第十章相關(guān)分析與一元線性回歸分析

1、xy第十章相關(guān)分析與一元線性回歸分析第一節(jié)第一節(jié) 相關(guān)分析和回歸分析概述相關(guān)分析和回歸分析概述第二節(jié)第二節(jié) 相關(guān)分析相關(guān)分析第三節(jié)第三節(jié) 一元線性回歸分析一元線性回歸分析本章內(nèi)容本章內(nèi)容第一節(jié)第一節(jié)相關(guān)分析和回歸分析概述相關(guān)分析和回歸分析概述一、相關(guān)關(guān)系的概念及特點(diǎn)一、相關(guān)關(guān)系的概念及特點(diǎn) 1. 1. 相關(guān)關(guān)系：客觀現(xiàn)象之間存在的互相依存的不確定性關(guān)系。相關(guān)關(guān)系：客觀現(xiàn)象之間存在的互相依存的不確定性關(guān)系。 2. 2. 特點(diǎn)：特點(diǎn)： （1 1）現(xiàn)象之間確實(shí)存在著數(shù)量上的依存關(guān)系；）現(xiàn)象之間確實(shí)存在著數(shù)量上的依存關(guān)系； （2 2）現(xiàn)象之間數(shù)量上的關(guān)系是不確定、不嚴(yán)格的依存關(guān)系。）現(xiàn)象之間數(shù)量上的關(guān)

2、系是不確定、不嚴(yán)格的依存關(guān)系。 圖圖10-1 10-1 相關(guān)關(guān)系分類示意圖相關(guān)關(guān)系分類示意圖二、相關(guān)關(guān)系的分類二、相關(guān)關(guān)系的分類三、相關(guān)分析與回歸分析三、相關(guān)分析與回歸分析 相關(guān)分析是用相關(guān)系數(shù)去表現(xiàn)現(xiàn)象間相關(guān)關(guān)系的方向和密相關(guān)分析是用相關(guān)系數(shù)去表現(xiàn)現(xiàn)象間相關(guān)關(guān)系的方向和密切程度切程度 。 回歸分析：根據(jù)相關(guān)關(guān)系的形態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)?；貧w分析：根據(jù)相關(guān)關(guān)系的形態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型型( (稱為回歸方程式稱為回歸方程式) )，來近似地表示變量間的平均變化關(guān)，來近似地表示變量間的平均變化關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。三、相關(guān)表與相關(guān)圖三、相關(guān)表與相關(guān)圖 相關(guān)表是一種反映變

3、量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)表。相關(guān)表相關(guān)表是一種反映變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)表。相關(guān)表的編制，一般以的編制，一般以x x為自變量，為自變量，y y為因變量，把每個(gè)自變量為因變量，把每個(gè)自變量與其相應(yīng)的因變量在表格中一一對(duì)應(yīng)地排列。通過相關(guān)與其相應(yīng)的因變量在表格中一一對(duì)應(yīng)地排列。通過相關(guān)表可以初步看出相關(guān)關(guān)系的形式、密切程度和相關(guān)方向。表可以初步看出相關(guān)關(guān)系的形式、密切程度和相關(guān)方向。 相關(guān)圖又稱散點(diǎn)圖、散布圖（相關(guān)圖又稱散點(diǎn)圖、散布圖（scatter diagramscatter diagram），是將），是將相關(guān)表中的觀測(cè)值在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)點(diǎn)描繪出相關(guān)表中的觀測(cè)值在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)點(diǎn)描

4、繪出來，以表明相關(guān)點(diǎn)的分布狀況。通過相關(guān)圖，可以大致來，以表明相關(guān)點(diǎn)的分布狀況。通過相關(guān)圖，可以大致看出兩個(gè)變量之間有無相關(guān)關(guān)系以及相關(guān)的形態(tài)、方向看出兩個(gè)變量之間有無相關(guān)關(guān)系以及相關(guān)的形態(tài)、方向和密切程度。和密切程度。圖圖10-2 10-2 強(qiáng)正相關(guān)強(qiáng)正相關(guān) 圖圖10-3 10-3 弱正相關(guān)弱正相關(guān)圖圖10-4 10-4 強(qiáng)負(fù)相關(guān)強(qiáng)負(fù)相關(guān)圖圖10-5 10-5 弱負(fù)相關(guān)弱負(fù)相關(guān)圖圖10-6 10-6 非線性相關(guān)非線性相關(guān)圖圖10-7 10-7 不相關(guān)不相關(guān)利用利用excelexcel繪制散點(diǎn)圖的具體方法繪制散點(diǎn)圖的具體方法 進(jìn)入進(jìn)入excelexcel表格界面，然后直接點(diǎn)擊表格界面，然后直接

