4理論力學(xué)課件第一篇靜力學(xué)第四章_空間任意力系x

1、理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程xzyOF1F2F31F3F2F圖示的三角柱剛體是正方體的一半。在其中三個(gè)側(cè)面各自作用著一個(gè)力偶。已知力偶（F1 ，F(xiàn) 1）的矩M1=20 Nm；力偶（F2， F 2 ）的矩M2=20 Nm；力偶（F3 ，F(xiàn) 3）的矩M3=20 Nm。試求合力偶矩矢M。又問使這個(gè)剛體平衡，還需要施加怎樣一個(gè)力偶。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程0321xxxxMMMMmN 2 .11321yyyyMMMMmN 2 .41321zzzzMMMM 1.畫出各力偶矩矢。2.合力偶矩矢M 的投影。解：解：xzy45OM145M2M3理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程3.合力偶矩矢M 的大

2、小和方向。mN 7 .42222zyxMMMM90, , 0,cosiMiMMMx8 .74, , 262. 0,cos jMjMMMy2 .15, , 965. 0,coskMkMMMz 4. 為使這個(gè)剛體平衡，需加一力偶，其力偶矩矢為 M4= M 。xzy45OM145M2M3理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程CA4545605 m30BDEG 桅桿式起重機(jī)可簡(jiǎn)化為如圖所示結(jié)構(gòu)。AC為立柱，BC，CD和CE均為鋼索，AB為起重桿。A端可簡(jiǎn)化為球鉸鏈約束。設(shè)B點(diǎn)滑輪上起吊重物的重量P=20 kN，AD=AE=6 m，其余尺寸如圖。起重桿所在平面ABC與對(duì)稱面ACG重合。不計(jì)立柱和起重桿的自重，

3、求起重桿AB、立柱AC和鋼索CD，CE所受的力。 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程CA4545605 m30BDEG 1. 先取滑輪B為研究對(duì)象。注意，起重桿AB為桁架構(gòu)件，兩端鉸接，不計(jì)自重，它是一個(gè)二力構(gòu)件，把滑輪B簡(jiǎn)化為一點(diǎn)，它的受力圖如圖所示。xyB6030PFABFBC, 0 xF030 cos60 cosBCABFF, 0yF解： 這是一平面匯交力系，列平衡方程kN, 20 PFBCkN 6 .343PFAB解得030 sin60 sinPFFBCAB理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程 2. 再選取C點(diǎn)為研究對(duì)象，它的受力圖如圖所示。 此力系在Axy平面上投影為一平面匯交力系，其中：

4、,0zF0coscos60cosCECDACBCFFFF先列出對(duì)Az軸的投影方程 這是一空間匯交力系，作直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy，把力系中各力投影到Axy平面和Az軸上。60 sinBCBCFF 2 .50 sinCDCDFF2 .50 sinCECEFF2 .5056arctan arctan ACADxzAy4545BCF CEFCDFCFACFCEFCDBCF60理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程列平衡方程, 0 xF045 sin45 sinCDCEFF, 0 xF045 cos45 cosCECDBCFFFkN 9 .1545 cos2 .50 sin260 sinBCCECDFFFkN 4

5、.1060cos2 .50 cos2 BCCDACFFF由此解得kN 6 .34ABFkN 4 .10ACFkN9 .15CECDFF所求結(jié)果如下：xzAy4545BCF CEFCDFCFACFCEFCDBCF60理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程 第四章第四章 空間任意力系空間任意力系第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 第三節(jié)第三節(jié) 一般平行分布力的簡(jiǎn)化一般平行分布力的簡(jiǎn)化第四節(jié)第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心重心、質(zhì)心和形心第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡空間任意力系的平衡 條件平衡方程條件平衡方程 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化 第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力

6、系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 一、一、空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化 設(shè)有空間任意力系設(shè)有空間任意力系F F1 1、F F2 2、F Fn n，各力分別作用，各力分別作用于于A A1 1、A A2 2、A An n各點(diǎn)。各點(diǎn)。任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)作簡(jiǎn)化中心作簡(jiǎn)化中心，將各力平行移至將各力平行移至點(diǎn)，并各點(diǎn)，并各附加一力偶，得到一個(gè)附加一力偶，得到一個(gè)匯交匯交力系力系和和一個(gè)附加力偶系一個(gè)附加力偶系。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程圖圖4-1 4-1 空間任意力系向空間任意力系向O O點(diǎn)簡(jiǎn)化點(diǎn)簡(jiǎn)化第一節(jié)第

