極限的描述性定義，會(huì)求左右極限；了解無窮小量的概念，了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；掌握極限的四則運(yùn)算法則，掌握兩個(gè)重要極限，掌握求簡(jiǎn)單極限的常用方法；了解函數(shù)連續(xù)性的定義，了解函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的概念，知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念，會(huì)判斷函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)

5、性；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型；了解“初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)”的結(jié)論，知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)。高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新第三章 導(dǎo)數(shù)與微分 理解導(dǎo)數(shù)與微分概念（微分用 定義），了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線的切線和法線方程，知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系； 熟記導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式，熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則； 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 掌握隱函數(shù)的微分法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法； 知道一階微分形式的不變性； 了解高階導(dǎo)數(shù)概念，掌握求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的方法。高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)

6、論，會(huì)用拉格朗日定理證明簡(jiǎn)單的不等式；掌握洛比塔法則，能用它求“ ”、“ ”型不定式極限；掌握用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值與極值點(diǎn)（包括判別）的方法，了解可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件，知道極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系；掌握用二階導(dǎo)數(shù)求曲線凹凸（包括判別）的方法，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)；會(huì)求曲線的水平漸近線和垂直漸近線； 掌握求解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為主。高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)00高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新第五章 不定積分 理解原函數(shù)與不定積分概念，了解不定積分的性質(zhì)以及積分與導(dǎo)數(shù)（微分）的關(guān)系； 熟練掌握積分基本公式和直接積分法； 熟練掌握第一換元積分法和分部積分法； 掌握第二換元積分

7、法。高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新第六章 積分及其應(yīng)用 了解定積分概念（定義、幾何意義）和定積分的性質(zhì)；了解原函數(shù)存在定理，知道變上限的定積分，會(huì)求變上限定積分的導(dǎo)數(shù)；熟練掌握牛頓萊布尼茲公式；掌握定積分的換元積分法和分部積分法；了解無窮積分收斂性概念，會(huì)判斷無窮積分的收斂性或計(jì)算無窮積分；會(huì)用定積分計(jì)算簡(jiǎn)單的平面曲線圍成圖形的面積（直角坐標(biāo)系）和繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積。 高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新第七章 無窮級(jí)數(shù) 了解級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散概念及其主要性質(zhì)； 了解級(jí)數(shù)收斂的必要條件； 掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比值判別法； 知道幾何級(jí)數(shù)和 級(jí)數(shù)收斂的條件； 理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑概念，熟

8、練掌握求收斂半徑的方法； 會(huì)求收斂區(qū)間。 高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新第八章 常微分方程 了解微分方程，階，解（特解、通解），線性，初值問題等概念； 掌握變量可分離微分方程的解法； 熟練掌握一階線性方程的解法； 了解特征方程和特征根概念，熟練掌握求二階線性常系數(shù)齊次微分方程通解的特征根法； 掌握二階線性常系數(shù)非齊次方程（特殊自由項(xiàng)）的特解待定系數(shù)法，能求此類方程的通解 高等數(shù)學(xué)期復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新第一章：函數(shù)第一章：函數(shù) 理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù) )(xfy 中符號(hào)f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義

9、域相等且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性若對(duì)任意x，有)()(xfxf則稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱若對(duì)任意x，有)()(xfxf則稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新基本初等函數(shù)指以下幾種類型：基本初等函數(shù)指以下幾種類型：cy )(為實(shí)數(shù)xy ) 1,0(aaayx常數(shù)函數(shù):冪函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)：) 1,0(logaaxya三角函數(shù)：xxxxcot,tan,cos,sin反三角函數(shù)：xxxarctan,arccos,arcsin了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念， 會(huì)把一個(gè)復(fù)合

10、函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單的函數(shù)如函數(shù)xy2arctane可以分解uyevuarctan21wv xw 2分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù)， 而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的乘積會(huì)列簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1綜合練習(xí)綜合練習(xí)一、填空題 設(shè) xxxf2) 1(2則 f x( ) 解： 設(shè) tx1則 1 tx得 1) 1(2) 1()(22ttttf故 1)(2 xxf函數(shù) yxx124ln()的定義域是 解： 對(duì)函數(shù)的第一項(xiàng)， 要求 02 x且 0)2ln(x即 2x且 3x對(duì)函數(shù)的第二項(xiàng)，要求 04 x即 4x取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?4,3()3,2(高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)