5、點(diǎn)擊“圖表圖表”命令。出現(xiàn)如圖命令。出現(xiàn)如圖10-810-8所示的對(duì)話框，選擇所示的對(duì)話框，選擇“xyxy散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖”。圖圖 10-810-8 單擊單擊“自定義類型自定義類型”，出現(xiàn)圖，出現(xiàn)圖10-910-9所示的對(duì)話框，選擇所示的對(duì)話框，選擇“兩軸折線兩軸折線 圖圖”。 單擊下一步，出現(xiàn)圖單擊下一步，出現(xiàn)圖10-1010-10的對(duì)話框，在數(shù)據(jù)區(qū)域里選擇數(shù)據(jù)區(qū)域的對(duì)話框，在數(shù)據(jù)區(qū)域里選擇數(shù)據(jù)區(qū)域 “ “$b2$b2c9”c9”。 圖圖10-910-9圖圖10-1010-10 單擊下一步，出現(xiàn)圖單擊下一步，出現(xiàn)圖10-1110-11的對(duì)話框，在系列里選擇的對(duì)話框，在系列里選擇“產(chǎn)品產(chǎn)量產(chǎn)品產(chǎn)量

6、”和和“生產(chǎn)費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用”，在分類，在分類x x軸標(biāo)志里選擇軸標(biāo)志里選擇“$a2:$a9”$a2:$a9”。單擊下一步，出現(xiàn)圖單擊下一步，出現(xiàn)圖10-1210-12的對(duì)話框的對(duì)話框, ,在圖表標(biāo)題框里輸入在圖表標(biāo)題框里輸入“產(chǎn)品產(chǎn)量產(chǎn)品產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用相關(guān)圖與生產(chǎn)費(fèi)用相關(guān)圖”，x x軸輸入軸輸入“時(shí)間時(shí)間”，y y軸分別輸入軸分別輸入“產(chǎn)品產(chǎn)量產(chǎn)品產(chǎn)量”和和“生產(chǎn)費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用”，單擊，單擊“完成完成”出現(xiàn)圖出現(xiàn)圖10-1310-13的輸出結(jié)果：的輸出結(jié)果：圖圖10-1110-11圖圖10-1210-12 輸出結(jié)果輸出結(jié)果圖圖10-1310-13第二節(jié)相關(guān)分析一、單相關(guān)關(guān)系的測(cè)定一、單相關(guān)關(guān)系的測(cè)

7、定相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)：在線性相關(guān)條件下，說明兩個(gè)現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)相關(guān)系數(shù)：在線性相關(guān)條件下，說明兩個(gè)現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系的方向和密切程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。通常用系的方向和密切程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。通常用r r來表示。來表示。 總體相關(guān)系數(shù)的計(jì)算：總體相關(guān)系數(shù)的計(jì)算： yvarxvaryx,cov式中，式中，var(xvar(x) )是變量是變量x x的方差；的方差； varvar（y y）是變量）是變量y y的方差；的方差； covcov（x x，y y）是變量）是變量x x和和y y的協(xié)方差。的協(xié)方差。 相關(guān)系數(shù)的定義公式為：相關(guān)系數(shù)的定義公式為：22yx2xy)y(yn1)x(xn1)y)(

8、yx(xn1r式中式中,n,n表示資料項(xiàng)數(shù)；表示資料項(xiàng)數(shù)； 表示表示x x變量數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)；變量數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)； 表示表示y y變量數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)；變量數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)；x x表示表示x x變量數(shù)列的標(biāo)變量數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差；準(zhǔn)差；y y 表示表示y y變量數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差；變量數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差； 表示表示x x，y y兩個(gè)兩個(gè)變量數(shù)列的協(xié)方差。變量數(shù)列的協(xié)方差。xy2xy上述定義公式，整理可寫成：上述定義公式，整理可寫成：在實(shí)際應(yīng)用中，可運(yùn)用相關(guān)系數(shù)簡捷法。即：在實(shí)際應(yīng)用中，可運(yùn)用相關(guān)系數(shù)簡捷法。即： 22)y(y)x(x)y)(yx(xr 2222)y(yn)x(xnyxxynr例例1 1：設(shè)某