7、一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 各附加力偶矩應(yīng)作為矢量，分別垂直于相應(yīng)的力與各附加力偶矩應(yīng)作為矢量，分別垂直于相應(yīng)的力與點(diǎn)所決定的平面，并分別等于相應(yīng)的力對(duì)于點(diǎn)所決定的平面，并分別等于相應(yīng)的力對(duì)于點(diǎn)的矩。點(diǎn)的矩。 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程匯交力系匯交力系1 1、2 2、n可合成為一個(gè)力可合成為一個(gè)力R R ，等于各力的矢量和，即等于各力的矢量和，即R R= =1 1+ +2 2+n，亦即：，亦即：12RF = F + F + F =Fni (4-1)(4-1)附加力偶系附加力偶系可合成為一個(gè)力偶，力偶矩可合成為一個(gè)力偶，力偶矩O等于各附等于各附加力偶矩的矢量和，即加力偶矩的

8、矢量和，即MO= =M+ +M2 2+Mn，亦即等于，亦即等于原力系中各力對(duì)于簡(jiǎn)化中心的矩的矢量和原力系中各力對(duì)于簡(jiǎn)化中心的矩的矢量和0010200niMMMMM(4-2)(4-2) 矢量矢量 稱為原力系的稱為原力系的主矢量主矢量，矢量，矢量 稱為原力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心稱為原力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心的的主矩主矩iRF =F00iMM第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程可知，可知，空間力系向一點(diǎn)（簡(jiǎn)化中心）簡(jiǎn)化的結(jié)果空間力系向一點(diǎn)（簡(jiǎn)化中心）簡(jiǎn)化的結(jié)果一般是一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力作用于簡(jiǎn)化中心，一般是一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力作用于簡(jiǎn)化中心，等于原力系中所有各

9、力的矢量和，亦即等于原力系的等于原力系中所有各力的矢量和，亦即等于原力系的主矢量；這個(gè)力偶的矩等于原力系中所有各力對(duì)于簡(jiǎn)主矢量；這個(gè)力偶的矩等于原力系中所有各力對(duì)于簡(jiǎn)化中心的矩的矢量和，亦即等于原力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心化中心的矩的矢量和，亦即等于原力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心的主矩。的主矩。如果選取不同的簡(jiǎn)化中心，如果選取不同的簡(jiǎn)化中心，主矢量并不改變主矢量并不改變，所，所以，一個(gè)力系的主矢量是一常量，與簡(jiǎn)化中心的位置以，一個(gè)力系的主矢量是一常量，與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)。但是，力系中各力對(duì)于不同的簡(jiǎn)化中心的力矩?zé)o關(guān)。但是，力系中各力對(duì)于不同的簡(jiǎn)化中心的力矩是不同的，因而它們的矢量和一般說來也不相等。所是不同的，因

10、而它們的矢量和一般說來也不相等。所以，以，主矩一般將隨簡(jiǎn)化中心位置不同而改變主矩一般將隨簡(jiǎn)化中心位置不同而改變。第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程對(duì)于不同的兩個(gè)簡(jiǎn)化中心及來說，力系對(duì)于它們的對(duì)于不同的兩個(gè)簡(jiǎn)化中心及來說，力系對(duì)于它們的主矩之間存在如下的關(guān)系：主矩之間存在如下的關(guān)系：2O1OR MMrF (4-3)(4-3)由此可知，由此可知，當(dāng)簡(jiǎn)化中心沿主矢量的作用線移動(dòng)當(dāng)簡(jiǎn)化中心沿主矢量的作用線移動(dòng)時(shí)，主矩將保持不變時(shí)，主矩將保持不變。RF為了計(jì)算為了計(jì)算主矢量和主矩主矢量和主矩，可過簡(jiǎn)化中心取直角坐標(biāo)，可過簡(jiǎn)化中心取直角坐標(biāo)系系Oxyz。由

11、由RRxRyRzixiziyFFFFFFFijkijk(4-4) 第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程得到：得到：而而的大小及方向余弦為：的大小及方向余弦為： RRzRRRyRRRxRRzRyRxRFFzFFFyFFFxFFFFF),cos(),cos(,),cos(222(4-6)(4-6)izRziyRyixRxFFFFFF,（4-54-5） 第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程相似地，相似地，主矩主矩o o在坐標(biāo)軸上的投影在坐標(biāo)軸上的投影x、y、z，則分別等于各力對(duì)，則分別等于各力對(duì)點(diǎn)的矩在對(duì)

12、應(yīng)軸上的投點(diǎn)的矩在對(duì)應(yīng)軸上的投影之和，亦即等于各力對(duì)于對(duì)應(yīng)軸的矩之和，即：影之和，亦即等于各力對(duì)于對(duì)應(yīng)軸的矩之和，即： 上式還可寫成：上式還可寫成：izziyyixxMMMMMM,（4-74-7） ()()()xiiziiyyiixiizziiyiixMy Fz FMz Fx FMx Fy F（4-84-8） 第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程已知主矩已知主矩o o的投影，則可求得的投影，則可求得o o的的大小及方向余弦為：大小及方向余弦為：0000002220),cos(),cos(,),cos(MMzMMMyMMMxMMMMMzyxzyx