11、最新高等數(shù)學(xué)1設(shè) f x( )的定義域?yàn)?(,) 則函數(shù) f xfx( )()的圖形關(guān)于對(duì)稱 解：設(shè) )()()(xfxfxF則對(duì)任意 x有 )()()()()()(xFxfxfxfxfxF即 )(xF是偶函數(shù)， 故圖形關(guān)于 y軸對(duì)稱 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1二、單項(xiàng)選擇題下列各對(duì)函數(shù)中，（）是相同的 A. f xxg xx( )() ,( )2B. f xxg xx( )ln,( )ln22C. f xxg xx( )ln,( )ln33D. f xxxg xx( ),( )2111解 A, B, D三個(gè)選項(xiàng)中的每對(duì)函數(shù)的定義域都不同， 而選項(xiàng)C中的函數(shù)定義域相等，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故選

12、項(xiàng)C正確設(shè)函數(shù) f x( )的定義域?yàn)?,) ，則函數(shù) f xfx( )()（）對(duì)稱的圖形關(guān)于A. xy B. x軸 C. y軸 D.坐標(biāo)原點(diǎn)解： 設(shè) )()()(xfxfxF則對(duì)任意 x有 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新 高等數(shù)學(xué)1)()()()()()()()(xFxfxfxfxfxfxfxF即)(xF是奇函數(shù)， 故圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱選項(xiàng)D正確3設(shè)函數(shù)f x ( )的定義域是全體實(shí)數(shù)， 則函數(shù) )()(xfxf是（） A.單調(diào)減函數(shù)； B.有界函數(shù)； C.偶函數(shù)； D.周期函數(shù) 解： A, B, D三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。 設(shè) )()()(xfxfxF則對(duì)任意 x有)()()()()()()()(xFx

13、fxfxfxfxfxfxF即 )(xF是偶函數(shù)， 故選項(xiàng)C正確 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新 高等數(shù)學(xué)1 三、計(jì)算題求下列函數(shù)的定義域：) 1ln(4xxy解： 對(duì)x4要求 04 x即4x對(duì) ) 1ln( x要求 01x且 0) 1ln(x即 1x且 0 x取公共部分， 得函數(shù)定義域?yàn)?4,0()0, 1( 232xy對(duì) 232x要求 0322x即 36x得函數(shù)定義域?yàn)?36,36 ) 1arcsin( xy 對(duì)) 1arcsin(x要求 11 x即 02x得函數(shù)定義域?yàn)?0,2高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新已知52) 1(2xxxf求 )2(,)1(,)(fxfxf解： 方法一： 設(shè) tx1則 1 tx得 6

14、5) 1(2) 1()(22ttttf即 6)(2xxf由此得222616)1()1(xxxxf262)2(2f方法二： 6) 1(511252) 1(222xxxxxxf將 1x看作新的變量， 得 6)(2 xxf同理 222616)1()1(xxxxf262)2(2f高等數(shù)學(xué)1 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1 判斷下列函數(shù)的奇偶性： xxysin533解： 對(duì)任意 x有 )()sin53()sin(5)(3)(33xfxxxxxf可知 xxysin533是奇函數(shù) ) 1, 1(11lgxxx解： 對(duì)任意 ) 1, 1(x有 )(11lg)11lg(11lg)(1)(1lg)(1xfxxxx

15、xxxxxf可知 xx11lg是奇函數(shù) xy 解： 對(duì)任意 x有 )()(xfxxxf可知 xy 是偶函數(shù) 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1本章重點(diǎn)：函數(shù)概念及其性質(zhì) 理解函數(shù)的概念，了解決定函數(shù)的要素是定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系， 能根據(jù)這兩個(gè)要素 判別兩個(gè)函數(shù)是否相等。 能熟練地求出函數(shù)的定義域和函數(shù)值。 了解函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性、和有界性， 特別是要會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性。 例1、求下列函數(shù)的定義域（1） 43) 1ln(1xxxy解 函數(shù)的定義域是0430) 1ln(01xxx解得 3421xxx 即函數(shù)的定義域是 34x且 2x高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1（2） 2ln221xxxxy解

16、分段函數(shù)的定義域是所有定義區(qū)間的并集， 此分段函數(shù)的定義域是 2x或 2x但 xln的定義域是 0 x故綜合起來可知所求函數(shù)的定義域是 0 x例2、 若函數(shù) xxf2sin)2(求 )0(),1(),(fxfxf解 已知 xxf2sin)2(即 )22(2sin)2(xxf根據(jù)函數(shù)概念可知)2(2sin)(xxf（即下劃線的部分替換成x） （即下劃線的部分替換成 ） )21(2sin)1(xxfx1)20(2sin)0(f 4sin（即下劃線的部分替換成0） 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1規(guī)范以上的做法就是： 設(shè) tx 2則 2 tx將 2 tx代入 xxf2sin)2(中，即有 )2(2si