9、市十家主要商場(chǎng)的人均銷售額和利潤率資料：設(shè)某市十家主要商場(chǎng)的人均銷售額和利潤率資料如表如表10-210-2所示，試計(jì)算其相關(guān)系數(shù)。所示，試計(jì)算其相關(guān)系數(shù)。表表10-1 10-1 主要商場(chǎng)的人均銷售額和利潤率資料主要商場(chǎng)的人均銷售額和利潤率資料 解：根據(jù)表中所列示的資料，代入下式解：根據(jù)表中所列示的資料，代入下式 2222)y(yn)x(xnyxxynr2210 654.950 110.810 294(50)10 1465(110.8)0.987（1 1）利用）利用excelexcel公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)r r 例例2 2：針對(duì)表：針對(duì)表10-210-2，借助于，借助于excelex

10、cel表格計(jì)算相關(guān)系數(shù)。表格計(jì)算相關(guān)系數(shù)。 進(jìn)入進(jìn)入excelexcel表格界面，選中表格界面，選中c15c15單元格，輸入單元格，輸入“=”=”，單擊插入，單擊插入“f fx x”函數(shù)命令，出現(xiàn)圖函數(shù)命令，出現(xiàn)圖10.1410.14對(duì)話框，單擊對(duì)話框，單擊“選擇類別選擇類別”，在，在下拉菜單中選中下拉菜單中選中“統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)”，在選擇函數(shù)中選擇，在選擇函數(shù)中選擇“correl”correl”函數(shù)。函數(shù)。圖圖10-1410-14 在圖在圖10-1510-15對(duì)話框里，在對(duì)話框里，在arrey1arrey1一欄輸入一欄輸入b3b3b12b12，在，在arrey2arrey2里輸入里輸入c3c3c12

11、c12。 單擊單擊“確定確定”，計(jì)算出，計(jì)算出r=0.9874r=0.9874。圖圖10-1510-15圖圖10-16 10-16 （2 2）利用）利用excel“excel“數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析”計(jì)算相關(guān)系數(shù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r r用工具用工具“加載宏加載宏”選項(xiàng)選中選項(xiàng)選中“分析工具庫分析工具庫”選項(xiàng)選項(xiàng) ，見圖，見圖10-1710-17。這時(shí)，在這時(shí)，在“工具工具”菜單中選中菜單中選中“數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析”命令。從命令。從“數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析”選選項(xiàng)中選中項(xiàng)中選中“相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)”選項(xiàng)，見圖選項(xiàng)，見圖10-1810-18。 圖圖10-1710-17圖圖10-1810-18 在輸入的區(qū)域里輸入在輸入的

12、區(qū)域里輸入“$b$3$b$3$c$12”$c$12”，在輸出的區(qū)域里，在輸出的區(qū)域里輸入輸入“$b$15$b$15$d$17”,$d$17”,見圖見圖10-1910-19。相關(guān)系數(shù)分析的結(jié)果。相關(guān)系數(shù)分析的結(jié)果間圖間圖10-2010-20。圖圖10-1910-19圖圖10-2010-20 繪制散點(diǎn)繪制散點(diǎn)圖，見圖圖，見圖10-2110-21，可，可以看出：以看出：由于由于r=0.987r=0.987，人均銷售人均銷售額和利潤額和利潤率高度正率高度正相關(guān)相關(guān)。圖圖10-2110-21二、單相關(guān)關(guān)系的判定二、單相關(guān)關(guān)系的判定 相關(guān)系數(shù)的數(shù)值范圍，是在相關(guān)系數(shù)的數(shù)值范圍，是在1 1和和1 1之間，即