13、(4-9)(4-9) 第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程 二、空間平行力系二、空間平行力系取取z軸平行于各力作用線，則有軸平行于各力作用線，則有FRx0，F(xiàn)Ry0,Mz0， 得：得：2200000,cos(M , ),cos(M ,)cos(M ,)RzizRRzxixiizyiyiizxyyxFFFFMMy FMMx FMMMMMxyMMZ (4-10)(4-10) 可見：可見：FR 平行于平行于z軸，而軸，而MO垂直于垂直于z軸，軸， 所以所以FR與與O互相垂直。互相垂直。第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 理論力學(xué)電子教程

14、理論力學(xué)電子教程三、空間任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果討論三、空間任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果討論 若若FR，MO，則原力系簡(jiǎn)化為，則原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)一個(gè)合力偶合力偶，合力偶矩等于原力系對(duì)于簡(jiǎn)，合力偶矩等于原力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心的主矩。在這種情況下，主矩（即化中心的主矩。在這種情況下，主矩（即力偶矩）將不因簡(jiǎn)化中心位置的不同而改力偶矩）將不因簡(jiǎn)化中心位置的不同而改變。變。1 1、空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力偶、空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力偶第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程若若FR ，MO ，則原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)，則原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合合力力，合力的作用線通過簡(jiǎn)化中心，合力的作用線通過

15、簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)，其大小和方向點(diǎn)，其大小和方向等于原力系的主矢量。等于原力系的主矢量。第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 若若FR，MO，但，但MOFR，這表明，這表明MO所代表所代表的力偶與的力偶與FR在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi) ，于是，可以繼續(xù)合成為于是，可以繼續(xù)合成為一個(gè)一個(gè)合力合力FR ,如如圖圖4-2所示。所示。2 2、空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力、空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程圖圖4-2 4-2 第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 合力合力FR 的大小和方向等于原力系的主矢量，其作的大小和方向等于原力系的主矢量，其作用線至簡(jiǎn)化中心的距

16、離為：用線至簡(jiǎn)化中心的距離為： d = |Mo| / FR 若空間任意力系可簡(jiǎn)化成若空間任意力系可簡(jiǎn)化成為一個(gè)合力，則合力對(duì)任為一個(gè)合力，則合力對(duì)任一點(diǎn)（或軸）的矩等于原一點(diǎn)（或軸）的矩等于原力系各力對(duì)同一點(diǎn)（或軸）力系各力對(duì)同一點(diǎn)（或軸）的矩的矢量和（或代數(shù)的矩的矢量和（或代數(shù)和）。和）。 空間任意力系的合力矩定理空間任意力系的合力矩定理理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程 空間任意力系的空間任意力系的合力矩定理合力矩定理數(shù)學(xué)表達(dá)式為：數(shù)學(xué)表達(dá)式為：()OROi MFM()xRxiMM F（4-124-12） （4-134-13） 借助于圖（借助于圖（4-24-2）可證明合力矩定理（略）可證明合

17、力矩定理（略）第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 對(duì)于對(duì)于空間平行力系空間平行力系，當(dāng)，當(dāng) FR 和和MO 都不等于零時(shí)，都不等于零時(shí)，MO 總是垂直于總是垂直于FR，所以必能簡(jiǎn)化成為一個(gè)合力，合，所以必能簡(jiǎn)化成為一個(gè)合力，合力矩定理也必定成立，且力矩定理也必定成立，且由合力矩定理可以確定合力由合力矩定理可以確定合力作用線位置作用線位置。 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程若若FR，MO，且，且MO 與與FR 不相垂直，如不相垂直，如圖圖（4-3a） ，則可用下述方法進(jìn)一步簡(jiǎn)化。，則可用下述方法進(jìn)一步簡(jiǎn)化。 圖圖4-3 4-3 力力 螺螺 旋旋 第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空

18、間任意力系的簡(jiǎn)化 3 3、空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力螺旋、空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力螺旋理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程這樣的一個(gè)力和一個(gè)力偶稱為這樣的一個(gè)力和一個(gè)力偶稱為力螺旋力螺旋。直線直線O P 稱為原力系的稱為原力系的中心軸中心軸；如如MR 與與FR 同方向，則稱為同方向，則稱為右手螺旋右手螺旋；如如MR 與與FR 方向相反，則稱為方向相反，則稱為左手螺旋左手螺旋。力螺旋是空間力系簡(jiǎn)化的最簡(jiǎn)單形式。而且，對(duì)力螺旋是空間力系簡(jiǎn)化的最簡(jiǎn)單形式。而且，對(duì)于確定的空間力系，于確定的空間力系，組成力螺旋的力和力偶矩是確定組成力螺旋的力和力偶矩是確定的的，力螺旋的，力螺旋的中心軸的位置也是確定的中心軸