17、n)(ttf令 xt 則有 )2(2sin)(xxf令 xt1則有 )21(2sin)1(xxf令 0t則有 )20(2sin)0(f 4sin例3、 （1）下列函數(shù)對(duì)中，哪一對(duì)函數(shù)表示的是同一個(gè)函數(shù)？A 2ln)(,ln2)(xxgxxfB 12ln)(xxxf) 1ln()2ln()(xxxgC xexxgxexxxfxx)(,)()(2D 1)(,11)(2xxgxxxf解 A,B,D中兩個(gè)函數(shù)的定義域都不相同，故它們不是同一函數(shù)， 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1C中函數(shù) 2)()(xexxxfx的定義域是 0 x對(duì)應(yīng)關(guān)系可化為 )()()(2xgxexxexxxfxx故這兩個(gè)函數(shù)是相同

18、的函數(shù)。（2）下列函數(shù)中，哪個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)？A ) 12sin()(xxxfB )1ln()(2xxxfC xexxfx)(D xxxxfsin1)(2解 由奇函數(shù)的定義驗(yàn)證A,C可知它們都不滿足 )()(xfxfD滿足 )()(xfxf即它為偶函數(shù) 驗(yàn)證B )1)()1)(ln)1)(ln()(22222xxxxxxxf)()1ln(11ln22xfxxxx故此函數(shù)是奇函數(shù)。高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)12.基本初等函數(shù)了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念， 會(huì)分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程， 能把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)。 (這在學(xué)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)與微分內(nèi)容時(shí)要用到) 如將函數(shù) )1ln(21cos2x

19、y分解成 uycosvu1wv2swln12 xs高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1第第2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)本章重點(diǎn)：極限的計(jì)算了解極限的概念，知道左右極限的概念， 知道函數(shù)在點(diǎn) 0 x處存在極限的充分必要 條件是 )(xf在 0 x處的左右極限存在且相等。 關(guān)于極限的計(jì)算，要熟練掌握以下幾種常用方法： （1）極限的四則運(yùn)算法則： 運(yùn)用時(shí)要注意法則的條件是各個(gè)部分的極限都存在， 且分母不為0。 當(dāng)所求極限不滿足條件時(shí)， 常根據(jù)函數(shù)的具體情況進(jìn)行分解因式 （以消去 零因子）、或無理式的有理化、或三角函數(shù)變換、 或分子分母同時(shí)除以 nx（分子分母同 趨于無窮大時(shí)） 等變形手段， 以使函數(shù)滿足四

20、則運(yùn)算法則的條件。 （2）兩個(gè)重要極限： 熟記 exxxxxx)11 (lim, 1sinlim0要注意這兩個(gè)公式自變量的 變化趨勢(shì)以及相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)，同時(shí)要熟悉它們的變形形式：高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1exxxxxx10)1 (lim, 11sinlim（3）利用無窮小的性質(zhì)計(jì)算： 無窮小量是指極限為0 的量，有限個(gè)無窮小量之和、積都是無窮小量，有界變量與無窮小量之和還是無窮小量。（4）利用函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算：連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)的極限值等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值。 （5）利用洛必塔法則計(jì)算：參看第四章的有關(guān)內(nèi)容。例例1：求下列極限：求下列極限1002872)43() 12() 1(limxxxx解

21、 （1） 分子、分母同除以 100 x則 1002872)43() 12() 1(limxxxx 1002872)43()12()11 (limxxxx 1002872)43(lim)12(lim)11 (limxxxxxx 1002832高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1（2） 11cos1lim20 xxx解 首先將分母有理化，然后在利用重要極限計(jì)算11cos1lim20 xxx ) 11)(11() 11)(cos1 (lim2220 xxxxx 1)1() 11)(cos1 (lim2220 xxxx ) 11(lim)cos1 (lim2020 xxxxx ) 11(lim2sin2li

22、m20220 xxxxx 1221（3） xxx1sinlim20解 由于 0 x時(shí)，有 02x11sinx因此 xx1sin2還是無窮小量，故 01sinlim20 xxx高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1（4） xxx10)21 (lim解 xxx10)21 (lim 2210)21 (limxxx 2e（5） )ctgsincos(lim220 xxxx解 )ctgsincos(lim220 xxxx xxxx220sincoscoslimxxxx20sin)cos1 (coslimxxxxxx2220sincos1coslim 211211（6） )3(lim22xxxxx解 )3(lim