13、之間，即1r1r1 1 ； r r0 0為正相關(guān)，為正相關(guān)，r r0 0為負(fù)相關(guān)；為負(fù)相關(guān)； |r|r|越接近于越接近于1 1，則表示相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，越接近于，則表示相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，越接近于0 0，則表示相，則表示相關(guān)關(guān)系越弱；關(guān)關(guān)系越弱； 相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值|r|r|在在0.30.3以下是無直線相關(guān)，以下是無直線相關(guān)，0.30.3以上是有以上是有直線相關(guān)，直線相關(guān)，0.30.30.50.5是低度直線相關(guān)，是低度直線相關(guān)，0.50.50.80.8是顯著相關(guān)是顯著相關(guān)( (中等程度相關(guān)中等程度相關(guān)) )，0.80.8以上是高度相關(guān)。以上是高度相關(guān)。 第三節(jié)一元線性回歸分析一、回歸分析的

14、一般問題一、回歸分析的一般問題 回歸分析所研究的兩個(gè)變量不是對(duì)等關(guān)系，必須根據(jù)研究回歸分析所研究的兩個(gè)變量不是對(duì)等關(guān)系，必須根據(jù)研究目的，先確定其中一個(gè)是自變量，另一個(gè)是因變量；目的，先確定其中一個(gè)是自變量，另一個(gè)是因變量； 回歸分析可以根據(jù)研究目的不同分別建立兩個(gè)不同的回歸回歸分析可以根據(jù)研究目的不同分別建立兩個(gè)不同的回歸方程方程 ； 回歸分析對(duì)資料的要求是，自變量是可以控制的變量回歸分析對(duì)資料的要求是，自變量是可以控制的變量( (給給定的變量定的變量) )，因變量是隨機(jī)變量。，因變量是隨機(jī)變量。 二、一元線性回歸分析二、一元線性回歸分析 bxay 式中，式中，a a表示回歸直線在表示回歸直

15、線在y y軸上的截距，代表經(jīng)濟(jì)現(xiàn)軸上的截距，代表經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象經(jīng)過修勻的基礎(chǔ)水平；象經(jīng)過修勻的基礎(chǔ)水平；b b表示直線的斜率，稱為表示直線的斜率，稱為y y倚倚x x的回歸系數(shù)，表明的回歸系數(shù)，表明x x每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，影響每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，影響y y平均變動(dòng)的數(shù)量；平均變動(dòng)的數(shù)量；a a和和b b表示確定回歸直線模型的兩表示確定回歸直線模型的兩個(gè)待定參數(shù)。個(gè)待定參數(shù)。 22)x(xnyxxynbxbynxbnya例例3 3：根據(jù)表：根據(jù)表10-210-2人均銷售額與利潤率資料，求其一元線性回歸方程。人均銷售額與利潤率資料，求其一元線性回歸方程。表表10-2 10-2 人均銷售額與利潤率資料人均銷

16、售額與利潤率資料 解：首先，根據(jù)表中合計(jì)欄的資料求出標(biāo)準(zhǔn)方程組中解：首先，根據(jù)表中合計(jì)欄的資料求出標(biāo)準(zhǔn)方程組中所需數(shù)據(jù)；其次，將求出的數(shù)據(jù)代入公式，求出所需數(shù)據(jù)；其次，將求出的數(shù)據(jù)代入公式，求出a a、b b的的值：值：386. 0293. 2ab再次，將再次，將a a、b b的值代入回歸方程得：的值代入回歸方程得：最后，由回歸方程可得相應(yīng)的回歸估計(jì)值，最后，由回歸方程可得相應(yīng)的回歸估計(jì)值， 如表如表10-210-2所示。所示。x2.2930.386y y三、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算方法三、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算方法 2n) y (ys2y式中，式中，s sy y表示估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差；表示估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差； 為均方殘為均方殘差（差（ssss），），n-2n-2表示數(shù)據(jù)的項(xiàng)數(shù)的自由度。表示數(shù)據(jù)的項(xiàng)數(shù)的自由度。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差是殘差平方和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差是殘差平方和(ss)(ss)除以它的自除以它的自由度由度n-2n-2后的平方根。后的平方根。1.1.根據(jù)定義公式計(jì)算根據(jù)定義公式計(jì)算2(y y)例例4 4：根據(jù)表：根據(jù)表10-110-1，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤。，