19、的位置也是確定的，MR是力系是力系的的最小主矩最小主矩。 第一節(jié)第一節(jié) 空間任意力系的簡(jiǎn)化空間任意力系的簡(jiǎn)化 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程如果空間任意力系的主矢量及對(duì)于任意簡(jiǎn)化中心的主如果空間任意力系的主矢量及對(duì)于任意簡(jiǎn)化中心的主矩同時(shí)等于零，則該力系為矩同時(shí)等于零，則該力系為平衡力系平衡力系。反之，如空間任意。反之，如空間任意力系成平衡，其主矢量與對(duì)于任一簡(jiǎn)化中心的主

20、矩必分別力系成平衡，其主矢量與對(duì)于任一簡(jiǎn)化中心的主矩必分別等于零。等于零?？臻g任意力系成平衡的必要與充分條件是空間任意力系成平衡的必要與充分條件是力系的主力系的主矢量與力系對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零。矢量與力系對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零。 FR，MO（4-15）即即:理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程 過過O點(diǎn)取直角坐標(biāo)系點(diǎn)取直角坐標(biāo)系Oxyz，上述條件可用代數(shù)方，上述條件可用代數(shù)方程表示為：程表示為：0,0,00,0,0ixiyizixiyizFFFMMM式（式（4-164-16）的六個(gè)方程就是）的六個(gè)方程就是空間任意力系的平空間任意力系的平衡方程衡方程。它們表示：。它們表示：力系中所有的力在三個(gè)

21、直角坐力系中所有的力在三個(gè)直角坐標(biāo)軸中的每一軸上的投影的代數(shù)和等于零，所有的標(biāo)軸中的每一軸上的投影的代數(shù)和等于零，所有的力對(duì)于每一軸的矩的代數(shù)和等于零。力對(duì)于每一軸的矩的代數(shù)和等于零。第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程對(duì)對(duì)空間平行力系空間平行力系，令，令z軸平行于各力，則軸平行于各力，則Fix，F(xiàn)iy，Miz?？臻g平行力系的平衡方?？臻g平行力系的平衡方程成為：程成為：Fiz=0，Mix，Miy（4-174-17）注意：注意：方程方程（4-164-16）雖然是由直角坐標(biāo)系導(dǎo)出雖然是由直角坐標(biāo)系導(dǎo)出的，但在解答具體問題時(shí)，不

22、一定使三個(gè)投影軸或矩的，但在解答具體問題時(shí)，不一定使三個(gè)投影軸或矩軸垂直，也沒有必要使矩軸和投影軸重合而可以分別軸垂直，也沒有必要使矩軸和投影軸重合而可以分別選取適宜軸線為投影軸或矩軸，使每一平衡方程中包選取適宜軸線為投影軸或矩軸，使每一平衡方程中包含的未知量最少，以簡(jiǎn)化計(jì)算。含的未知量最少，以簡(jiǎn)化計(jì)算。第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程(4-16) 稱為稱為平衡方程的基本形式平衡方程的基本形式 有時(shí)為了方便，也可減少平衡方程中的投影方有時(shí)為了方便，也可減少平衡方程中的投影方程，而增加力矩方程。程，而增加力矩方程。如取二

23、個(gè)投影方程和四個(gè)力如取二個(gè)投影方程和四個(gè)力矩方程矩方程(四力矩形式四力矩形式)，或取一個(gè)投影方程和五個(gè)力矩，或取一個(gè)投影方程和五個(gè)力矩方程方程(五力矩形式五力矩形式)，或全部取六個(gè)力矩方程，或全部取六個(gè)力矩方程(六力矩六力矩形式形式)，但不管采用何種平衡方程的形式，它最多只能但不管采用何種平衡方程的形式，它最多只能有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程。有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程。但要注意，不同平衡方程但要注意，不同平衡方程形式中投影軸與矩軸需滿足一定的條件，才能保證形式中投影軸與矩軸需滿足一定的條件，才能保證方程是相互獨(dú)立的。方程是相互獨(dú)立的。第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡

24、方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程懸臂剛架ABC上作用有分布荷載q=1kN/m,P=3kN,Q=4kN及力偶矩2kNm,剛架各部分尺寸如圖示.求固定端A處的約束反力及力偶矩.理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程【解解】作受力圖,建坐標(biāo)系0, 0PFFAXx0, 0QFFAyy02, 0qFFAzz0123, 0)(qQMFMxx06, 0)(mPMFMyy04, 0)(PMFMyzkNFkNFkNFAzAyAx2,4,3mkNMx13mkNMy 20求解得:理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程若負(fù)值說明與設(shè)定方向相反。mkNMz12理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程 三輪卡車自重三輪卡車自重(包括車包

25、括車輪重輪重)Fw=8kN，載重，載重Fp=10kN，作用點(diǎn)位置，作用點(diǎn)位置如圖如圖4-4所示，求靜止時(shí)所示，求靜止時(shí)地面作用于三個(gè)輪子的地面作用于三個(gè)輪子的反力。圖中長(zhǎng)度單位為反力。圖中長(zhǎng)度單位為m。圖圖4-4- 例例4-14-1附圖附圖例例4-1第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程解：解：作三輪卡車的受力圖，各力組成一作三輪卡車的受力圖，各力組成一平衡的空間平行力系平衡的空間平行力系。取坐標(biāo)軸如圖，寫取坐標(biāo)軸如圖，寫出平衡方程求解各出平衡方程求解各未知量未知量。0 xiM1 220WAFF.0 64 8AWFFkN.解

26、得：解得： 例例4-1第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程0yiM0 60 30 61 20WPACFFFF.解得解得： 4 93CFkN .0izF 0ABCPWFFFFF解得：解得： 8 27BFkN .例例4-1第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程 重重Fw=100N的均質(zhì)矩形板的均質(zhì)矩形板ABCD,在在A點(diǎn)用球鉸，點(diǎn)用球鉸，B點(diǎn)用普點(diǎn)用普通鉸鏈，并用繩通鉸鏈，并用繩DE支承于水支承于水平位置（圖平位置（圖4-5）。力）。力FP作用作用在過在過C

27、點(diǎn)的鉛直面內(nèi)。設(shè)力點(diǎn)的鉛直面內(nèi)。設(shè)力FP的 大 小 為的 大 小 為 2 0 0 N ， a = 1 m，b=0.4m，=45o，求求A、B兩處兩處的約束力及繩的約束力及繩DE的拉力。的拉力。圖圖4-5 4-5 例例4-24-2附圖附圖例例4-2第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程解: 考慮矩形板的平衡。球鉸和鉸鏈的考慮矩形板的平衡。球鉸和鉸鏈的約束力，用它們的分量表示如圖，并設(shè)繩約束力，用它們的分量表示如圖，并設(shè)繩子的拉力為子的拉力為FT 。 取坐標(biāo)系如圖所示。按以下次序列平衡方程取坐標(biāo)系如圖所示。按以下次序列平衡方程

28、0ixF 60450ooAxPFFcoscos(1)(1)0iyF 60450ooAyByTPFFFFcoscossin(2)(2)0izF 600oAzBzTWPFFFFFsinsin(3)(3)例例4-2第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程0 xiM2600obTWPFbFFb sinsin(4)(4)0yiM2600oaBzWPFaFFa sin(5)(5)0ziM604560450ooooByPPFaFbFacoscoscossin(6)(6)解之得：解之得：70 7315 7223 2AxTBzFN FN FN.

29、,.,.42 4194 9173 2ByAyAzFN FN FN .,.,.例例4-2第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程某廠房支承屋架某廠房支承屋架和吊車梁的柱子如和吊車梁的柱子如圖圖4-6所示，下端固所示，下端固定。柱頂承受屋架定。柱頂承受屋架傳來的力傳來的力FP1，牛腿，牛腿上承受吊車梁傳來上承受吊車梁傳來的鉛直力的鉛直力FP2及水平及水平制動(dòng)力制動(dòng)力FT 。例例4-3第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程圖圖4-6 4-6 例例4-34-3附圖附圖 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子

30、教程圖圖4-6 4-6 例例4-34-3附圖附圖 已知：已知：e10.1m，e20.34m， h6m，F(xiàn)P1120kN，F(xiàn)P2300kN，制，制動(dòng)力動(dòng)力FT平行于平行于x軸，軸， FT25kN，柱所受重力，柱所受重力FQ 可認(rèn)可認(rèn)為沿為沿z軸作用，且軸作用，且FQ40kN。試求基礎(chǔ)對(duì)柱作用試求基礎(chǔ)對(duì)柱作用的約束力及力偶矩的約束力及力偶矩。例例4-3第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程圖圖4-6 4-6 例例4-34-3附圖附圖 解: 柱子下端的約束力和柱子下端的約束力和約束力偶如圖示。約束力偶如圖示。事實(shí)上固定端的約束力事