23、22xxxxx xxxxxxxxxxxxx2222223)3)(3(limxxxxxx2234limxxx11314lim2 2114高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)12、函數(shù)連續(xù)理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念， 它包括三層含義：)(xf在 0 x的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義； )(xf在 0 x處存在極限； 極限值等于 )(xf在 0 x處的函數(shù)值， 這三點(diǎn)缺一不可。 若函數(shù) )(xf在 0 x至少有一條不滿足上述三條， 則函數(shù)在該點(diǎn)是間斷的， 會(huì)求函數(shù)的間斷 點(diǎn)。 了解函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念， 由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義， 會(huì)討論分段函數(shù)的連續(xù)性。 知道連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍是連續(xù)函數(shù)， 兩個(gè)連

24、續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍為 連續(xù)函數(shù)， 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。 知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最 小值存在定理、零點(diǎn)定理、介值定理）。例2 討論函數(shù) 0sin10001sin)(xxxxxxxxf在 0 x處的連續(xù)性。 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1解 )(xf的定義域?yàn)?),(01sinlim)(lim00 xxxfxx1sin1lim)(lim00 xxxfxx由于 )(xf在 0 x點(diǎn)處的左右極限不相等， 故極限不存在， 因此函數(shù) )(xf在 0 x點(diǎn)間斷。 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新第三章：導(dǎo)數(shù)與微分第三章：導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)1 理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求曲線的切線和法線；會(huì)

25、用定義計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1)(xf在點(diǎn)0 xx處可導(dǎo)是指極限xxfxxfx)()(lim000存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)極限。導(dǎo)數(shù)極限還可寫成00)()(lim0 xxxfxfxx)(xf在點(diǎn)0 xx 處的導(dǎo)數(shù))(0 xf 的幾何意義是曲線)(xfy 上點(diǎn))(,(00 xfx處的切線斜率曲線)(xfy 在點(diǎn) )(,(00 xfx處的切線方程為 )()(000 xfxxxfy高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1函數(shù))(xfy0 x0 x在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)連續(xù)。反之函數(shù) )(xfy 在 0 x點(diǎn)連續(xù)，在 0 x點(diǎn)不一定可導(dǎo)。了解微分的概念；知道一階微分

26、形式不變性。熟記導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式；熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則。微分四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則類似vuvudd)(dvuuvvudd)(d)0(dd)(d2vvvuuvvu熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法。一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，如321xxy求 y直接求導(dǎo)比較麻煩，采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對(duì)數(shù)得)2ln(31) 1ln(21lnxxy兩端求導(dǎo)得)2(31) 1(21xxyy整理后便可得)2(682123xxxxxy高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1若函數(shù)由參數(shù)方

27、程)()(tytx的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式)()(ddttxy了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1綜合練習(xí)綜合練習(xí)一、填空題一、填空題設(shè) f xxx( ) 245則f fx( )。解： 42)(xxf故372445)42(4)42()(22xxxxxff曲線 xysin在 4x處的切線方程是 。 解： xycos22)4(y又有 22)4(y故切線方程為)4(2222xy或 0224824yx高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1設(shè)yxln()21則 y ( )0。 解： 122xxy222222) 1() 1(2) 1(4) 1(2 xxxxxy故 2) 0 ( y

28、二、單項(xiàng)選擇題曲線 yxxe在點(diǎn)（）處的切線斜率等于0。 A.( , )0 1B. ( , )1 0C. ( ,)01D. (, )1 0解： xye1令 0 y得 0 x而 1)0(y故選項(xiàng)C正確。 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1yxsin2則 y（）。 A. cosx2B. cosx2C. 22xxcosD. 22xxcos解： 222cos2)(cosxxxxy故選項(xiàng)C正確。 3下列等式中正確的是（）A. 3233xxxxe dd e ()B. 1ddxxx()12C. ln( )x xxdd1D. 2ddx xx()1解：按微分法則進(jìn)行運(yùn)算得高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1xxxxxxd

29、e3)(de)e (d33323xxxd2)1(d32xxxd1)1(d2xxxd21)1(d3故選項(xiàng)A正確。高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1三、計(jì)算題計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：設(shè) xxysin22tan求 2dxy 解：由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2ln2cos2cos2sin2xxxy由此得xxyxd2d)2ln22coscos2(d2sin22高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新yy x( )高等數(shù)學(xué)1設(shè)函數(shù)由方程 xyxyyeln確定，求 ddyx 解： 等式兩端對(duì) x求導(dǎo)得 2eyyxyxyyyxyy整理得xxyyxxyyyye22方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得左端

30、yyxxyxyxyyyydedd)e (d)(d)e(d右端 2dd)(d)(lndyyxxyxyyxxyyx由此得2dddeddyyxxyxyyyxxyy整理得xxyyxxyyxyyedd22高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新yy x( )高等數(shù)學(xué)1xxyln設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 xtyt221確定，求 ddyx 解： 由參數(shù)求導(dǎo)法 ttxyxytt1221dd求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：3解：1lnlnxxxxyxy1 xxy1解：22)1 (1)1 ()1 (xxxxy34)1 (2)1 ()1 (2xxxy 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1第第4章：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用章：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論；會(huì)用

31、拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式掌握洛必塔法則，會(huì)用它求 “ 00”、“ ”型不定式的極限，以及簡(jiǎn)單的“ ”、“ 0”型不定式的極限。 掌握用一階導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)增減性的方法；會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。若在區(qū)間),(ba上有0)( xf，則)(xf在區(qū)間),(ba上單調(diào)增加；若在區(qū)間),(ba上有0)( xf，則)( xf在區(qū)間 ),(ba上單調(diào)減少。高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1 了解極值和極值點(diǎn)的概念；熟練掌握求極值的方法；了解可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件；知道極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系。)(xf在點(diǎn)0 xx 滿足0)(0 xf，那么若)(xf在點(diǎn)0 xx 的左右由正變負(fù)（或0)(0 xf），則點(diǎn)0 x

32、x 是)(xf的極大值點(diǎn)；若是)(xf 在點(diǎn)0 xx 的左右由負(fù)變正 （或0)(0 xf），則點(diǎn)0 xx )(xf的極小值點(diǎn)。極值點(diǎn)如果可導(dǎo)則一定是駐點(diǎn)；駐點(diǎn)的兩邊導(dǎo)數(shù)如果變號(hào)則一定是極值點(diǎn)。了解曲線凹凸的概念；掌握用二階導(dǎo)數(shù)判別曲線凹凸的方法；會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。若在區(qū)間 ),(ba上有 0)( xf，則 )(xf在區(qū)間 ),(ba上是凹函數(shù)； 若在區(qū)間 ),(ba上有 0)( xf，則 )(xf在區(qū)間 ),(ba上是凸函數(shù)。 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新 高等數(shù)學(xué)1 會(huì)求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。若axfx)(lim，則ay 是曲線)(xfy 的水平漸進(jìn)線；若)(lim0 xfxx，則0 xx 是

33、曲線)(xfy 的垂直漸進(jìn)線。 熟練掌握求解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為主。求)(xf在區(qū)間,ba上的最大值的方法是：找出 )(xf的所有駐點(diǎn)，找出 )(xf的所有不可導(dǎo)點(diǎn)， 將所有這些點(diǎn)的函數(shù)值與兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值一起比較大小，最大者為最大值，相應(yīng)的點(diǎn)為最大值點(diǎn)。求最小值的方法類似。高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1綜合練習(xí)綜合練習(xí)一、填空題一、填空題函數(shù) yx() 152的單調(diào)增加區(qū)間是。 解： ) 1( 2 xy當(dāng) 1x時(shí) 0y故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 ), 1(曲線 yxx32916的凸區(qū)間是。 解： xxy1832)3(6186 xxy當(dāng) 3x時(shí) 0 y故函數(shù)的

34、凸區(qū)間是 )3,( 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1二、單項(xiàng)選擇題函數(shù) yxx2128在區(qū)間 (,)10 10內(nèi)滿足（）。 A.單調(diào)上升； B.先單調(diào)下降再單調(diào)上升； C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降； D.單調(diào)下降 解： 122 xy令 0 y得 6xy在 6x點(diǎn)的左右有負(fù)變正， 即函數(shù)先單調(diào)下降再單調(diào)上升。故選項(xiàng)B正確 曲線 yxx222()的垂直漸近線是（）。 A. y 2B. y 0C. x 0D. x 2解： 當(dāng) 2x時(shí) y垂直漸進(jìn)線是 2x故選項(xiàng)D正確 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)13下列等式中正確的是（）A. 3233xxxxe dd e ()B. 1ddxxx()12C.ln( )x x

35、xdd1D.2ddx xx()1解：按微分法則進(jìn)行運(yùn)算得xxxxxxde3)(de)e (d33323xxxd2)1(d32xxxd1)1(d2xxxd21)1(d3故選項(xiàng)A正確。高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1三、計(jì)算題計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：設(shè) xxysin22tan求 2dxy 解： 由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2ln2cos2cos2sin2xxxy由此得xxyxd2d)2ln22coscos2(d2sin22設(shè)函數(shù) yy x( )由方程 xyxyyeln確定， 求 ddyx 解： 方法一： 等式兩端對(duì) x求導(dǎo)得 2eyyxyxyyyxyy高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1整理得x