31、實(shí)上固定端的約束力是作用在柱端表面的一個(gè)分是作用在柱端表面的一個(gè)分布力，向點(diǎn)簡(jiǎn)化后可得到布力，向點(diǎn)簡(jiǎn)化后可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，計(jì)算時(shí)一個(gè)力和一個(gè)力偶，計(jì)算時(shí)用其分量表示。用其分量表示。例例4-3第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程0,0,0,0,0,0,ixiyizixiyizFFFMMM按以下次序列六個(gè)平衡方程按以下次序列六個(gè)平衡方程000121 12 233 2000000 xTyZxyZFFFFFFWMFeF eMF hMF e例例4-3第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理

32、論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程將已知值代入，解得：將已知值代入，解得：Fox25kN， Foy0，F(xiàn)oz460kN，Mox90kNm，Moy150kNm，Moz8.5kNm。例例4-3第二節(jié)第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件空間任意力系的平衡條件 平衡方程平衡方程理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第三節(jié) 一般平行分布力的簡(jiǎn)化第三節(jié)第三節(jié) 一般平行分布力的簡(jiǎn)化一般平行分布力的簡(jiǎn)化理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第三節(jié)第三節(jié) 一般平行分布力的簡(jiǎn)化一般平行分布力的簡(jiǎn)化一、沿平面曲線分布的平行力一、沿平面曲線分布的平行力沿狹長(zhǎng)面積分布的平行力沿狹長(zhǎng)面積分布的平行力可以簡(jiǎn)化為沿平面曲線分可以簡(jiǎn)化為沿平面曲線分

33、布的平行力。布的平行力。設(shè)力沿平面曲線設(shè)力沿平面曲線AB分分布，則荷載圖布，則荷載圖成為成為一曲一曲面。取直角坐標(biāo)系的面。取直角坐標(biāo)系的z軸軸平行于分布力，曲線平行于分布力，曲線AB位于位于xy平面內(nèi)。平面內(nèi)。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程令坐標(biāo)為令坐標(biāo)為x、y處的處的荷載集度為荷載集度為q，則在該，則在該處微小長(zhǎng)度處微小長(zhǎng)度s上的力的上的力的大小為大小為Fqs，亦即，亦即等于等于s上荷載圖的面積上荷載圖的面積A。于是，線段。于是，線段AB上上所受的力的合力大小等所受的力的合力大小等于于:FFqsA線段線段AB上荷載圖的面上荷載圖的面積。積。第三節(jié)第三節(jié) 一般平行分布力的簡(jiǎn)化一般平行分布力的

34、簡(jiǎn)化理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程合力合力F 的作用線位置可用合力矩定理求得。分別對(duì)的作用線位置可用合力矩定理求得。分別對(duì)y 軸及軸及x 軸求矩有軸求矩有:xcFxqsxA- ycF-yqs-yA由此得：由此得：這就是荷載圖形心的這就是荷載圖形心的x坐標(biāo)和坐標(biāo)和y坐標(biāo)。坐標(biāo)。沿平面曲線分布的平行分布力的合力的大小等于荷沿平面曲線分布的平行分布力的合力的大小等于荷載圖的面積，合力作用線通過荷載圖面積的形心。載圖的面積，合力作用線通過荷載圖面積的形心。,ccxAyAxyAA第三節(jié)第三節(jié) 一般平行分布力的簡(jiǎn)化一般平行分布力的簡(jiǎn)化理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程二、平行分布于平面上的力二、平行分布于

35、平面上的力如圖如圖4-8為面積為面積A上上的荷載圖，取直角坐標(biāo)的荷載圖，取直角坐標(biāo)系的中系的中z軸平行于分布力，軸平行于分布力，荷載作用面為荷載作用面為xy面。在面。在面積面積A內(nèi)坐標(biāo)為（內(nèi)坐標(biāo)為（x，y）處取微小面積處取微小面積A，若該，若該處荷載集度為處荷載集度為p，則微小，則微小面積面積A上所受的力的大上所受的力的大小為小為FpA，亦即等，亦即等于于A上荷載圖的體積上荷載圖的體積V。圖圖4-8 4-8 面積面積A A上的分布力上的分布力第三節(jié)第三節(jié) 一般平行分布力的簡(jiǎn)化一般平行分布力的簡(jiǎn)化理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程 面積面積A上所受的力的合上所受的力的合力大小為：力大小為：FFp