36、xyyxxyyyye22方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得左端yyxxyxyxyyyydedd)e(d)(d)e(d右端2dd)(d)(lndyyxxyxyyxxyyx由此得2dddeddyyxxyxyyyxxyy整理得xxyyxxyyxyyedd22高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1設(shè)函數(shù) yy x( )由參數(shù)方程 xtyt221確定， 求 ddyx 解： 由參數(shù)求導(dǎo)法 ttxyxytt1221dd高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： xxyln解： 1lnlnxxxxyxy1 xxy122)1 (1)1 ()1 (xxxxy解： 34)1 (2)1 ()1

37、 (2xxxy 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1第第4章：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用章：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論；會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式。掌握洛必塔法則， 會(huì)用它求00型不定式的極限， 以及簡(jiǎn)單的 0、 型不定式的極限。 掌握用一階導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)增減性的方法；會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。若在區(qū)間 ),(ba上有 0)( xf，則 )(xf在區(qū)間 ),(ba上單調(diào)增加； 若在區(qū)間 ),(ba上有 0)( xf，則 )(xf在區(qū)間 ),(ba上單調(diào)減少。 了解極值和極值點(diǎn)的概念；熟練掌握求極值的方法；了解可導(dǎo)函數(shù)極值 存在的必要條件；知道極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系。高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)

38、1)(xf在點(diǎn)0 xx滿足0)(0 xf那么若)(xf 在點(diǎn) 0 xx 的左右由正變負(fù)（或 0)(0 xf）， 則點(diǎn) 0 xx 是 )(xf的極大值點(diǎn)；若 )(xf在點(diǎn) 0 xx 的左右由負(fù)變正（或 0)(0 xf）， 則點(diǎn) 0 xx 是 )(xf的極小值點(diǎn)。極值點(diǎn)如果可導(dǎo)則一定是駐點(diǎn)；駐點(diǎn)的兩邊導(dǎo)數(shù)如果變號(hào)則一定是極值點(diǎn)。了解曲線凹凸的概念；掌握用二階導(dǎo)數(shù)判別曲線凹凸的方法；會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。若在區(qū)間),(ba上有 0)( xf則)(xf在區(qū)間),(ba上是凹函數(shù)； 若在區(qū)間 ),(ba上有 0)( xf則)(xf在區(qū)間 ),(ba上是凸函數(shù)。高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1會(huì)求曲線的水平漸近線

39、和垂直漸近線。若axfx)(lim則 ay是曲線 )(xfy 的水平漸進(jìn)線； 若 )(lim0 xfxx則 0 xx 是曲線 )(xfy 的垂直漸進(jìn)線 。熟練掌握求解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題中最大值和最小值的方法，求)(xf在區(qū)間,ba上的最大值的方法是： 找出 )(xf的所有駐點(diǎn)， 找出 )(xf的所有不可導(dǎo)點(diǎn)， 將所有這些點(diǎn)的函數(shù)值與兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值 一起比較大小， 最大者為最大值，相應(yīng)的點(diǎn)為最大值點(diǎn)。求最小值的方法類似高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1綜合練習(xí)綜合練習(xí)一、填空題 函數(shù) yx() 152的單調(diào)增加區(qū)間是。 解： ) 1(2xy當(dāng) 1x時(shí) 。 0 y故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 ), 1

40、(曲線 ), 1(yxx32916的凸區(qū)間是。 解： xxy1832)3(6186 xxy當(dāng) 3x時(shí) 0 y故函數(shù)的凸區(qū)間是 )3,()3,(二、單項(xiàng)選擇題 函數(shù) yxx2128在區(qū)間 (,)10 10內(nèi)滿足（）。 A.單調(diào)上升； B.先單調(diào)下降再單調(diào)上升； C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降； D.單調(diào)下降 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1解： 122 xy令 0 y得 6xy。 在 6x點(diǎn)的左右有負(fù)變正， 即函數(shù)先單調(diào)下降再單調(diào)上升。故選項(xiàng)B正確曲線 yxx222()的垂直漸近線是（）。 解： 當(dāng) 2x時(shí) y垂直漸進(jìn)線是 2x。故選項(xiàng)D正確 3下列結(jié)論中，（）是正確的。A.函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)； B

41、. 函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)；C. 函數(shù)在極值點(diǎn)一定連續(xù)； D. 函數(shù)的極值點(diǎn)不一定可導(dǎo) 解： 函數(shù)的極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn)； 函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)； 函數(shù)在極值點(diǎn) 不一定連續(xù)； xy 在 0 x取極小值但不可導(dǎo)， 故選項(xiàng)D正確 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1三、計(jì)算題求函數(shù) 415623xxxy的單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間，極值點(diǎn)和拐點(diǎn)： 解： ) 1)(5( 3)54( 31512322xxxxxxy令 0 y得 5, 121xx當(dāng) 1x或 5x時(shí)， 0 y當(dāng) 51x時(shí)， 0 y故題給函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 ) 1,(和 ),5(單調(diào)減少區(qū)間是 )5, 1(11x是極小值點(diǎn)， 52x是極大值點(diǎn) 126

42、 xy令 0 y得 23x當(dāng) 2x時(shí)， 0 y當(dāng) 2x時(shí)， 0 y故題給函數(shù)的凸區(qū)間是 )2,(， 凹區(qū)間是 ),2()42,2(是拐點(diǎn) 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1應(yīng)用題 圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為l， 問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)， 圓柱體的體積最大？解： 如圖所示， 圓柱體高 h與底半徑 r滿足 l222lrh圓柱體的體積公式為hrV2將 222hlr代入得 hhlV)(22求導(dǎo)得)3()(2(22222hlhlhV令 0V得 lh33并由此解出 lr36即當(dāng)?shù)装霃?lr36高 lh33時(shí)， 圓柱體的體積最大。 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1求曲線 yx2上的點(diǎn)， 使其到點(diǎn) A

43、( , )3 0的距離最短。 解： 曲線 yx2上的點(diǎn)到點(diǎn) A( , )3 0的距離公式為 22)3(yxdd與 2d在同一點(diǎn)取到最大值， 為計(jì)算方便求 2d的最大值點(diǎn)， 將 yx2代入得 xxd22)3(求導(dǎo)得1) 3(2)(2xd令 0)(2d得 25x并由此解出 210y即曲線 yx2上的點(diǎn) )210,25(和點(diǎn) )210,25(到點(diǎn) A( , )3 0的距離最短 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1關(guān)于積分概念的理解和積分計(jì)算問題分析關(guān)于積分概念的理解和積分計(jì)算問題分析一、原函數(shù)與不定積分一、原函數(shù)與不定積分已知函數(shù) f x( )在某區(qū)間上有定義， 如果存在函數(shù) F x( )， 使得在該區(qū)間

44、上的任一點(diǎn)處， 都有關(guān)系式 dxxfxdFxfxF)()()()(或 成立， 則稱函數(shù) )(xF是函數(shù) )(xf在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。 設(shè)函數(shù) )(xF是函數(shù) )(xf的一個(gè)原函數(shù)， 則 )(xf的全體原函數(shù) CxF)(C為任意常數(shù))， 稱為 f x( )的不定積分。 記為：CxFdxxf)()(性質(zhì)： （1） )()(xfdxxfdxd（2） dxxfdxxfd)()(高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1二、不定積分的基本公式及運(yùn)算性質(zhì)二、不定積分的基本公式及運(yùn)算性質(zhì)dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()(2121高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1三、換元積分法三、換元積分法已知 CxF

45、dxxf)()(則 CxFxdxfdxxxf)()()()()(_湊微分法高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1CtFdtttftdtfdxxftx)()()()()()()(CxFxt)(1)(1_第二換元積分分法 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu_分部積分法 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1四、曲邊梯形的面積與定積分四、曲邊梯形的面積與定積分高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)高等數(shù)學(xué)1高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1連續(xù)函數(shù)原函數(shù)存在定理連續(xù)函數(shù)原函數(shù)存在定理若 )(xf 在a,b上連續(xù)， 則函數(shù) xadttfx)()(在a,b上可積， 且

46、)()(xfx ， 即 xadttfx)()(是 )(xf在a,b上的一個(gè)原函數(shù)。 422222)(21xxttxtxexedte微積分基本定理設(shè) )(xf在a,b上連續(xù)， )(xF是 )(xf的任一原函數(shù)， 則 babaxFaFbFdxxf)()()()(高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1換元積分法和分部積分法換元積分法和分部積分法1換元積分法設(shè) )(xf在 ,ba上連續(xù)， 且 ,)( txba)(tx在 ,連續(xù)可導(dǎo)，則 dtttftdtfdxxfba)()()()()(應(yīng)用該方法要注意換積分限的正確性。分被積函數(shù)含：一次根式、二次根式、指數(shù)、對(duì)數(shù)的情況講解等。奇偶