36、AV= = 面積面積上荷載圖的體積。上荷載圖的體積。第三節(jié)第三節(jié) 一般平行分布力的簡(jiǎn)化一般平行分布力的簡(jiǎn)化 合力作用線的位置仍合力作用線的位置仍用合力矩定理求出，可得用合力矩定理求出，可得,ccx Vy VxyVV 可見，可見，平行分布的面力的合力的大小等于荷載平行分布的面力的合力的大小等于荷載圖的體積，合力通過荷載圖體積的形心。圖的體積，合力通過荷載圖體積的形心。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程 水平半圓形水平半圓形（半徑（半徑）梁上受）梁上受鉛直分布荷載，其鉛直分布荷載，其集度按集度按q=qosin變變化，如圖化，如圖(4-9)所示。所示。求分布荷載的合力求分布荷載的合力的大小及作用線位的

37、大小及作用線位置。置。 圖圖4-9 4-9 例例4-44-4附圖附圖例例4-4第三節(jié)第三節(jié) 一般平行分布力的簡(jiǎn)化一般平行分布力的簡(jiǎn)化理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程解：首先求合力首先求合力F 的大小。的大小。 在在處，長(zhǎng)處，長(zhǎng)ds=Rd的梁上所受的力的梁上所受的力dF=qRd=Rqosind，所以整個(gè)梁上所受所以整個(gè)梁上所受荷載的合力的大小為荷載的合力的大小為：00sinFRqd 00cos20RqRq 再求再求F 的作用線位置。設(shè)作用線與的作用線位置。設(shè)作用線與xy平平面的交點(diǎn)為面的交點(diǎn)為C。由對(duì)稱性，點(diǎn)。由對(duì)稱性，點(diǎn)C必位于必位于y軸上，軸上，故故xC=0，只需求，只需求yC。例例4-4第

38、三節(jié)第三節(jié) 一般平行分布力的簡(jiǎn)化一般平行分布力的簡(jiǎn)化理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程由合力矩定理，可得：由合力矩定理，可得：220sinsincy FRdFR qd 22001(2 )0242R qR q于是得到：于是得到： 2024cR qRyF例例4-4第三節(jié)第三節(jié) 一般平行分布力的簡(jiǎn)化一般平行分布力的簡(jiǎn)化理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程 第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心第四節(jié)第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心重心、質(zhì)心和形心理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第四節(jié)第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心重心、質(zhì)心和形心 重心的位置對(duì)于物體的平衡和運(yùn)動(dòng)，都有很大關(guān)系。重心的位置對(duì)于物體的平衡和運(yùn)動(dòng)，都有很大關(guān)系。 在工程上，

39、設(shè)計(jì)擋土墻、重力壩等建筑物時(shí)，重心位在工程上，設(shè)計(jì)擋土墻、重力壩等建筑物時(shí)，重心位置直接關(guān)系到建筑物的抗傾覆穩(wěn)定性及其內(nèi)部的受力狀態(tài)。置直接關(guān)系到建筑物的抗傾覆穩(wěn)定性及其內(nèi)部的受力狀態(tài)。 機(jī)械的轉(zhuǎn)動(dòng)部分，有的（如偏心輪）應(yīng)使其重心離開機(jī)械的轉(zhuǎn)動(dòng)部分，有的（如偏心輪）應(yīng)使其重心離開轉(zhuǎn)動(dòng)軸一定的距離，以便利用由于偏心而產(chǎn)生的效果；有轉(zhuǎn)動(dòng)軸一定的距離，以便利用由于偏心而產(chǎn)生的效果；有的（特別是高速轉(zhuǎn)動(dòng)者）卻必須使其重心盡可能不偏離轉(zhuǎn)的（特別是高速轉(zhuǎn)動(dòng)者）卻必須使其重心盡可能不偏離轉(zhuǎn)動(dòng)軸，以避免產(chǎn)生不良影響。動(dòng)軸，以避免產(chǎn)生不良影響。 所以，所以，如何確定物體重心的位置，在實(shí)踐上有著重要如何確定物體重

40、心的位置，在實(shí)踐上有著重要意義意義。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程一、基本公式一、基本公式物體任一微小部分物體任一微小部分Mi所受的重力為所受的重力為FPi，所有各，所有各力力FPi（i=1,2,n）的合力）的合力FP就是整個(gè)物體所受的重力。就是整個(gè)物體所受的重力。不論物體在空中取什么樣的位置，合力不論物體在空中取什么樣的位置，合力F FP P的作用線必通的作用線必通過某一確定點(diǎn)過某一確定點(diǎn)C，這一點(diǎn)，這一點(diǎn)C就稱為物體的就稱為物體的重心重心。第四節(jié)第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心重心、質(zhì)心和形心 各部分的各部分的FPi 可以看可以看作平行力，所以，合力作平行力，所以，合力 的的大小大小FP FPi