47、連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上積分的特征。高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)12分部積分法設(shè) )(),(xvxu在區(qū)間 ,ba上連續(xù)可導(dǎo)， 則 bababaxduxvxvxuxdvxu)()()()()()(分被積函數(shù)為： 多項(xiàng)式三角函數(shù)、 多項(xiàng)式指數(shù)、 多項(xiàng)式對(duì)數(shù)、 含絕對(duì)值 符號(hào)等講解。 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1第第7章：級(jí)數(shù)章：級(jí)數(shù)了解無窮級(jí)數(shù)的部分和、 收斂和發(fā)散的概念； 知道級(jí)數(shù)的主要性質(zhì)， 特別是級(jí)數(shù)收斂的必要條件。級(jí)數(shù)的主要性質(zhì)：若 1nna和 1nnb收斂， 則 )(1nnnba 收斂， 且 111)(nnnnnnnbaba若 1nna收斂， c為常數(shù)， 則

48、1nnca收斂， 且 11nnnnacca級(jí)數(shù)收斂的必要條件： 若 1nna收斂， 則 0limnxa掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比值判別法和判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的萊布尼茨判別法。熟悉幾何級(jí)數(shù)和p級(jí)數(shù)的收斂性：高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1幾何級(jí)數(shù) aqnn0當(dāng) q 1時(shí)收斂， 當(dāng) q 1時(shí)發(fā)散。 p級(jí)數(shù) 1npn當(dāng) p 1時(shí)收斂， 當(dāng) p 1時(shí)發(fā)散。 了解冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn)、收斂區(qū)間和收斂域的概念； 能熟練地求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑； 會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間和收斂域。 知道函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)和馬克勞林級(jí)數(shù)， 記住 exxx, sin , cos和 ln()1 x的馬克勞林級(jí)數(shù)。另外還應(yīng)熟悉正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，

49、 即設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ann和 bnn滿足 ab nnn(, ,)12 那么有 若 bnn收斂， 則 ann收斂； 若 ann發(fā)散， 則 bnn發(fā)散。 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1綜合練習(xí)綜合練習(xí) 一、填空題 當(dāng) q時(shí)， 幾何級(jí)數(shù) aqnn0收斂 解： 由幾何級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知， 當(dāng) 1q時(shí)， 1nnaq收斂 級(jí)數(shù) ()151nnn是級(jí)數(shù) 解： 級(jí)數(shù) 151nn收斂， 級(jí)數(shù) 11nn發(fā)散， 由級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知 1)151(nnn是發(fā)散級(jí)數(shù) 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1二、單項(xiàng)選擇題二、單項(xiàng)選擇題下列級(jí)數(shù)中，（）收斂 A. 12nnB. 1nnC. ()12nnnnD. ()1nnn解： 由 p級(jí)數(shù)

50、的收斂性可知 A, B選項(xiàng)中的級(jí)數(shù)發(fā)散； C選項(xiàng)中的級(jí)數(shù)一般項(xiàng) 不趨于0， 由收斂的必要條件知其發(fā)散； ()1nnn滿足萊布尼茨判別法的條件， 所以收 斂， 故選項(xiàng)D 級(jí)數(shù) 042nn的和是（） A. 83B. 2； C. 32D. 1 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1解：由級(jí)數(shù)的性質(zhì)可得3841112)41(24200nnnn故選項(xiàng)A正確3若 f xa xnnn( ) 0則 an（） A. fnn( )( )!0B. fxnn( )( )!C. ( ( )!( )fnn0D. 1n!解： nknkknxanxf!)()(由此得 nnanf!)0()(即 !)0()(nfann故選項(xiàng)A正確 高等

51、數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新三、計(jì)算題三、計(jì)算題 高等數(shù)學(xué)1判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性： 1231nn 1) 1(nnn解： 因?yàn)?123，由 p級(jí)數(shù)的收斂性可知 1231nn收斂 題給級(jí)數(shù)是萊布尼茨型級(jí)數(shù)， n1單調(diào)下降且 01limnn由萊布尼茨判別法可知 1) 1(nnn收斂 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)1()142nnnnnx求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑； 解： 設(shè) yx 2原級(jí)數(shù)寫為 nnnnyn14) 1(41) 1(4lim414) 1(1limlim11nnnnaannnnnnn由此可知冪級(jí)數(shù) nnnnyn14) 1(的收斂半徑為4， 所以題給冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2 高等數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)最新高等數(shù)學(xué)12.求冪級(jí)數(shù) ()xnnnn23的收斂域 解： 由 31) 1( 3lim313 ) 1(1limlim11nnnnaannnnnnn由此可知題給冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為3， 收斂區(qū)間為 ) 1,5(當(dāng) 5x時(shí)， 級(jí)數(shù) 1) 1(nnn收斂， 當(dāng) 1x時(shí)， 級(jí)數(shù) 11nn發(fā)散， 故題給冪級(jí)