41、 ，而物體，而物體重心位置則可利用合力矩重心位置則可利用合力矩定理求得。定理求得。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程由于工程上的物體都由于工程上的物體都遠(yuǎn)較地球?yàn)樾?，離地心又遠(yuǎn)較地球?yàn)樾?，離地心又很遠(yuǎn)，所以各部分的很遠(yuǎn)，所以各部分的FPi 可以看作平行力而足夠精可以看作平行力而足夠精確。這樣，合力確。這樣，合力FP 的大的大小（即整個(gè)物體的重量）?。凑麄€(gè)物體的重量） FP FPi ，而物體重，而物體重心位置則可利用合力矩定心位置則可利用合力矩定理求得。理求得。 為此，使物體固定于坐標(biāo)系為此，使物體固定于坐標(biāo)系Oxyz內(nèi)。令內(nèi)。令Mi及及相對(duì)相對(duì)于于點(diǎn)的矢徑為點(diǎn)的矢徑為ri及及rC 。第四節(jié)第四

42、節(jié) 重心、質(zhì)心和形心重心、質(zhì)心和形心理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程由合力矩定理有：由合力矩定理有：()CPiPi rFrF沿重力的方向取單位矢量沿重力的方向取單位矢量p0，則：，則：,PiPFF Pi0P0FpFp可得：可得：00()PCPiiFFrprp第四節(jié)第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心重心、質(zhì)心和形心0()0PCPiiFFrrp或或 無論無論p0的方向如何，上式恒成立，即得的方向如何，上式恒成立，即得理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程PcPiiFFrr或：或：PiiCPFFrr(4-20) 將上式兩邊投影到將上式兩邊投影到x、y、z 軸上，即得求物體重心軸上，即得求物體重心公式：公式：,PiP

43、iPiPPPiiicccx FyFzFxyzFFF第四節(jié)第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心重心、質(zhì)心和形心理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程如微小部分如微小部分Mi的質(zhì)量為的質(zhì)量為mi，物體的質(zhì)量為，物體的質(zhì)量為m，重力，重力加速度為加速度為g，則，則FPi=mig，F(xiàn)P=mig。由求重心的公式。由求重心的公式（4-20 ）可得）可得:iic m=mrr（4-22） 由式（由式（4-224-22）所確定的）所確定的C C點(diǎn)稱為物體的點(diǎn)稱為物體的質(zhì)心質(zhì)心，可見，在地面附近物體的重心與質(zhì)心是重合的?？梢?，在地面附近物體的重心與質(zhì)心是重合的。相應(yīng)地，式相應(yīng)地，式(4-21)成為：成為：,iiiiiicccx m

44、y mzmxyzmmm第四節(jié)第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心重心、質(zhì)心和形心理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程如果物體是均質(zhì)的，即質(zhì)量密度如果物體是均質(zhì)的，即質(zhì)量密度是常數(shù)，則每單位是常數(shù)，則每單位體積的重力體積的重力也為常數(shù)，命也為常數(shù)，命Mi的體積為的體積為Vi，整個(gè)物體的體，整個(gè)物體的體積為積為Vi ，則，則FPi= Vi，F(xiàn)P= ，而，而iim =mVVPP iiFFVV代入式代入式（4-21）或式（）或式（4-23），），就得到：就得到：,iiiiiicccxVyVz VxyzVVV（4-24）第四節(jié)第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心重心、質(zhì)心和形心理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程式式(4-24)表明，

45、對(duì)于均質(zhì)物體，其重心和質(zhì)心的位置表明，對(duì)于均質(zhì)物體，其重心和質(zhì)心的位置完全決定于物體的幾何形狀。完全決定于物體的幾何形狀。由式由式(4-24)(4-24)所確定的點(diǎn)便稱為幾何形體的所確定的點(diǎn)便稱為幾何形體的形心形心。對(duì)于對(duì)于曲面或曲線曲面或曲線，只須在公式（，只須在公式（4-24）中分別將）中分別將Vi改為改為Ai(面積面積)或或Li(長(zhǎng)度長(zhǎng)度)，V改為改為A或或L，即可得相應(yīng)的重，即可得相應(yīng)的重心坐標(biāo)公式。心坐標(biāo)公式。對(duì)于對(duì)于平面圖形或平面曲線平面圖形或平面曲線，如取所在的平面為，如取所在的平面為xy面，面，則顯然則顯然zc，而，而xc及及yc可由公式（可由公式（4-24）中的前兩式求）中的前兩式求得。得。第四節(jié)第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心重心、質(zhì)心和形心理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程在公式（在公式（2-29）中，如令）中，如令V趨近于零而取和式的趨近于零而取和式的極限，可得到計(jì)算形心坐標(biāo)的積分公式為：極限，可得到計(jì)算形心坐標(biāo)的積分公式為： ,cccxdVydVzdVxyzVVV